Intérieur (topologie)

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En mathématiques, l'intérieur est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique. On définit aussi et de façon différente l'intérieur d'une variété à bord.

Soit X un espace topologique et A une partie de X. On appelle intérieur de A le plus grand ouvert de X inclus dans A, c'est la réunion de tous les ouverts inclus dans A. L'intérieur se note soit à l'aide d'un petit cercle suscrit, soit par une notation préfixe avec l'abréviation int :

\stackrel{\ \circ}{A} = \mathrm{int}(A)

Topologie générale[modifier | modifier le code]

Point intérieur[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique, A une partie de X et a un élément de X. On dit que a est un point intérieur à A ssi A est un voisinage de a.

On remarque que les points intérieurs à A sont dans A. De plus l'intérieur de A est égal à l'ensemble des points intérieurs à A.

Un point non intérieur à A est adhérent à X\A.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur ;
  • Idempotence : l'intérieur de l'intérieur est égal à l'intérieur ;
  • Croissance pour l'inclusion : si A est une partie de B alors int(A) est une partie de int(B).
  • Le complémentaire de l'intérieur est égal à l'adhérence du complémentaire.
  • L'intérieur d'une intersection est incluse dans l'intersection des intérieurs mais l'inclusion peut être stricte (pour une intersection finie, on a cependant égalité).
  • Une union d'intérieurs est incluse dans l'intérieur de l'union mais l'inclusion peut être stricte, même pour une union finie.
  • Si Y est un sous-espace de X (muni de la topologie induite) et A une partie de Y, l'intérieur de A dans ce sous-espace contient l'intérieur de A dans X (parfois strictement, comme dans l'exemple X = ℝ et A = Y = {0}). Il lui est égal si Y est un ouvert de X.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Dans n'importe quel espace topologique X, l'ensemble vide et X sont ouverts donc égaux à leurs intérieurs.
  • De même, dans un espace discret, toute partie est son propre intérieur.
  • Dans l'espace euclidien R des nombres réels muni de la topologie usuelle :
    • l'intérieur du segment [0, 1] est l'intervalle ouvert ]0, 1[ ;
    • l'intérieur de l'ensemble Q des nombres rationnels est vide ;
    • l'intérieur de ]–∞, 0]⋃[0, +∞[ = R est R, tandis que la réunion des deux intérieurs est R* ;
    • la suite d'intervalles ]–∞, 1/(n+1)[ (ouverts donc égaux à leurs intérieurs) a pour intersection ]–∞, 0], dont l'intérieur est ]–∞, 0[.
  • Dans l'espace des nombres complexes, alors l'intérieur de l'ensemble {zC / |z| ≥ 1} est l'ensemble {zC / |z| > 1}.
  • Dans tout espace euclidien, l'intérieur d'un ensemble fini est l'ensemble vide.
  • Dans un espace muni de la topologie grossière où les seuls ouverts sont l'espace total et l'ensemble vide, toute partie stricte est d'intérieur vide.

L'intérieur d'une partie dépend de la topologie considérée. Dans le cas de R :

  • muni de la topologie usuelle, int([0, 1]) = ]0,1[.
  • muni de la topologie discrète, int([0, 1]) = [0, 1].
  • muni de la topologie grossière int([0, 1]) est l'ensemble vide.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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