Action de groupe (mathématiques)

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En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe.

Définition

Étant donné un groupe $G$, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté $e$, on peut définir une action (ou opération) de $G$ sur un ensemble $E$ par une application :

$G \times E \rightarrow E$

$(g,x) \mapsto g \cdot x$

vérifiant les propriétés suivantes :

$\forall x \in E,\ e \cdot x = x$

$\forall (g,g') \in G^2,\ \forall x \in E,\ g' \cdot (g \cdot x)= (g'g) \cdot x.$

Dans ce cas on dit également que $G$ opère (ou agit) sur l'ensemble $E$. Il est important de bien vérifier que l'ensemble $E$ est stable sous l'action du groupe $G$.

Un point de vue équivalent consiste à dire que le groupe $G$ opère sur l'ensemble $E$ si l'on dispose d'un morphisme de groupes, dit associé à l'action, $\phi : G \to \mathfrak{S}(E)$ , du groupe dans le groupe symétrique de l'ensemble. Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe $G$.

Ce morphisme est lié à l'action par

$g \cdot x = (\phi(g))(x)$

pour tous $g\in G, x\in E$.

Exemples

• Un groupe opère sur lui-même de deux manières fondamentales :
  • par translation à gauche, cette action est libre et transitive :
    $G \times G \rightarrow G,\ (g,x) \mapsto gx$
  • par automorphismes intérieurs, action aussi appelée par conjugaison :
    $G \times G \rightarrow G,\ (g,x) \mapsto gxg^{-1}$
• Le groupe symétrique d'un ensemble $E$ opère naturellement sur $E$, cette action est fidèle et transitive :
  $\mathfrak{S} (E) \times E \rightarrow E,\ (\sigma,x) \mapsto \sigma(x)$
• Le groupe orthogonal (resp. unitaire) d'un espace euclidien (resp. espace hermitien) $E$ opère sur sa sphère unité :
  • $O(E) \times S \rightarrow S,\ (u,x) \mapsto u(x)$
  • $U(E) \times S \rightarrow S,\ (u,x) \mapsto u(x)$
• Le groupe linéaire d'un espace vectoriel $E$ opère sur l'ensemble $\scriptstyle\eth$ de ses bases, cette action est libre et transitive :
  $GL(E) \times \eth \rightarrow \eth,\ (f,(e_i)_{i\in I}) \mapsto (f(e_i))_{i\in I}.$
• Le groupe projectif linéaire (ou groupe des homographies) $\scriptstyle\mathbb{PGL}(E)$ d'un espace projectif ℙ($E$) opère sur l'ensemble ℱ de ses faisceaux harmoniques :
  $\mathbb{PGL}(E) \times \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F},\ (\phi,F) \mapsto \phi(F).$
• Si pour tout entier relatif $n$ on définit
  $f_n \ : \ \C^* \rightarrow\C^*,\ x \mapsto x^n$
  alors le groupe ℤ opère sur ℚ^* :
  $\Z\times\Q^*\rightarrow\Q^*,\ (n,r) \mapsto f_n(r).$
  Cette action est fidèle, mais pas transitive.
• Le groupe symétrique d'indice p opère sur l'ensemble des formes p-linéaires par :
  $\begin{array}{ccl} \mathfrak{S}_p \times \mathcal{L}_p& \rightarrow & \mathcal{L}_p \\ (\sigma,\varphi) & \mapsto & \sigma\varphi : (x_1,\ldots,x_p) \mapsto \varphi(x_{\sigma 1},\ldots,x_{\sigma p}).\end{array}$
• Le groupe de Galois d'un polynôme opère sur l'ensemble de ses racines.

Actions à droite, actions à gauche

Tous les exemples du paragraphe précédent sont des actions à gauche. Mais il est utile de considérer aussi les actions à droite. On aura une action à droite si

$\forall (g,g') \in G^2,\ \forall x \in E,\ g' \cdot (g \cdot x)= (gg') \cdot x.$

Ainsi, un groupe $G$ opère sur lui même à droite par translations à droite. Il est bien sûr naturel et commode de noter

$(x,g)\mapsto x\cdot g$

une action à droite.

Le groupe opposé du groupe symétrique $\ \mathfrak{S}(E)$ est l'ensemble des permutations de E muni de la loi de composition $\ (f, g) \mapsto f \star g = g \circ f$. À une action à droite d'un groupe G sur un ensemble E, il correspond un homomorphisme de G dans l'opposé de $\ \mathfrak{S}(E)$. Cet homomorphisme applique un élément g de G sur la permutation $\ x \mapsto xg$ de E.

Orbites, stabilisateurs et points fixes

Orbite d'un élément

On définit l'orbite d'un élément $x$ de $E$ par

$O_x = \left\{ g \cdot x ,\ g \in G \right\}.$

L'orbite de $x$ est l'ensemble des positions (dans $E$) susceptibles d'être occupées par l'image de $x$ sous l'action de $G$. La relation « $y$ est dans l'orbite de $x$ » est une relation d'équivalence sur $E$, les classes d'équivalences sont les orbites.

En particulier, les orbites forment une partition de $E$.

Stabilisateur d'un élément

Le stabilisateur (ou sous-groupe d'isotropie) d'un élément $x$ de $E$ est l'ensemble

$G_x = St_x = \left\{ g \in G \mid g \cdot x = x \right\}$

des éléments qui laissent $x$ invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de $G$. Les stabilisateurs de deux éléments de la même orbite sont conjugués via la formule :

$St_{g\cdot x} = g St_x g^{-1}~.$

En particulier ils sont isomorphes, donc équipotents.

L'application

$\left\{\begin{array}{ccc} G/St_x & \rightarrow & O_x\\ \bar{g} & \mapsto & g \cdot x \end{array}\right.$

est une bijection de $G/St_x$ sur $O_x$ (cf infra : formule des classes).

Points fixes d'un élément du groupe

On peut définir, de manière analogue, l'ensemble $\mathrm{Fix}_g$ des points fixés par un élément $g\in G$ comme l'ensemble des éléments de $E$ invariants sous l'action de $g$.

Caractéristiques des actions de groupe

Action transitive

Une action est dite transitive si elle possède une et une seule orbite. Une action d'un groupe G sur un ensemble X est donc transitive si et seulement X n'est pas vide et que deux éléments quelconques de X peuvent être envoyés l'un sur l'autre par l'action d'un élément du groupe :

$\forall x,y\in X, \exists g\in G, y=g\cdot x.$

Plus généralement, une action sur un ensemble X (d'au moins n éléments) est dite n-transitive si l'action correspondante sur l'ensemble des n-uplets d'éléments distincts est transitive, c'est-à-dire si pour n points distincts x₁,…,x_n et n points distincts y₁,…,y_n, quelconques dans X, il existe toujours au moins un élément g du groupe tel qu'on ait à la fois g·x₁=y₁, … , g·x_n=y_n.

L'action est dite strictement n-transitive si, de plus, un tel g est toujours unique, autrement dit si l'action sur les n-uplets d'éléments distincts est simplement transitive.

Action libre

Une action est dite libre si tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si tout élément différent du neutre agit sans point fixe : $\forall x \in E, St_x = \{e\}$.

Action fidèle

Une action est dite fidèle (on dit parfois aussi effective) si l'intersection de tous les stabilisateurs est réduite au neutre, autrement dit si seul le neutre fixe tous les points. Une action libre est fidèle.

De façon équivalente, une action est fidèle si le morphisme

$\begin{array}{ccccc} \phi & : & G & \to & \mathfrak S(E) \\ & & g & \mapsto & \phi (g) \\\end{array}$

défini par $(\phi(g))(x)=g \cdot x$ est injectif.

Action simplement transitive

Une action est dite simplement transitive si elle est à la fois transitive et libre. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un et un seul élément du groupe :

$\forall x,y\in X, \exists!g\in G, y=g.x.$

Par exemple, l'action d'un groupe sur lui-même par translations à gauche (ou à droite) est simplement transitive.

Une action fidèle et transitive d'un groupe abélien est simplement transitive (Berger, Géométrie, 1.4).

Action continue

Si G est un groupe topologique et X un espace topologique, l'action est dite continue si l'application correspondante G×X→X, (g,x)↦g.x est continue, G×X étant muni de la topologie produit. L'espace X/G des orbites est alors muni d'une topologie quotient et l'application X→X/G est ouverte. Si X/G est compact, l'action est dite cocompacte.

L'action est dite propre si l'application G×X→X×X, (g,x)↦(g.x,x) est propre. L'espace des orbites est alors séparé. Une action continue propre d'un groupe discret est dite proprement discontinue (en). Lorsque G est localement compact et X séparé, l'action est propre si et seulement si deux points quelconques $x$ et $y$ de X possèdent toujours des voisinages $V_x$ et $V_y$ tels que $V_y$ ne rencontre $g V_x$ que pour un ensemble relativement compact d'éléments $g$ de G. Lorsque G est séparé et X localement compact, une action continue est propre si et seulement si, pour tout compact K de X, le fermé des éléments g de G pour lesquels gK rencontre K est compact. Si G est un groupe compact, ces conditions de (relative) compacité de parties de G sont automatiquement vérifiées. Si G est un groupe discret, elles équivalent à la finitude des parties considérées.

Formule des classes, formule de Burnside

À travers les notions d'orbite et de stabilisateur, les actions de groupe sont un outil commode en combinatoire. D'autre part, un certain nombre de propriétés concernant la structure de certains groupes peuvent être démontrées par des arguments de dénombrement.

Deux identités reviennent fréquemment lorsque l'ensemble $E$ et le groupe $G$ sont finis.

• La formule des classes affirme que pour toute orbite $\omega$ et pour tout point $x$ de cette orbite,

$\mathrm{card}~\omega = \frac {\mathrm{card}~ G} {\mathrm{card}~ St_x}~.$

Cette formule est compatible avec le fait, remarqué précédemment, que les stabilisateurs de deux éléments d'une même orbite ont le même cardinal. Par suite, si l'on désigne par $\Omega$ l'ensemble des orbites et par $c_\omega$ le cardinal commun des stabilisateurs des éléments de l'orbite $\omega$, un corollaire de la formule des classes est :

$\mathrm{card}~E =\sum_{\omega \in \Omega} \mathrm{card}~\omega \ = {\mathrm{card}~G} \ \sum_{\omega \in\Omega}\frac {1} {c_\omega}$

• La formule de Burnside affirme pour sa part (toujours sous l'hypothèse que $E$ et $G$ sont finis) que le nombre d'orbites est

$\mathrm{card}~ \Omega = \frac1{\mathrm{card}~ G}\sum_{g\in G} \mathrm{card}~\mathrm{Fix}_g~.$

En particulier, si $G$ est un groupe fini agissant transitivement sur un ensemble non vide $E$, alors la moyenne du nombre de points fixes des éléments du groupe $G$ est égale à $1$.

Démonstrations

• Formule des classes

Soit $\gamma$ la surjection de G dans l'orbite $\omega$ de $x$ : $g \mapsto g.x$.

Deux éléments de G ont même image par $\gamma$ si et seulement s'ils sont dans la même classe à gauche pour $St_x$ :

$g.x=g'.x \ \Leftrightarrow g'^{-1}g.x=x \ \Leftrightarrow g'^{-1}.g \in St_x~.$

L'ensemble quotient $G/St_x$ (l'ensemble des classes à gauche) est donc en bijection avec $\omega$.

Or ces classes forment une partition de G et ont toutes le même cardinal : celui de $St_x$. Il en résulte immédiatement la formule annoncée :

$\mathrm{card}~\omega=\mathrm{card}~(G/St_x)=(\mathrm{card}~G)/(\mathrm{card}~St_x)~.$

• Formule de Burnside

Soit $A = \{(g,x) \in G \times E~/~gx=x\}$. On peut écrire en désignant par $\Omega$ l'ensemble des orbites :

$\mathrm{card}~A=\sum_{x \in E}\mathrm{card}~\{g \in G~/~gx=x\}=\sum_{x \in E}\mathrm{card}~St_x =\sum_{\omega\in\Omega}\sum_{x\in\omega}\mathrm{card}~St_x~.$

Or il résulte de la formule des classes (cf. ci-dessus) que pour chaque orbite $\omega$,

$\sum_{x\in\omega}\mathrm{card}~St_x=\sum_{x\in\omega}(\mathrm{card}~G)/(\mathrm{card}~\omega)=\mathrm{card}~G~,$

donc $\mathrm{card}~A = \mathrm{card}~\Omega.\mathrm{card}~G~.$

Mais on peut aussi calculer card A en groupant différemment les éléments :

$\mathrm{card}~A=\sum_{g\in G}\mathrm{card}~\{x\in E~/~gx=x\}=\sum_{g\in G}\mathrm{card}~\mathrm{Fix}_g~.$

Et en écrivant l'égalité des deux expressions de card A trouvées, on obtient la formule annoncée :

$\mathrm{card}~\Omega=\frac1{\mathrm{card}~G}\sum_{g\in G}\mathrm{card}~\mathrm{Fix}_g~.$

Notes et références

Références

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], chap. 1 
• Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, PUF, 1984

Voir aussi

Articles connexes

• Représentation de groupe
• Théorème de Cayley

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Group Action », MathWorld