Forme bilinéaire symétrique

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Une forme bilinéaire symétrique est le nom donné à une forme bilinéaire sur un espace vectoriel qui est symétrique. Les formes bilinéaires symétriques jouent un rôle important dans l'étude des quadriques.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif \mathbb{K}. Une application B : V\times V\rightarrow \mathbb{K}:(u,v)\mapsto B(u,v) est une forme bilinéaire symétrique sur l'espace si:

  • \forall (u,v) \in V^2\quad B(u,v)=B(v,u)\
  • \forall (u,v,w) \in V^3 \quad  B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\
  • \forall \lambda \in K,\forall (v,w) \in V^2 \quad B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\

Remarque: Les deux derniers axiomes impliquent seulement la linéarité par rapport à la « première variable » mais le premier permet d'en déduire la linéarité par rapport à la « deuxième variable ».

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le produit scalaire traditionnel de deux vecteurs est une forme bilinéaire symétrique dans leur espace vectoriel
  • L'opération qui associe à deux applications f et g continues par morceaux entre a et b le nombre \int_a^b f(x) \, g(x) \, \mathrm dx est une forme bilinéaire symétrique dans l'espace vectoriel de ces applications muni de l'addition de fonctions et de la multiplication d'une fonction par un nombre scalaire.

Représentation matricielle[modifier | modifier le code]

Soit C=(e_{1},\ldots,e_{n}) une base d'un espace vectoriel V. Définissons la matrice d'ordre n A par a_{ij}=B(e_{i},e_{j}). La matrice A est symétrique d'après la symétrie de la forme bilinéaire. Si la matrice de type (n, 1) x représente les coordonnées d'un vecteur v par rapport à cette base, et de façon analogue y représente les coordonnées d'un vecteur w, alors B(v,w) est égal à :

{}^t x A y={}^t y A x.

Supposons que C'=(e'_{1}, \ldots, e'_{n}) soit une autre base de V, considérons la matrice de passage (inversible) S d'ordre n de la base C à la base C'. Maintenant dans cette nouvelle base la représentation matricielle de la forme bilinéaire symétrique est donnée par

A' ={}^t S A S.

Orthogonalité et singularité[modifier | modifier le code]

Une forme bilinéaire symétrique est toujours réflexive. Par définition, deux vecteurs v et w sont orthogonaux pour la forme bilinéaire B si B(v,w)=0, ce qui, grâce à la réflexivité, est équivalent à B(w,v)=0.

Le noyau d'une forme bilinéaire B est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout autre vecteur de V. Il est facile de vérifier qu'il est un sous-espace de V. Lorsque nous travaillons avec une représentation matricielle de A relativement à une certaine base, un vecteur v représenté par sa matrice colonne des coordonnées x, appartient au noyau si et seulement si

A x=0 \Longleftrightarrow {}^t x A=0.

La matrice A est non inversible ou singulière si et seulement si le noyau de B est non réduit au singleton vecteur nul, c'est-à-dire non trivial.

Si W est un sous-espace vectoriel de V, alors W^{\perp}, l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à tout vecteur de W est aussi un sous-espace de V. Lorsque le noyau de B est trivial, la dimension de W^{\perp}=n-\dim(W).

Bases orthogonales[modifier | modifier le code]

Une base C=(e_{1},\ldots,e_{n}) est orthogonale pour B si :

\forall i\neq j, B(e_{i},e_{j})=0\ .

Lorsque la caractéristique du corps est différente de deux, il existe toujours une base orthogonale. Cela peut être démontré par récurrence.

Une base C est orthogonale si et seulement si la matrice A représentant B dans cette base est une matrice diagonale.

Signature et loi d'inertie de Sylvester[modifier | modifier le code]

Dans sa forme la plus générale, la loi d'inertie de Sylvester affirme, qu'en travaillant sur un corps ordonné \mathbb{K}, le nombre d'éléments diagonaux nuls, ou strictement positifs, ou strictement négatifs, est indépendant de la base orthogonale choisie. Ces trois nombres constituent la signature de la forme bilinéaire.

Cas réel[modifier | modifier le code]

En travaillant sur le corps des réels, il est possible d'aller un peu plus loin. Soit C=(e_{1},\ldots,e_{n}) une base orthogonale.

Définissons une nouvelle base C'=(e'_{1},\ldots,e'_{n}) par

e'_{i} = \left\{
\begin{matrix} 
e_{i} & \mbox{si } B(e_{i},e_{i})=0  \\ 
\frac{e_{i}}{\sqrt{B(e_{i},e_{i})}} & \mbox{si } B(e_{i},e_{i}) >0\\
\frac{e_{i}}{\sqrt{-B(e_{i},e_{i})}}& \mbox{si } B(e_{i},e_{i}) <0
\end{matrix}\right.

Maintenant, la matrice A représentant la forme bilinéaire symétrique, dans cette nouvelle base, est une matrice diagonale ayant des 0, des 1 ou des (-1) uniquement sur sa diagonale. Des zéros apparaissent sur la diagonale si et seulement si le noyau est non trivial.

Cas complexe[modifier | modifier le code]

En travaillant sur le corps des nombres complexes, on peut établir un résultat similaire à celui du cas réel.

Soit C=(e_{1},\ldots,e_{n}) une base orthogonale.

Pour tout i\in\{1, \ldots, n\} tel que B(e_{i},e_{i})\neq 0, notons r_i l'une des racines carrées de B(e_{i},e_{i}).

Définissons une nouvelle base C'=(e'_{1},\ldots,e'_{n}) par

e'_{i} = \left\{
\begin{matrix} 
e_{i} & \mbox{si }\; B(e_{i},e_{i})=0  \\ 
e_{i}/r_i & \mbox{si }\; B(e_{i},e_{i}) \neq 0\\
\end{matrix}\right.

Maintenant, la matrice A dans la nouvelle base est une matrice diagonale ayant seulement des 0 ou 1 sur la diagonale. Des zéros apparaissent si et seulement si le noyau est non trivial.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Loi d'inertie de Sylvester sur planetmath.org
  • (fr) Formes quadratiques et groupes classiques de René Deheuvels. Éditions puf.