Proportionnalité

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On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par une même constante non nulle. Dans le cas où l'on multiplie, cette constante est appelée coefficient de proportionnalité.

Exemple : si, dans un magasin, le prix des pommes est de 2 euros le kg, il y a proportionnalité entre la somme S à payer et le poids P de pommes achetées, ce que l'on note parfois [1]:

S \propto P.

Le coefficient de proportionnalité est 2.

  • Pour 1 kg, on doit payer 2 euros.
  • Pour 3 kg, on doit payer 6 euros.
  • Pour 1,5 kg, on doit payer 3 euros.

On remarque que le quotient des deux quantités est constant et est égal au coefficient de proportionnalité.

\frac{2}{1} = \frac{6}{3} = \frac{3}{1{,}5} = 2

Les Anciens comme Euclide auraient écrit que 2 est à 1 comme 6 est à 3 ou comme 3 est à 1,5.

Tableau de proportionnalité[modifier | modifier le code]

C'est un tableau où l'une des lignes est proportionnelle à l'autre.

Poids 1 3 1,5
Prix 2 6 3

On peut ajouter une colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux colonnes, ou en multipliant une colonne par une constante.

  • 3 + 1,5 = 4,5 et 6 + 3 = 9 donc
Poids 1 3 1,5 4,5
Prix 2 6 3 9
  • 3 × 2 = 6 et 6 × 2 = 12 donc
Poids 1 3 1,5 6
Prix 2 6 3 12

Si on choisit deux colonnes, le produit des nombres situés dans une diagonale est égal au produit des nombres situés dans l'autre diagonale (produit en croix)

3 1,5
6 3

3 × 3 = 6 × 1,5

Quatrième proportionnelle[modifier | modifier le code]

La quatrième proportionnelle est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sont déjà remplies. Ce quatrième nombre s'obtient en faisant le produit des nombres situés sur une même diagonale et en divisant par le troisième nombre.

Cette technique est appelée « règle de trois » ou « produit en croix ».

Exemple. On considère que le nombre de pages est proportionnel au nombre d'heures passées à les écrire. Il faut 6 heures pour écrire un rapport de 33 pages, combien d'heures faut-il pour un rapport de 55 pages ?

Tableau de proportionnalité:

33 55
6  ?

Réponse : \frac{6 \times 55}{33} = 10

Proportionnalité et géométrie[modifier | modifier le code]

La proportionnalité en géométrie est principalement utilisée dans le théorème de Thalès et dans les triangles semblables. Mais on la retrouve aussi dans les coordonnées de vecteurs colinéaires. En dimension 2, l'égalité des produits en croix ab' = ba' devient alors ab' - ba'= 0 (déterminant nul)

Notations.

En géométrie plane, la loi des sinus affirme une relation de proportionnalité entre les longueurs et les sinus des angles d'un triangle. Sa démonstration repose sur la règle du produit en croix. Soit ABC un triangle du plan euclidien. Les longueurs des segments [BC], [CA] et [AB] sont notés a, b et c respectivement. On note \alpha, \beta et \gamma les mesures des angles en A, B et C. Les notations sont indiquées sur la figure ci-contre. La longueur h de la hauteur issue de A peut se calculer de deux manières. Si H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), les relations métriques dans les triangles rectangles ABH et ACH donnent :

AH=c\sin(\beta)=b\sin(\gamma).

Le calcul des longueurs des autres hauteurs donne de même :

a\sin(\beta)=b\sin(\alpha) et a\sin(\gamma)=c\sin(\alpha).

La règle du produit en croix implique que (a,b,c) est proportionnel a (\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma) (loi des sinus). Cette loi est énoncée sous la forme

\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}.

Dans le traité de géométrie d'Euclide, deux triangles ABC et A'B'C' du plan euclidien sont définis comme semblables s'ils ont mêmes mesures d'angles. La loi des sinus implique alors que les longueurs AB, BC, et CA sont proportionnelles à A'B', B'C' et C'A'. La condition "être semblables" équivaut à l'existence d'une similitude du plan euclidien envoyant ABC sur A'B'C'. La similitude multiplie toutes les longueurs par un même coefficient k appelé le rapport de la similitude. Il vaut le coefficient de proportionnalité entre les longueurs (AB, BC, CA) et (A'B', B'C', C'A').

En géométrie vectorielle, deux vecteurs v et w d'un même espace vectoriel E sont dits colinéaires s'il existe un scalaire a tel que v=aw. Posons leurs coordonnées dans une base de E

v=(v_1,\dots,v_n) et w=(w_1,\dots,w_n).

Alors les vecteurs v et w sont colinéaires ssi (v1, …, vn) est proportionnel à (w1, …, wn).

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Representation graphique de y = k × x

Dans un plan euclidien muni d'un repère cartésien, un point M est repéré par ses deux coordonnées x (l'abscisse) et y (l'ordonnée). Les coordonnées x = 0 et y = 0 correspondent à l'origine. Supposons que x et y représentent les valeurs de mesures (éventuellement dans une unité fixée si les grandeurs mesurées sont physiques). Soit une séquence finie de données (x1, y1), … (xn, yn). Ces données peuvent être interprétées comme les coordonnées respectivement des points M1, …, Mn. La grandeur ou variable y varie linéairement en fonction de la grandeur ou variable x si et seulement si les points O, M1, …, Mn sont alignés. Autrement dit, tous les points Mi sont situés sur une même droite passant par l'origine. Cette droite D est tracée en bleu ci-contre. Par extrapolation, une nouvelle mesure donnerait un couple (x, y) qui correspondrait aux coordonnées d'un point de la droite D.

Il existe un réel k tel que tous les points de D sont exactement les points de coordonnées (x,k × x). Autrement dit, un couple (x, y) correspond aux coordonnées d'un point de D si et seulement si y = k × x. Le réel k est appelé pente ou coefficient directeur de la droite. C'est aussi le coefficient de proportionnalité de y par rapport à x, On dit aussi que y ou y(x) est une fonction linéaire de x.

Lors d'une expérience, il se peut que des erreurs soient commises lors des relevés des mesures x et y. Les points O, M1, …, Mn placés dans le graphique se retrouvent alors à proximité d'une droite, de pente k. Une certaine liberté de choix demeure sur la pente k, mais des choix en un sens meilleurs peuvent être faits, en utilisant des méthodes dites de régression linéaire.

Quantités inversement proportionnelles[modifier | modifier le code]

Deux quantités sont inversement proportionnelles[2], si l'une est proportionnelle à l'inverse de l'autre. Cette condition équivaut à ce que leur produit soit constant.

Exemple : pour parcourir 100 km, le temps est inversement proportionnel à la vitesse.

  • à 100 km ⋅ h−1, il faut 1 h
  • à 50 km ⋅ h−1, il faut 2 h
  • à 10 km ⋅ h−1, il faut 10 h

Leur produit est constant et représente la distance parcourue

  • 100 km ⋅ h−1 × 1 h = 50 km ⋅ h−1 × 2 h = 10 km ⋅ h−1 × 10 h = 100 km

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. extrait de la norme iso 31-11 de 1992 p. 3
  2. Petite encyclopédie des mathématiques, éditions Didier, p. 42

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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