Sous-espace vectoriel engendré

Etant donnée une partie (pas nécessairement finie) A d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, le sous-espace vectoriel engendré par A est exactement le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. Des définitions équivalentes sont données ci-dessous. L'engendrement par une famille de vecteurs $(v_i)_{i\in I}$ se définit de même en prenant $A=\{v_i,\, i\in I\}$. Par exemple, dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K, le sous-espace engendré par les monomes $X^{2i}$ pour $i$ entier est le sous-espace des polynômes de la forme P(X²).

Une famille de vecteurs $(v_i)_{i\in I}$ ou une partie $A$ est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Définitions équivalentes

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K. Le sous-espace engendré par A peut etre défini comme :

• Le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A, comme dans l'introduction ;
• Ou le sous-ensemble <A> de E des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Ces deux sous-ensembles de E sont égaux : la démonstration doit justifier en particulier que <A> est bien un sous-espace vectoriel de E. Un vecteur appartient à <A> ssi il existe une famille $(\lambda_i)_{i\in I}$ de scalaires à support fini telle que

$v=\sum_{i\in I}\lambda_iv_i$.

De manière naturelle, <A> est un espace vectoriel. La partie A, contenue dans <A>, est appelée partie génératrice de <A>, ou ensemble de générateurs de <A>.

La définition s'étend à une famille quelconque $(v_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $E$. (Les vecteurs v_i peuvent éventuellement être égaux.) Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté ${\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right)$, est :

${\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right) = \left\{ \lambda_{i_1} v_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_k} v_{i_k} | k \in \mathbb{N}, i_1, \ldots, i_k \in I, \lambda_{i_1} ,\ldots, \lambda_{i_k} \in \mathbb{K} \right\}$

où $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels. En particulier, $Vect(v_i)$ est le sous-espace vectoriel engendré par la partie $A=\{v_i,i\in I\}$. Toutes les combinaisons linéaires écrites ci-dessus portent sur un nombre fini de vecteurs.

Les familles $(\lambda_i)_{i\in I}$ de scalaires à support fini forment un espace vectoriel sur K, noté K^(I). L'addition vectorielle s'effectue composante par composante. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille $(v_i)_{i\in I}$ est l'image de l'application linéaire $\begin{matrix} K^{(I)} & \rightarrow & E\\ (\lambda_i)_{i\in I} & \rightarrow & \sum_{i\in I}\lambda_iv_i\end{matrix}$.

Base

Article détaillé : Base.

Une base de E est une famille génératrice $(v_i)_{i\in I}$ constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Exemples

• L'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^3$ admet $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est $\{(1,2,3),(0,1,2),(-1,1/2,3),(1,1,1)\}$ mais celui-ci n'est pas une base de $\mathbb{R}^3$ parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble $\{(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)\}$ n'engendre pas $\mathbb{R}^3$; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ dont la dernière composante est nulle.
• Dans l'espace vectoriel usuel, $\mathbb{R}^3$, considérons les vecteurs $u_1=(1,0,0)$ et $u_2=(1,1,0)$. On a

${\rm Vect}(u_1, u_2)=\{(\lambda+\mu,\mu,0)/(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\}=\{(x,y,0)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$

• Soit $P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/x+y-z=0\}$. On a

$P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}={\rm Vect}((1,0,1),(0,1,1))$.

Théorèmes

Théorème 1 : ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$.

Ce résultat est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.

Théorème 2 : $\mathrm{Vect}(A)$ est aussi un sous-espace vectoriel de $E$. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de $E$, contenant $A$.

Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.

Démonstration du théorème 1 :

Stabilité pour la somme :

Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ sont $x=a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n$ et $y=b_1.v_1+\ldots+b_n.v_n$.

Nous avons à montrer que $x+y$ est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire :

$x + y = ( a_1 + b_1 ) v_1 + \cdots + ( a_n + b_n ) v_n \,$

et puisque pour tout $i$, $a_i+b_i$ est un scalaire de $K$, nous voyons que $x+y$ est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.

Stabilité pour la multiplication par un scalaire :

Soit $c$ un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: $x=a_1.v_1+\ldots+a_n.v_n$.

Nous avons à montrer que $c.x$ est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Nous avons

$c x = ( c a_1 ) v_1 + \cdots + ( c a_n ) v_n \,$

et puisque pour tout $i$, $c.a_i$ est aussi un scalaire le résultat est acquis.

${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ est non vide.

Le vecteur nul de $E$, $0_E$ est une combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$ puisque nous pouvons écrire:

$0_E=0_Kv_1+0_Kv_2+\cdots+0_Kv_n\,$

(Ici, $0_K$ est l'élément neutre additif du corps $K$.)

Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons $\forall v\in E,\quad 0_K.v=0_E$.

Minimalité :

Supposons que $F$ soit un autre sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$.

Alors $F$ est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires $a_1, \ldots, a_n$, $a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n$ est un élément de $F$. Ainsi, ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$, l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de $F$.

Propriétés

• Soient $v_1, \ldots, v_n$ $n$ vecteurs d'un espace vectoriel $E$. Nous avons

$\textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1}) = \textrm{Vect} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_n \in \textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1})$

• La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de $n$ vecteurs est égale à $n$ si et seulement si la famille est libre.
• Pour toutes parties $A$ et $A'$ de $E$,
  • $A\subset A'\Rightarrow {\rm Vect}(A)\subset {\rm Vect}(A')$
  • ${\rm Vect}(A\cup A')={\rm Vect}(A)+{\rm Vect}(A')$.