Fonction mesurable

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Soient $E$ et $F$ des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$.

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ sera dite fonction mesurable de $(E,\mathcal{E})$ dans $(F,\mathcal{F})$ si la tribu image réciproque par $f$ de la tribu $\mathcal{F}$ est incluse dans $\mathcal{E}$, c'est-à-dire si, pour tout $B$ appartenant à $\mathcal{F}$, son image réciproque $f^{-1}(B)$ appartient à $\mathcal{E}$.

Applications à valeurs réelles

Si $F$ est l'ensemble des réels et si $\mathcal{F}$ est sa tribu borélienne, on dira simplement que $f$ est une fonction mesurable sur $(E,\mathcal{E})$.

La tribu borélienne sur $\R$ étant engendrée (par exemple) par les demi-droites $]a,+\infty[$, le lemme de transport assure que $f$ est une fonction mesurable sur $(E,\mathcal{E})$ si et seulement si l'image réciproque par $f$ de chacune de ces demi-droites est dans $\mathcal{E}$.

Pour les fonctions à valeurs dans la droite achevée $\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,\infty\}$, un résultat analogue se vérifie avec les intervalles $]a,\infty]$.

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions à valeurs réelles

Soient $E$ un espace mesurable et $(f_n) \;$ une suite de fonctions mesurables de $E$ dans $\R$ (ou même dans $\overline{\R}$). Alors la fonction $f$ définie par

$f = \sup_n f_n$

(à valeurs dans $\overline{\R}$) est mesurable.

En effet, l'image réciproque par $f$ de $]a,\infty]\;$ peut s'écrire

$\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{x\in E, f_n(x)>a\},$

et cet ensemble est une réunion dénombrable d'éléments de $\mathcal{E}$, donc un ensemble mesurable.

Par passage aux opposés, on en déduit que, si les fonctions $f_n$ de $E$ dans $\overline{\R}$ sont toutes mesurables, alors la fonction inf $f_n$ l'est également.

On peut alors montrer que les fonctions limites inférieure et supérieure $\liminf_{n\rightarrow +\infty} f_n$, $\limsup_{n\rightarrow +\infty} f_n$ sont elles aussi mesurables.

En particulier, si la suite ($f_n$) converge simplement vers une fonction $f$, alors $f$ est mesurable.