Théorème de Taylor

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En analyse, le théorème de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.

De manière plus précise, soit :

• $I$ un intervalle de $\scriptstyle \R$ et $\scriptstyle a \, \in \, I$,
• $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie,
• $f$ une fonction de $I$ dans $E$ qui soit dérivable en $a$ jusqu’à l’ordre $n$ (un entier naturel).

Alors, pour tout $x$ dans $I$, l’expression

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x)$

ou son équivalent

$\displaystyle f(x) =T_n(x) + R_n(x)$ où $T_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,$

définit un reste $\scriptstyle R_n(x)$ dont le comportement s’apparente au monôme $(x - a)^{n+1}$.

En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série, mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement. On désigne cependant par théorème de Taylor plusieurs résultats et expressions pour $\scriptstyle R_n(x)$ découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires.

La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)

Expressions caractérisant $R_n(x)$

Formule de Taylor-Young

La fonction $\varepsilon(x)$ définie sur $I - \{a\}$ par la relation

$\varepsilon(x) = \frac{R_n(x)}{(x-a)^n}$

satisfait $\lim_{x\to a}\varepsilon (x)=0$.

Remarque: Il peut être commode d'étendre la définition de la fonction $\varepsilon$ par continuité en $a$ en posant $\varepsilon(a)=0$.

Formule de Taylor-Lagrange

Si la fonction $f$ est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur $I$ jusqu’à l’ordre $n+1$, alors il existe un nombre $\xi$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}.$

Cette relation s’appelle également forme de Lagrange.

La relation substitutive $\xi=a+(x-a) \, \theta$ où $0<\theta<1$ présente l'avantage de ne pas dépendre du signe de $(x-a)$.

Inégalité de Taylor-Lagrange

S’il existe $M$ tel que $|f^{(n+1)}(y)| \leq M$ pour tout $y$ dans $I$, alors

$|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.$

C'est notamment le cas pour les fonctions de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a,x]$.

Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral)

Si la fonction $f$ est continûment dérivable sur $I$ jusqu’à l’ordre $n+1$, alors

$R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \,\mathrm dt.$

Remarques

• L'inégalité de Taylor-Lagrange est une conséquence de la relation précédente.

• Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque $a = 0$, la formule s’écrit

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x).$

• La formule de Taylor-Lagrange est une généralisation du théorème des accroissements finis. Ce dernier peut être utilisé pour montrer cette formule dans le cas d’une fonction à valeurs réelles. Cependant, si $E$ est un espace vectoriel normé, l'égalité de la formule doit être remplacée par une inégalité (voir l'article Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles).

• La formule de Taylor avec reste de Laplace est une généralisation du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (ce dernier est utilisé dans la preuve ci-dessous).

• Pour certaines fonctions $f$, le reste $R_n(x)$ tend vers zéro lorsque $n$ tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point $a$. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.

• Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, le théorème de Taylor (avec reste de Laplace) se généralise aux fonctions $f$ à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel.

Preuves

Démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace

La formule se vérifie par récurrence sur $n$.

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,x]$, le théorème fondamental de l'analyse affirme

$f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\mathrm{d}t$

et c’est précisément la formule correspondant à $n=0$.

Si la formule est vraie pour $n$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+2}$ sur $[a,x]$, une intégration par parties conduit à la relation

$\begin{align} \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t &= \left[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_a^x-\int_a^x -\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t \\ &= \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t. \end{align}$

Par hypothèse de récurrence

$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t,$

ce qui implique

$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t.$

Par conséquent

$f(x)=\sum_{k=0}^{n+1} \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t$

et la formule est également vraie pour $n+1.$∎

Démonstration de la formule de Taylor-Young pour une fonction à valeurs dans un espace normé n fois dérivable en a

Soit donc la fonction $f$ définie sur un intervalle réel $I$ à valeurs dans un espace normé E et $n$ fois dérivable en $a\in I$ ($n\geq 1$). La formule exprime donc qu'il existe une fonction $\varepsilon$ de $I$ dans $E$ vérifiant $\lim_{x\rightarrow a} \varepsilon(x)=0$ telle que

$f(x)=f(a)+\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+(x-a)^n \varepsilon(x)$.

Remarquons d'abord que l'existence de la dérivée n-ième en $a$ entraîne qu'il existe un voisinage convexe $\mathcal W _a$ de $a$ dans $I$ (par exemple une boule ouverte de centre $a$ dans $I$) dans lequel $f$ est $n-1$ fois dérivable.

Remarquons par ailleurs que dans notre définition $\varepsilon$ est définie sur $I$ (et non sur $I\backslash \{a\}$ comme c'est souvent le cas). On a ici nécessairement $\varepsilon(a)=0$.

La formule se démontre par récurrence.

• Pour $n=1$ elle est caractéristique de toute fonction différentiable en $a$.

• Supposons qu'elle soit exacte pour toute fonction $n-1$ fois dérivable en $a$ avec $n-1 \geq 1$ . Soit alors une fonction $f$ $n$ fois dérivable en $a\in I$. Il existe un voisinage convexe $\mathcal W _a$ de $a$ dans $I$ dans lequel la fonction $f$ est dérivable. La fonction dérivée f' est alors $n-1$ fois dérivable en $a$ à valeurs dans un espace normé.

Désignons par $R(x)$ le reste à l'ordre $n:\;\;R(x)=f(x)-\left[f(a)+\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(x-a)^k}{k!}f^{[k)}(a)\right ]$.

Par hypothèse de récurrence appliquée à f', il existe une fonction $\varepsilon$ telle que, pour tout réel $x$ de $\mathcal W _a$:

$R'(x)=f'(x)- \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(x-a)^{k-1}}{(k-1)!} f^{[k]}(a)=(x-a)^{n-1} \varepsilon(x)$   avec $\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0$.

On peut remarquer qu'on peut supposer $\varepsilon$ borné sur $\mathcal W_a$ . En effet comme $\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0$, on peut trouver $\rho>0$ tel que $x\in \mathcal W_a\cap \mathcal B_0(a,\rho)\;\Rightarrow\;\|\varepsilon(x)\|<1$.  Nous pourrons, si nécessaire, remplacer dans la suite $\mathcal W_a$ par cette intersection (également convexe).  Nous garderons le nom $\mathcal W_a$ pour ce voisinage convexe.

Appliquons à $R$ sur $[a,x]\subset \mathcal W_a$ l'inégalité des accroissements finis : $\|R(x)-R(a)\|\leq |x-a|\sup_{t\in[a,x]}\|R'(t)\|$.

Donc $\forall x\in\mathcal W_a\;\;\|R(x)\|\leq |x-a|^n\;\sup_{t\in[a,x]}\|\varepsilon(t)\|$.

Mais $\lim_{x\rightarrow a}\;\sup_{t\in[a,x]}\|\varepsilon(t)\|=0$. En effet comme $\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0$ , quel que soit $\zeta >0$ il existe un voisinage convexe $\mathcal V_a$ de $a$ dans $\mathcal W_a$ tel que $x\in \mathcal V_a \Rightarrow \|\varepsilon(x)\|<\zeta$.   Mais par convexité de $\mathcal V_a, \;t\in [a,x]\Rightarrow t\in \mathcal V_a$  et donc  $\sup_{t\in[a,x]}\|\varepsilon(t)\|\leq \zeta$.

Donc sur $I\backslash \{a\},\;\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{R(x)}{(x-a)^n}=0$ et on obtient en posant sur $I\backslash\{a\}\;\;\varepsilon_1(x)=\dfrac{R(x)}{(x-a)^n}$   et    $\quad\varepsilon_1(a)=0$   la formule à l'ordre n:

$f(x)=f(a)+\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(x-a)^k}{k!} f^{[k]}(a) +(x-a)^n \varepsilon_1(x)$   avec $\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon_1(x)=0$.

Démonstration de la formule de Taylor-Young pour une fonction de classe $\mathcal{C}^n$

La formule se vérifie par récurrence sur $n$.

Considérons un voisinage $V$ de $a$ dans lequel $x$ évolue librement.

Cas $n=0$ :

Par continuité de $f$ en $a$ : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Ainsi

$f(x)=f(a)+\underbrace{(f(x)-f(a))}_{\to 0 \text{ lorsque } x\to a}\cdot (x-a)^0 \; \forall x \in V.$

Cas $n \geq 1$ :

Soit $\epsilon(x)=\frac{f(x)-T_n(x)}{(x-a)^n}$ avec $\epsilon(a)=0$.

On a bien $f(x)=T_n(x)+\epsilon(x)(x-a)^n \; \forall x \in V.$

Introduisons la fonction $g(x)$ de classe $\mathcal{C}^n$ sur $V$ et définie par

$g(x)=f(x)-\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a).$

$g(x)$ satisfait les deux propriétés :

• $g^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)$ pour $0 \leqslant k \leqslant n-1$, car

$\left(\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\right)^{(k)}=\frac{n!}{(n-k)!}\frac{(x-a)^{n-k}}{n!}f^{(n)}(a),$

• $g^{(n)}(a)=0$.

La validité pour $n-1$ de la formule de Taylor avec reste intégral implique

$g(x)=\sum^{n-1}_{k=0}\frac{(x-a)^k}{k!}g^{(k)}(a)+\int^x_a\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}g^{(n)}(t)\mathrm{d}t \; \forall x \in V.$

D’autre part

$f(x)-T_n(x)=g(x)-\sum^{n-1}_{k=0}\frac{(x-a)^k}{k!}g^{(k)}(a) \; \forall x \in V.$

Par continuité de $g^{(n)}$, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un voisinage $W$ de $a$ tel que $|g^{(n)}(t)|\leq\epsilon \; \forall t \in W.$

Finalement

$\left|\int_a^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}g^{(n)}(t)\mathrm{d}t\right|\leq\epsilon\int_a^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{d}t=\epsilon\frac{(x-a)^n}{n!},$

c'est-à-dire $\left|\epsilon(x)\right|\leq\frac{\epsilon}{n!}$ et $\lim_{x\to a}\epsilon(x)=0.$∎

Démonstration de la formule de Taylor-Lagrange

La formule de Taylor-Lagrange est une conséquence directe du théorème de Rolle.

Pour tout $x$ dans $I$, on introduit la fonction définie par

$g(y) = f(x) - \sum_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^k - c (x - y)^{n+1}$

où $c$ est choisi de sorte que $g(a) = 0$, c'est-à-dire :

$f(x) - \sum_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = c (x - a)^{n+1}.$

Puisque $g(a) = g(x) = 0$, le théorème de Rolle affirme qu’il existe $\xi$ entre $a$ et $x$ tel que $g'(\xi) = 0.$

Puisque

$g'(y) = -\frac{f^{(n+1)}(y)}{n!}(x -y)^{n} + c (n+1)(x -y)^n,$

il vient

$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x -\xi)^{n} = c (n+1)(x - \xi)^n,$ soit $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} = c$

qui implique

$(x-a)^{n+1} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} = f(x) - \sum_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$

C’est précisément la formule à montrer.∎

Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables

Il existe des formules analogues pour des fonctions n fois différentiables en un point $a$ d’un domaine $\Omega \subset \R^{p}$ à valeurs dans $\R$ (et même à valeurs dans $\R^{q}$). Cependant, les coefficients multinomiaux qui interviennent rendent l'expression assez lourde.

Considérons une boule ouverte $B$ de $\R^{p}$ (généralisation de l’intervalle $I$) centrée en $a$ et $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur l'adhérence $\bar{B}$, possédant des dérivées partielles d'ordre $n+1$ continues en chaque point. Alors, pour tout $x\in B$ :

$f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha$

où les sommes portent sur les multi-indices α (cette formule utilise les notations multi-indicées décrites dans l'article multi-indice), et où le reste vérifie l'inégalité

$|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|$

pour tous les α tels que |α| = n + 1.

En particulier, pour une fonction $f$ deux fois différentiable en $a\in\Omega\subset\R^2$ à valeur dans $\R$, on peut écrire pour tout $x\in\Omega$ :

$f(x) = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a) + \frac{1}{2}(x-a)^T \mathbb{H}(a) (x-a)+ o(||x-a||^{2}).$

où $\nabla f$ est le gradient de $f$ et $\mathbb{H}(a)$ est sa matrice hessienne évaluée en $a$.

Exemple  :

Soit une fonction $f$ deux fois différentiable en $(a,b)$ à valeur dans $\R$, alors pour tout $(x,y)\in\R^{2}$

$\begin{align} f(x,y)\approx f(a,b) &+ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2\\ &+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b) \end{align}$

Notes et références

Sources

• J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques (T2 : Analyse), Bordas, 1977
• Claude Deschamps et André Warusfel, J'intègre : Mathématiques première année, Dunod, 1999

Voir aussi

• Série de Taylor
• Développement limité
• Développement en série