Application contractante

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante[1], ou contraction[2], est une application k-lipschitzienne avec 0 ≤ k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Théorème du point fixe pour une application contractante[modifier | modifier le code]

Théorème — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application k-contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x* de f (c'est-à-dire un x* dans E tel que f(x*) = x*). De plus, toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence

x_{n+1}=f(x_n)

vérifie la majoration

d(x_n,x^*) \le \frac {k^n}{1-k} d(x_0,x_1)

donc converge vers x*.

Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1922 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales[4] — ou théorème du point fixe de Picard[1].

Approximations successives[modifier | modifier le code]

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur.

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Remarquons que si l'on note kn la constante de Lipschitz de f n, on a majoré kn par kn. Cette majoration est souvent très mauvaise[réf. nécessaire], ce qui explique que la majoration précédente de d(xn, x*) soit souvent pessimiste. On peut alors énoncer un théorème du point fixe légèrement modifié qui permet d'aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles)[réf. nécessaire] :

Théorème du point fixe modifié[réf. nécessaire] — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application de E dans E. On suppose que pour tout entier n, l'application f n est kn-lipschitzienne et que la série de terme général kn est convergente. Alors f possède un unique point fixe et toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn+1 = f(xn) converge vers ce point fixe.

Dans ce cas on a la majoration

d(x_n,x^*) \leq \left(\sum_{i=n}^{\infty}k_i\right)d(x_0,x_1).

Applications classiques[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Jean-Pierre Bourguignon, Calcul variationnel, Éditions de l'École Polytechnique,‎ 2008 (ISBN 978-2-73021415-5, lire en ligne), p. 7 et 27-28.
  2. a et b Alain Yger et Jacques-Arthur Weil, Mathématiques appliquées L3 : Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés, Pearson,‎ 2009 (ISBN 978-2-74407352-6, lire en ligne), p. 141.
  3. (en) Richard S. Palais (en), « A simple proof of the Banach contraction principle », Journal of Fixed Point Theory and Applications, vol. 2,‎ 2007, p. 221-223 (lire en ligne).
  4. S. Banach, « Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales », Fund. Math., vol. 3, 1922, p. 133-181.

Articles connexes[modifier | modifier le code]