Matrice de passage

Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires.

Définition

Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel, et B, B' deux bases de E.

La matrice de passage de B à B', notée $\mathrm{P_B^{B'}}$, est la matrice représentative de l'application identité Id_E, de E muni de la base B' dans E muni de la base B :

$\mathrm{P_B^{B'}} = \mathcal M_{\mathrm{B}',\mathrm{B}}(\mathrm{Id_E})$.

L'application de cette matrice à un élément de Kⁿ correspond donc à l'interprétation de cet élément comme des coordonnées dans la base B' d'un vecteur de E, lequel vecteur est ensuite exprimé en coordonnées dans la base B.

Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base. On observera que dans les deux descriptions données, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie.

Cette définition indique comment la matrice de passage doit être utilisée pour effectuer des changements de coordonnées. Cependant, pour savoir quels sont les coefficients de cette matrice, l'interprétation suivante – justifiée dans la section suivante – est pratique :

Les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

Analytiquement, si $\mathrm{B} =(e_{1}, \ldots ,e_{n})$ et $\mathrm{B}'=(e'_1,\ldots ,e'_n)$ où $e'_j = \sum_{i = 1}^n a_{i,j}e_i$ pour $j=1,\ldots ,n$, alors

$\mathrm{P_B^{B'}} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

Changement de coordonnées pour un vecteur

Soit un vecteur $x \in \mathrm{E}$, ayant pour coordonnées les matrices colonnes X et X' dans deux bases B et B'. Alors

$\mathrm{X} = \mathrm{P_B^{B'}} \mathrm{X}'.$

C'est une conséquence de la définition : l'application de la matrice $\mathrm{P_B^{B'}}$ de Id_E dans les bases (B', B) aux coordonnées X' de x dans B' donne les coordonnées de Id_E(x) = x dans B.

Ce résultat fournit la preuve de l'interprétation pratique annoncée lors de la définition, puisque pour x = e'_j, la colonne X' est le j^e vecteur de la base canonique de $\mathrm{K}^n$, donc $\mathrm{P_B^{B'}} \mathrm{X}'$ est la j^e colonne de P, qui donne donc les coordonnées de e'_j dans B.

Exemples

Considérons l'espace euclidien ℝ³ muni de sa base canonique B(e₁, e₂, e₃), « ancienne base », orthonormée directe.

Homothétie d'un facteur k

Homothétie

La nouvelle base B'(e'₁, e'₂, e'₃) est obtenue par une homothétie de facteur k. On a ainsi :

e'₁ = k e₁ ;

e'₂ = k e₂ ;

e'₃ = k e₃.

La matrice de passage s'écrit

$\mathrm{P_B^{B'}} = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \\ \end{pmatrix}$

Soit un vecteur x de composantes (X₁, X₂, X₃) dans B et (X'₁, X'₂, X'₃) dans B'. On a :

$\begin{pmatrix}\mathrm{X}_1 \\ \mathrm{X}_2 \\ \mathrm{X}_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{X}'_1 \\ \mathrm{X}'_2 \\ \mathrm{X}'_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k\mathrm{X}'_1 \\ k\mathrm{X}'_2 \\ k\mathrm{X}'_3 \\ \end{pmatrix}$

Rotation d'un angle α autour de e₃

Rotation de la base

La nouvelle base B'(e'₁, e'₂, e'₃) est obtenue par rotation d'un angle α autour de l'axe e₃. On a ainsi :

e'₁ = cos(α) e₁ + sin(α) e₂ ;

e'₂ = –sin(α) e₁ + cos(α) e₂ ;

e'₃ = e₃.

La matrice de passage s'écrit

$\mathrm{P_B^{B'}} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Soit un vecteur x de composantes (X₁, X₂, X₃) dans B et (X'₁, X'₂, X'₃) dans B'. On a :

$\begin{pmatrix}\mathrm{X}_1 \\ \mathrm{X}_2 \\ \mathrm{X}_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{X}'_1 \\ \mathrm{X}'_2 \\ \mathrm{X}'_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\cos\alpha)\mathrm{X}'_1-(\sin\alpha)\mathrm{X}'_2 \\ (\sin\alpha)\mathrm{X}'_1+(\cos\alpha)\mathrm{X}'_2 \\ \mathrm{X}'_3 \\ \end{pmatrix}$

Inverse

Soient B et B' deux bases de E. Alors $\mathrm{P_B^{B'}}$ est inversible et $\left( \mathrm{P_B^{B'}} \right)^{-1} = \mathrm{P_{B'}^B}$.

En effet, d'après la règle de calcul de la matrice d'une composée :

$\mathrm{P_B^{B'}} \mathrm{P_{B'}^B} = \mathcal{M}_{\mathrm{B'}, \mathrm{B}}(\mathrm{Id_E})\mathcal{M}_{\mathrm{B}, \mathrm{B'}}(\mathrm{Id_E}) = \mathcal{M}_{\mathrm{B}, \mathrm{B}}(\mathrm{Id_E}) = \mathrm{I}_n$.

Exemples

Reprenons les exemples ci-dessus.

Homothétie

La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant k par 1/k, soit :

$\mathrm{P_{B'}^B} = \begin{pmatrix} 1/k & 0 & 0 \\ 0 & 1/k & 0 \\ 0 & 0 & 1/k \\ \end{pmatrix}$

et donc

$\begin{pmatrix}\mathrm{X}'_1 \\ \mathrm{X}'_2 \\ \mathrm{X}'_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/k & 0 & 0 \\ 0 & 1/k & 0 \\ 0 & 0 & 1/k \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{X}_1 \\ \mathrm{X}_2 \\ \mathrm{X}_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{X}_1/k \\ \mathrm{X}_2/k \\ \mathrm{X}_3/k \\ \end{pmatrix}$.

Rotation

La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant α par –α, soit :

$\mathrm{P_{B'}^B} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

(on remarque que c'est la transposée, P_B'^B = ^tP_B^B') et donc

$\begin{pmatrix}\mathrm{X}'_1 \\ \mathrm{X}'_2 \\ \mathrm{X}'_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{X}_1 \\ \mathrm{X}_2 \\ \mathrm{X}_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\cos\alpha)\mathrm{X}_1+(\sin\alpha)\mathrm{X}_2 \\ -(\sin\alpha)\mathrm{X}_1+(\cos\alpha)\mathrm{X}_2 \\ \mathrm{X}_3 \\ \end{pmatrix}$.

Changement de matrice pour une application linéaire

Soient $\mathcal E,\mathcal E'$ deux bases de E et $\mathcal F,\mathcal F'$ deux bases de F, $f : \mathrm{E} \to \mathrm{F}$ une application linéaire, de matrices A dans les bases $\mathcal E,\mathcal F$ et B dans les bases $\mathcal E',\mathcal F'$, alors

$\mathrm{B} = \mathrm{Q}^{-1}\mathrm{A}\mathrm{P}$

où

P est la matrice de passage de $\mathcal E$ à $\mathcal E'$ et

Q est la matrice de passage de $\mathcal F$ à $\mathcal F'$.

En effet, $\mathrm{Q}^{-1} \mathrm{A}\mathrm{P} = \mathcal{M}_{\mathcal F',\mathcal F}^{-1}(\mathrm{Id_F}) [\mathcal M_{\mathcal E,\mathcal F}(f) \mathcal{M}_{\mathcal E',\mathcal E}(\mathrm{Id_E})] = \mathcal{M}_{\mathcal F,\mathcal F'}(\mathrm{Id_F}) \mathcal{M}_{\mathcal E',\mathcal F}(f) = \mathcal{M}_{\mathcal E',\mathcal F'}(f) = \mathrm{B}$.

Les matrices A et B sont alors dites équivalentes.

Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F = E), si l'on choisit $\mathcal F = \mathcal E$ et $\mathcal F' = \mathcal E'$ (donc Q = P), les matrices A et B sont dites semblables.

Changement de matrice pour une forme bilinéaire

Cas usuel

Soient $\mathcal E,\mathcal E'$ deux bases de E, P la matrice de passage de $\mathcal E$ à $\mathcal E'$, et φ une forme bilinéaire sur E, de matrices A dans $\mathcal E$ et B dans $\mathcal E'$. Alors

$\mathrm{B} = ^{\operatorname t}\!\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{P}$,

où ^tP désigne la matrice transposée de P.

En effet, pour tout n-uplets de réels X' et Y', en désignant par x et y les vecteurs de coordonnées X' et Y' dans $\mathcal E'$, et par X et Y les coordonnées de ces mêmes vecteurs dans $\mathcal E$, on a

$^{\operatorname t}\mathrm{X}' \mathrm{B} \mathrm{Y}' = \varphi(x, y) = ^{\operatorname t}\!\mathrm{X} \mathrm{A} \mathrm{Y} = ^{\operatorname t}\!(\mathrm{P}\mathrm{X}') \mathrm{A} (\mathrm{P}\mathrm{Y}') = ^{\operatorname t}\!\mathrm{X}' (^{\operatorname t}\mathrm{P} \mathrm{A} \mathrm{P})\mathrm{Y}'$,

ce qui, puisque X' et Y' sont arbitraires, prouve l'égalité des deux matrices.

Les matrices A et B sont alors dites congruentes.

Variantes

Il arrive que l'on considère une forme bilinéaire φ définie non pas sur E×E mais sur E×F où F est un espace vectoriel non nécessairement égal à E. Si $\mathcal E,\mathcal E'$ sont deux bases de E avec matrice de passage P, et $\mathcal F,\mathcal F'$ deux bases de F avec matrice de passage Q, la formule de changement de bases devient :

$\mathrm{B} = ^{\operatorname t}\!\mathrm{P} \mathrm{A} \mathrm{Q}$.

On peut également considérer une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. Dans ce cas il faut remplacer, dans les formules, la transposée de la matrice de passage par sa matrice adjointe.