Sous-espace vectoriel engendré

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Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille[1].

Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.

On note Vect(A)[2],[3] (ou parfois 〈A〉)[réf. nécessaire] l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Autrement dit : un vecteur v appartient à Vect(A) si et seulement s'il existe une famille (λa)aA de scalaires, à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices correspondant à des scalaires non nuls est fini) et telle que

v=\sum_{a\in A}\lambda_aa.

On démontre que Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E contenant A et que c'est le plus petit (pour l'inclusion), ce qui en fournit une définition équivalente. Vect(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

La partie A est dite génératrice de Vect(A), ou ensemble de générateurs de Vect(A).

La définition s'étend à une famille quelconque (vi)iI de vecteurs de E (non nécessairement distincts). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté Vect((vi)iI), est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A = {vi | iI}. C'est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille :


{\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right) =
\left\{ \lambda_{i_1} v_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_k} v_{i_k} | k \in\N,  i_1, \ldots, i_k \in I, \lambda_{i_1} ,\ldots, \lambda_{i_k} \in K\right\}

où ℕ est l'ensemble des entiers naturels.

Les familles (λi)iI de scalaires à support fini forment un K-espace vectoriel noté K(I). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (vi)iI est l'image de l'application linéaire

\begin{matrix} K^{(I)} & \rightarrow & E\\ (\lambda_i)_{i\in I} & \mapsto& \sum_{i\in I}\lambda_iv_i.\end{matrix}

Base[modifier | modifier le code]

Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Dans l'espace vectoriel réeln, la base canonique est, comme toute base, un ensemble générateur.
  • Dans ℝ3, un exemple d'ensemble générateur et non libre (donc qui n'est pas une base) est {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (–1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}.
  • Le triplet des vecteurs u = (1, 0, 0), v = (1,1,0) et w = (0,1,0) = v – u n'engendre pas ℝ3 tout entier mais seulement le plan vectoriel d'équation z = 0 :
    {\rm Vect}(u,v,w)={\rm Vect}(u,v)=\{(\lambda+\mu,\mu,0)~|~(\lambda,\mu)\in\R^2\}=\{(x,y,0)~|~(x,y)\in\R^2\}.
  • Soit P=\{(x,y,z)\in\R^3~|~x+y-z=0\}. On a
    P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)~|~(x,y)\in\R^2\}={\rm Vect}((1,0,1),(0,1,1)).
  • Dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K, le sous-espace engendré par les monômes X2k pour k entier naturel est le sous-espace des polynômes de la forme P(X2).
  • Dans tout espace vectoriel, le sous-espace engendré par l'ensemble vide est l'espace nul.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour toute partie A et tout vecteur v d'un espace vectoriel E, on a :
    {\rm Vect}(A\cup\{v\})={\rm Vect}(A)\Longleftrightarrow v\in{\rm Vect}(A).
  • Pour tout entier naturel n, la dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n (si et) seulement si la famille est libre.
  • Pour toutes parties A et B de E, {\rm Vect}(A\cup B)={\rm Vect}(A)+{\rm Vect}(B).
  • L'application Vect, de l'ensemble des parties de E dans lui-même, est un opérateur de clôture, c'est-à-dire une application
    • croissante : si A \subset B, alors  \mbox{Vect}(A) \subset \mbox{Vect}(B),
    • extensive :  A \subset \mbox{Vect}(A) et
    • idempotente : \mbox{Vect}(\mbox{Vect}(A)) = \mbox{Vect}(A).

Ses points fixes sont les sous-espaces vectoriels de E.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], p. 100.
  2. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1, Dunod,‎ 2013, 2e éd. (ISBN 978-2-10060013-7, lire en ligne), p. 172.
  3. Les anglophones le notent Span(A), cf. par exemple Artin 1991, p. 88 et 100.