Théorème de Banach-Stone

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En mathématiques, le théorème de Banach-Stone, nommé d'après Stefan Banach et Marshall Stone, est un résultat d'analyse fonctionnelle selon lequel si deux espaces compacts ont le « même » espace vectoriel normé (à isomorphisme près) d'applications continues à valeurs complexes, alors ils sont homéomorphes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour tout compact X, notons C(X) l'espace de Banach des applications continues (donc bornées) de X dans ℂ, muni de la norme de la convergence uniforme.

Pour tous compacts X et Y et toute isométrie linéaire surjective T : C(X) → C(Y), il existe un homéomorphisme φ : YX et une application gC(Y) tels que

\begin{matrix}&\forall y\in Y,&|g(y)|=1\\{\rm et}&&\\&\forall f\in C(X),\forall y\in Y,&(Tf)(y)=g(y)f(\varphi(y)).\end{matrix}

Remarques

Résumé de preuve[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de C(X) est l'espace de Banach M(X) des mesures de Borel complexes (en) quasi-régulières, muni de la norme de la variation totale.

L'application qui à x associe la mesure de Dirac δx est un homéomorphisme, de X dans M(X) muni de la topologie faible-*[5].

L'ensemble des points extrémaux de la boule unité de M(X) est l'ensemble des multiples de mesures de Dirac par des complexes de module 1 et l'application adjointe T* : M(Y) → M(X) est, comme T, une isométrie surjective donc une bijection entre ces points extrémaux pour X et leurs analogues pour Y. On peut donc définir une fonction g à valeurs dans les complexes de module 1 et une bijection φ en posant

T^*(\delta_y)=g(y)\delta_{\varphi(y)}.

La continuité faible-* de T* garantit la continuité de g et φ. Par bijectivité et compacité, φ est donc un homéomorphisme.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 96),‎ 1990, 2e éd. (ISBN 978-0-38797245-9, lire en ligne), chap. VI, § 2 (« The Banach-Stone Theorem »)
  2. (en) Richard J. Fleming et James E. Jamison, Isometries on Banach Spaces: function spaces, CRC Press,‎ 2010 (ISBN 978-1-42002615-3, lire en ligne), chap. 2 (« Continuous Function Spaces – The Banach-Stone Theorem »)
  3. (en) R. K. Singh, « Banach-Stone Theorem and its Generalizations », dans R. S. Pathalk Nandlal, Analysis and Applications, Allied Publishers (en),‎ 2004 (ISBN 978-8-17764600-9, lire en ligne), p. 31-42
  4. (en) Ehrhard Behrends, « Isomorphic Banach-Stone theorems and isomorphisms which are close to isometries », Pacific J. Math., vol. 133, no 2,‎ 1988, p. 229-250 (lire en ligne)
  5. Remarque : si un espace vectoriel normé est séparable alors la boule unité de son dual, munie de la topologie faible-*, est métrisable ; par conséquent, si C(X) est séparable alors X est métrisable.

Articles connexes[modifier | modifier le code]