Convergence absolue

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Absolu.

En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe \sum u_n converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) \sum |u_n| est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.

Lorsqu'elle est satisfaite, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série \sum u_n elle-même.

Par analogie, l’intégrale d’une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).

La convergence absolue des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions) : elle implique des propriétés plus fortes que la simple convergence.

Série numérique absolument convergente[modifier | modifier le code]

Une série à termes réels ou complexes \sum a_n converge absolument quand la série de terme général | a_n | converge. Dans ce cas, la série \sum a_n converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en

\left|\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right|\leq \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|

Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

Exemple : la série harmonique alternée \sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{n} est semi-convergente.

Comportement des séries à termes réels[modifier | modifier le code]

Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.

Si les termes a_n de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes a_n^+ partie positive et a_n^- partie négative du terme a_n

a_n^+=\max(a_n,0)\qquad a_n^-=\max(-a_n,0)

Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de a_n. De sorte que

a_n = a_n^+-a_n^- \qquad  |a_n| = a_n^++a_n^-

Les séries \sum a_n^+ et \sum a_n^- étant à termes positifs, leur suite des sommes partielles est croissante ; elle converge ou tend vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.

  • Lorsque la série \sum a_n converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries \sum a_n^+ et \sum a_n^- convergent toutes deux, donc par linéarité la série \sum a_n aussi.
  • Lorsque la série \sum a_n est semi-convergente, nécessairement les deux séries \sum a_n^+ et \sum a_n^- divergent (chacune a une somme infinie). La convergence se fait donc par compensation entre les termes positifs et négatifs.

La propriété « absolue convergence implique convergence » peut ensuite être étendue aux séries à valeurs complexes en séparant de la même façon parties réelle et imaginaire.

Propriétés des séries absolument convergentes[modifier | modifier le code]

Si une série à termes réels ou complexes est absolument convergente, elle jouit des propriétés particulières suivantes, valables pour les sommes finies, mais généralement fausses pour les séries :

\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n
Si la série est seulement semi-convergente, le théorème de Riemann montre qu'un changement de l'ordre des termes peut conduire à une série divergente, ou à une série convergente de somme arbitrairement choisie.
\left(\sum_{p=0}^{+\infty} a_p\right)\left(\sum_{q=0}^{+\infty} b_q\right)= \sum_{s=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^s a_nb_{s-n}\right)

Une autre façon d'obtenir ces propriétés pour des sommes infinies est de considérer la notion de famille sommable, très voisine de la propriété d'absolue convergence pour les séries numériques.

Extension aux séries à valeurs vectorielles[modifier | modifier le code]

Considérons le cadre plus vaste d'un espace vectoriel normé E. Une série à termes vectoriels \sum a_n converge absolument lorsque la série de terme général \| a_n \| converge. Sans autre précision, rien ne permet d'affirmer qu'une limite existe dans E[1].

Lorsque l'espace vectoriel normé E est complet, la convergence absolue implique non seulement l'existence d'une limite dans E, mais elle fournit aussi une majoration de sa norme : si la série converge absolument, elle converge et

\left\|\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right\|\leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|a_n\|.

Cette propriété découle du critère de Cauchy relatif à la convergence des suites.

Il s'agit en fait d'une équivalence : si E est un espace vectoriel normé dans lequel toute série absolument convergente est convergente, alors E est complet.

Intégrale absolument convergente[modifier | modifier le code]

De même, une intégrale :

\int_A f(x)~{\rm d}x

converge absolument si l'intégrale de sa valeur absolue correspondante est finie :

\int_A|f(x)|~{\rm d}x<\infty.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Si E est le -espace vectoriel ℚ, la série converge dans ℝ mais si la limite est irrationnelle, elle diverge dans E.

Articles connexes[modifier | modifier le code]