Base de Schauder

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En analyse fonctionnelle (mathématique), la notion de base de Schauder est une généralisation de celle de base (algébrique). La différence vient du fait que dans une base algébrique, on considère des combinaisons linéaires finies d'éléments, alors que pour des bases de Schauder elles peuvent être infinies. Ceci en fait un outil plus adapté pour l'analyse des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie, en particulier les espaces de Banach.

Les bases de Schauder furent introduites en 1927 par Juliusz Schauder[1],[2], qui explicita un exemple pour C([0, 1]).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X un espace de Banach sur ℝ ou ℂ. Une suite (e_n)_{n\in\N} d'éléments de X est une base de Schauder pour X si, pour tout xX, il existe une unique suite (a_n)_{n\in\N} de scalaires telle que

 x =\lim_n\sum_{k=0}^n a_k e_k,

avec convergence en norme dans X. Les scalaires (a_n)_{n\in\N} sont appelés coordonnées de x.

Exemples et propriétés[modifier | modifier le code]

En 1972, Stanisław Mazur offre à Per Enflo l'oie vivante qu'il avait promise en 1936 dans le Livre écossais à qui résoudrait le problème d'approximation.
  • Les bases de Schauder d'un espace vectoriel de dimension finie sont ses bases au sens algébrique.
  • Une base algébrique d'un espace de Banach de dimension infinie n'est jamais dénombrable — c'est une conséquence du théorème de Baire — donc n'est pas une base de Schauder.
  • Si X = c0 ou X = p, 1 ≤ p < +∞, la suite canonique (δn)n∈ℕ définie par \delta_n=(0,...,0,\stackrel n1,0,...)est une base de Schauder.
  • Une base hilbertienne d'un espace de Hilbert séparable est une base de Schauder.
  • Le système de Haar forme un base de Schauder de Lp([0, 1]), 1 ≤ p < +∞.
  • Le système trigonométrique forme une base de Schauder de Lp([0, 2π]), 1 < p < +∞. Pour p = 2, c'est une conséquence du théorème de Riesz-Fischer.
  • L'espace C([0, 1]) des fonctions continues sur [0, 1], muni de la norme de la convergence uniforme, possède une base de Schauder.
  • Si l'espace X a une base de Schauder, alors il est séparable et a la propriété d'approximation bornée. Per Enflo[3] a construit un espace de Banach réflexif séparable n'ayant pas la propriété d'approximation, donc sans base de Schauder.
  • Un théorème de Stanisław Mazur assure qu'un espace de Banach (de dimension infinie) possède toujours un sous-espace de dimension infinie ayant une base de Schauder.

Base inconditionnelle[modifier | modifier le code]

Une base de Schauder (e_n)_{n\in\N} de X est dite inconditionnelle si pour tout xX, la série représentant x converge inconditionnellement. L'avantage de l'inconditionnalité est de pouvoir sommer les termes d'une série sans tenir compte de l'ordre.

Les bases de Schauder canoniques de c0 ou ℓp, 1 ≤ p < +∞, ainsi que les bases hilbertiennes d'un espace de Hilbert séparable sont inconditionnelles.

Pour 1 < p < +∞, le système trigonométrique n'est pas une base inconditionnelle de Lp([0, 2π]), sauf pour p = 2.

Pour 1 < p < +∞, le système de Haar forme une base inconditionnelle de Lp([0, 1]).

L'espace de Tsirelson (en) a une base inconditionnelle.

Les espaces qui jouissent de la propriété de Daugavet — comme L1([0, 1]) et C([0,1]) — n'ont pas de base inconditionnelle ; ils ne peuvent même pas se plonger dans un espace ayant une base inconditionnelle[4].

Une question naturelle est de savoir si un espace de Banach de dimension infinie possède toujours un sous-espace de dimension infinie ayant une base inconditionnelle. Ce problème a été résolu par Timothy Gowers et Bernard Maurey (de)[5] par la négative.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schauder basis » (voir la liste des auteurs)

  1. (de) J. Schauder, « Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen », Mathematische Zeitschrift, vol. 26,‎ 1927, p. 47-65.
  2. (de) J. Schauder, « Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems », Mathematische Zeitschrift, vol. 28,‎ 1928, p. 317-320.
  3. (en) Per Enflo, « A counterexample to the approximation problem in Banach spaces », Acta Mathematica, vol. 130,‎ 1973, p. 309-317 (lire en ligne).
  4. (en) V. Kadets, R. Shvidkoy, G. Sirotkin et D. Werner, « Banach spaces with the Daugavet property », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 352,‎ 2000, p. 855-873.
  5. (en) W. T. Gowers et B. Maurey, « The unconditional basic sequence problem », J. Amer. Math. Soc., vol. 6,‎ 1993, p. 851-874 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, 1984 (ISBN 978-0-387-90859-5)
  • (en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Base d'Auerbach