Théorème de Thalès (cercle)

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Le théorème de Thalès sur le cercle est un théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle.

Un cercle de Thalès est un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Une sphère de Thalès est une demi-sphère dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Theoreme de Thales.svg

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce théorème est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet qui démontra également la propriété utilisée ci-dessous concernant l'égalité des angles dans un triangle isocèle[1].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Dans la figure, les triangles (OAB) et (OBC) sont isocèles de sommet O, donc nous pouvons écrire les égalités suivantes :

\widehat{OAB}=\widehat{ABO}\quad\text{et}\quad\widehat{BCO}=\widehat{OBC}

En sommant ces deux égalités, il vient :

\widehat{OAB}+\widehat{BCO}=\widehat{ABO}+\widehat{OBC}=\widehat{ABC}

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient

2\widehat{ABC}=\widehat{OAB}+\widehat{BCO}+\widehat{ABC} = 180°

puis en divisant par 2, on obtient

\widehat{ABC}= 90°

Le triangle est donc bien rectangle en B.

Réciproque[modifier | modifier le code]

Il existe aussi une réciproque à cette version du théorème de Thalès :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre [AC].

Démonstration : on trace la droite passant par le milieu O de [AC] et le milieu A' de [BC]. Comme droite des milieux, elle est parallèle à (AB). Comme (AB) et (BC) sont perpendiculaires, il en est de même de (A'O) et (BC). (A'O) est donc une droite passant par le milieu de [BC] et perpendiculaire à [BC], c'est donc la médiatrice de [BC]. Il suffit de faire le même raisonnement pour la droite passant par O et par C' milieu de [AB] pour prouver que cette droite est la médiatrice de [AB]. Ces deux médiatrices se coupent en O qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Comme O est le milieu de [AC], le cercle a bien pour diamètre [AC].

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Maurice Caveing, La figure et le nombre : recherches sur les premières mathématiques des Grecs, vol. 2, presses universitaires Septentrion,‎ 1997 (ISBN 9782859394943), p.34