Rang (mathématiques)

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En algèbre linéaire,

Rang d'une matrice[modifier | modifier le code]

Le rang d'une matrice A (dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif de scalaires, K) , noté rg A, est :

  • le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants,
  • la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de A,
  • le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de A,
  • la taille du plus grand mineur non nul de A,
  • la plus petite des tailles des matrices B et C dont le produit est égal à A,

tous ces nombres étant égaux.

On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée obtenue de cette manière.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la matrice suivante :


  A =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 & 3 \\
    2 & 0 & 4 & 6 \\
    0 & 2 & 2 & 0 \\
    1 & 2 & 4 & 3 \\
  \end{pmatrix}

On appelle l_1,l_2,l_3,l_4 les vecteurs formés par les quatre lignes de A.

On voit que la 2e ligne est le double de la première ligne, donc la famille (l_1,l_2) n'est pas libre.

En revanche, Les lignes 1 et 3 sont linéairement indépendantes (c'est-à-dire non proportionnelles). Donc la famille (l_1,l_3) est libre.

On note finalement que la 4e ligne peut être formée en additionnant les lignes 1 et 3 ( c'est-à-dire l_4 = l_1 + l_3). Donc la famille (l_1,l_3,l_4) n'est pas libre.

La plus grande famille de lignes libres de A que l'on a trouvée est (l_1,l_3), qui est de taille 2. Donc le rang de A est 2.


Une autre manière plus directe est de calculer la forme échelonnée réduite de cette matrice. Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale, et le rang correspond au nombre de lignes qui sont non nulles. Dans ce cas, nous avons deux lignes qui correspondent à ce critère.


  A' =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 & 3 \\
    0 & 1 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
  \end{pmatrix}


On remarque que le rang d'une matrice donnée est égal au rang de sa transposée. Pour l'exemple, prenons la transposée de la matrice A ci-dessus :


  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 2 & 2 \\
    2 & 4 & 2 & 4 \\
    3 & 6 & 0 & 3 \\
  \end{pmatrix}.

On voit que la 4e ligne est triple de la première, et que la troisième ligne moins la deuxième est double de la première.


Après échelonnement, on obtient donc :


  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
  \end{pmatrix}

et le rang de cette matrice est bien 2.

Rang d'une forme quadratique[modifier | modifier le code]

Le rang d'une forme quadratique est le rang de la matrice associée.

Rang d'une application linéaire[modifier | modifier le code]

Étant donnés deux K-espaces vectoriels E, F, où K est un corps commutatif, et une application linéaire f de E dans F, le rang de f est la dimension de l'image de f.

Si E et F sont de dimensions finies, c'est aussi le rang de la matrice associée à f dans deux bases de E et F. En particulier, le rang de la matrice associée à f ne dépend pas des bases choisies pour représenter f. En effet, la multiplication à droite ou à gauche par une matrice inversible ne modifie pas le rang, ce qui amène rg(P^{-1}AQ)=rg(A), où A est la matrice représentant f dans un premier couple de bases, et P,Q des matrices de changement de base.

Rang d'une famille de vecteurs[modifier | modifier le code]

  • Pour une famille, son rang correspond au nombre maximal de vecteurs que peut contenir une sous-famille libre de cette famille
  • On peut aussi définir le rang d'une famille u par : rg (u) = dim(Vect(u))

Remarque : si (u_1,\dots,u_n) est une famille de vecteurs indexée par les entiers de 1 à n, alors le rang de u est le rang de l'application linéaire

K^n\rightarrow E:(r_1,\dots,r_n)\mapsto \sum r_iu_i,

K est le corps des scalaires. La raison est la suivante : Vect(u) est l'image de cette application linéaire.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient A, B et C des matrices

  • Inégalité de Frobenius : rg(AB) + rg(BC) ≤ rg(ABC) + rg(B)
  • (Cas particulier) inégalité de Sylvester : si A a n colonnes et B a n lignes, alors rg(A) + rg(B) – n ≤ rg(AB)

Cas où le corps des scalaires n'est pas commutatif[modifier | modifier le code]

Dans ce qui précède, on a supposé que le corps des scalaires est commutatif. On peut étendre la notion de rang d'une matrice au cas où le corps des scalaires n'est pas forcément commutatif, mais la définition est un peu plus délicate.

Soient K un corps non forcément commutatif et M une matrice à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. On appelle rang de M (par rapport à K) la dimension du sous-espace engendré par les colonnes de M dans Km muni de sa structure de K-espace vectoriel à droite[1] On prouve que le rang de M est aussi égal à la dimension du sous-espace engendré par les lignes de M dans Kn muni de sa structure de K-espace vectoriel à gauche[2].

Considérons par exemple un corps non commutatif K et la matrice 
  A :=
  \begin{pmatrix}
    a  & 1\\
    ca & c\\
    \end{pmatrix}
, où a et c sont deux éléments de K qui ne commutent pas. (Ces éléments sont donc non nuls).

Les deux lignes de cette matrice sont linéairement liées dans l'espace vectoriel à gauche K2, car c(a, 1) - (ca, c) = (0, 0). De même, les deux colonnes sont liées dans l'espace vectoriel à droite K2, car (a, ca) - (1, c)a = (0, 0). Le rang de la matrice est donc égal à 1.

En revanche, les deux colonnes ne sont pas liées dans l'espace vectoriel à gauche K2. En effet, soient d et e des scalaires tels que d(a, ca) + e(1, c) = (0, 0). Alors (premières composantes) e = - da, d'où (secondes composantes) dca - dac = 0. Puisque a et c sont supposés ne pas commuter, ceci entraîne d = 0 et notre résultat e = - da donne e = 0. Nous avons ainsi prouvé que les deux colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes dans l'espace vectoriel à gauche K2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Définition conforme à N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, définition 7.
  2. Voir N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10 et alinéa suivant la démonstration de cette proposition.

Articles connexes[modifier | modifier le code]