Application contractante

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante[1], ou contraction[2], est une application k-lipschitzienne avec 0 ≤ k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Théorème du point fixe pour une application contractante[modifier | modifier le code]

Théorème — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application k-contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x* de f (c'est-à-dire un x* dans E tel que f(x*) = x*). De plus, toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence
x_{n+1}=f(x_n)
vérifie la majoration
d(x_n,x^*) \le \frac {k^n}{1-k} d(x_0,x_1)

donc converge vers x*.

Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1920 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales[4] — ou théorème du point fixe de Picard[1].

Corollaire pour une application dont une itérée est contractante[modifier | modifier le code]

Le corollaire suivant est utilisé dans certaines preuves du théorème de Cauchy-Lipschitz[5], ce qui dispense des précautions de la preuve usuelle[6], destinées à se placer dans une situation où l'application f est contractante.

Corollaire[7],[8],[9],[10] — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application de E dans E dont une itérée f q est contractante. Alors f possède un unique point fixe x* et toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn+1 = f(xn) converge vers x*.

Remarques :

  • dans ce corollaire, l'application f n'est pas nécessairement continue[8] ;
  • comme dans le théorème, la convergence de la suite est au moins géométrique (de raison k1/q si f q est k-contractante).

Approximations successives[modifier | modifier le code]

Ces résultats donnent un algorithme de calcul du point fixe (c'est la « méthode des approximations successives[11] ») contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur.

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Remarquons que dans le théorème principal, si l'on note kn la constante de Lipschitz de f n, on a majoré kn par kn. Cette majoration est souvent très mauvaise[réf. nécessaire], ce qui explique que la majoration précédente de d(xn, x*) soit souvent pessimiste. En faisant sur f une hypothèse un peu plus forte que celle du corollaire ci-dessus, mais pas autant que celle du théorème, on peut aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles) : si, pour tout entier n, l'application f n est kn-lipschitzienne et si la série de terme général kn est convergente — ce qui permet d'appliquer le corollaire puisque kq < 1 pour q assez grand — alors, en notant comme précédemment x* le point fixe de f et xn = f n(x0) (pour un point arbitraire x0 de E),

\forall n\in\N\quad d(x_n,x^*) \leq  \left(\sum_{i=n}^{\infty}k_i\right)d(x_0,x_1).

Applications classiques[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Jean-Pierre Bourguignon, Calcul variationnel, Éditions de l'École Polytechnique,‎ 2008 (ISBN 978-2-73021415-5, lire en ligne), p. 7 et 27-28.
  2. a et b Alain Yger et Jacques-Arthur Weil, Mathématiques appliquées L3 : Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés, Pearson,‎ 2009 (ISBN 978-2-74407352-6, lire en ligne), p. 141.
  3. (en) Richard S. Palais (en), « A simple proof of the Banach contraction principle », Journal of Fixed Point Theory and Applications, vol. 2,‎ 2007, p. 221-223 (lire en ligne).
  4. S. Banach, « Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales », Fund. Math., vol. 3,‎ 1922, p. 133-181 (lire en ligne), reproduit dans Travaux de Stefan Banach, p. 305-348 (thèse présentée en juin 1920 à l'université de Lviv), chap. II, § 2, Théorème 6.
  5. (en) Philippe G. Ciarlet, Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM,‎ 2013 (lire en ligne), p. 157.
  6. (en) A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin (de) (trad. Leo F. Boron), Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, vol. 1, Dover Publications,‎ 1999 (1re éd. 1957) (lire en ligne), p. 46-49 (trad. de l'éd. en russe de 1954).
  7. E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3 : Topologie et éléments d'analyse, Masson,‎ 1976, p. 64, Théorème.
  8. a et b Ciarlet 2013, p. 154, Problem 3.7-2.
  9. (en) D. R. Smart, Fixed Point Theorems, CUP, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics » (no 66),‎ 1980 (1re éd. 1974) (ISBN 9780521298339, lire en ligne), p. 38, Theorem 5.2.1.
  10. Kolmogorov et Fomin 1999, p. 50-51, donnent ce théorème et l'appliquent à l'équation intégrale de Volterra. Voir aussi la version très librement remaniée de leur ouvrage : (en) R. A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover,‎ 2012 (1re éd. 1970) (lire en ligne), p. 70 et 75-76.
  11. Kolmogorov et Fomin 1999, p. 43.

Articles connexes[modifier | modifier le code]