Base de Schauder

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En analyse fonctionnelle (mathématique), la notion de base de Schauder est une généralisation de celle de base (algébrique). La différence vient du fait que dans une base algébrique, on considère des combinaisons linéaires finies d'éléments, alors que pour des bases de Schauder elles peuvent être infinies. Ceci en fait un outil plus adapté pour l'analyse des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie, en particulier les espaces de Banach.

Les bases de Schauder furent introduites en 1927 par Juliusz Schauder[1],[2], qui explicita un exemple pour C([0, 1]).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X un espace de Banach sur ou . Une suite (e_n)_{n\in\N} d'éléments de X est une base de Schauder de X si, pour tout xX, il existe une unique suite (a_n)_{n\in\N} de scalaires telle que

 x =\sum_{n=0}^{\infty}a_ne_n,

au sens de la convergence en norme dans X. Les scalaires a_n sont alors appelés les coordonnées de x.

Exemples et propriétés[modifier | modifier le code]

En 1972, Stanisław Mazur offre à Per Enflo l'oie vivante qu'il avait promise en 1936 dans le Livre écossais à qui résoudrait le problème d'approximation.

Base inconditionnelle[modifier | modifier le code]

Une base de Schauder (e_n)_{n\in\N} de X est dite inconditionnelle si pour tout xX, la série représentant x converge inconditionnellement, c'est-à-dire si l'on peut sommer ses termes sans tenir compte de l'ordre.

Les bases de Schauder canoniques de c0 ou ℓp, 1 ≤ p < +∞, ainsi que les bases hilbertiennes d'un espace de Hilbert séparable sont inconditionnelles.

Pour 1 < p < +∞, le système trigonométrique n'est pas une base inconditionnelle de Lp([0, 2π]), sauf pour p = 2.

Pour 1 < p < +∞, le système de Haar forme une base inconditionnelle de Lp([0, 1]).

L'espace de Tsirelson (en) a une base inconditionnelle.

Les espaces qui jouissent de la propriété de Daugavet — comme L1([0, 1]) et C([0,1]) — n'ont pas de base inconditionnelle ; ils ne peuvent même pas se plonger dans un espace ayant une base inconditionnelle[5].

Une question naturelle est de savoir si un espace de Banach de dimension infinie possède toujours un sous-espace de dimension infinie ayant une base inconditionnelle. Ce problème a été résolu par Timothy Gowers et Bernard Maurey (de)[6] par la négative.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schauder basis » (voir la liste des auteurs).

  1. (de) J. Schauder, « Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen », Mathematische Zeitschrift, vol. 26,‎ 1927, p. 47-65 (lire en ligne).
  2. (de) J. Schauder, « Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems », Mathematische Zeitschrift, vol. 28,‎ 1928, p. 317-320 (lire en ligne).
  3. (en) B. I. Golubov, « Faber-Schauder system », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  4. (en) Per Enflo, « A counterexample to the approximation problem in Banach spaces », Acta Math., vol. 130,‎ 1973, p. 309-317 (lire en ligne).
  5. (en) V. Kadets, R. Shvidkoy, G. Sirotkin et D. Werner (de), « Banach spaces with the Daugavet property », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 352,‎ 2000, p. 855-873.
  6. (en) W. T. Gowers et B. Maurey, « The unconditional basic sequence problem », J. Amer. Math. Soc., vol. 6,‎ 1993, p. 851-874 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Base d'Auerbach