Démonstration (mathématiques élémentaires)

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Démontrer une propriété c'est utiliser des théorèmes, des définitions ou des axiomes que l'on sait être vrais et quelques règles de logique élémentaire (celle du " tiers-exclus " ) .

Une démonstration est une rédaction argumentée pour convaincre " les autres " qu'une propriété nouvelle (algébrique, géométrique, numérique…) est vraie. Une démonstration est rarement achevée parce qu’on peut toujours retoucher son style de rédaction (plus ou moins télégraphique), sa longueur (profondeur des détails), les outils utilisés (parfois radicalement différents) voire simplement l’usage des règles logiques. Certains s’amusent même à s’interdire l’usage d’une lettre, d’une méthode ou même de mots pour écrire une démonstration.

Du point de vue pédagogique, une démonstration en classe sert à convaincre les élèves que le professeur a raison - uniquement grâce à une argumentation rédigée, et surtout pas en utilisant son autorité -, mais aussi qu’un autre professeur que lui aurait raison (à condition d’accepter les prérequis et la méthode de la démonstration). Elle sert aussi à montrer aux élèves la liberté scientifique dans l’acte de rédiger et d’expliquer.

En toute rigueur il vaudrait mieux utiliser en classe le mot " preuve " que le mot " démonstration " qui devrait rester réservé aux preuves capables de convaincre la communauté de tous les mathématiciens du monde, celles qui sont élaborées pour obtenir de " grands " résultats utiles pour l'avancée des Mathématiques comme par exemple le Grand théorème de Fermat.

Quelques méthodes de démonstration[modifier | modifier le code]

En mathématiques, il existe plusieurs méthodes pour démontrer un théorème :

  • Par application directe du théorème
  • Par contraposée
  • Par l’absurde
  • Par analyse-synthèse
  • Par contre exemple
  • par disjonction de cas
  • par table de vérité

Par application directe du théorème[modifier | modifier le code]

Si on dispose d'un théorème de la forme Si A alors B et si on montre que A est vraie, alors on peut en déduire que B est vraie.

Ainsi pour démontrer que le triangle ABC est rectangle, avec AB=13, CB=12 et AC=5, on utilise le théorème réciproque de Pythagore :

  • On vérifie d’une part que AC2+CB2=52+122=25+144=169 et d’autre part que AB2=132=169 donc AC2+CB2=AB2.
  • Le théorème réciproque de Pythagore énonce que Si le carré du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (l'hypoténuse étant le premier côté cité)
  • On a bien A vraie et si A alors B vraie, on peut donc en conclure que B est vraie, soit que le triangle ABC est rectangle en C.

Par contraposée[modifier | modifier le code]

Pour démontrer que l' implication " si A alors B " est vraie, il est parfois plus commode de démontrer que son implication contraposée (anciennement qualifiée de "contre-apposée") " si nonB alors nonA " est vraie, du fait que ces deux implications sont équivalentes.

Par l'absurde[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Raisonnement par l'absurde.

Pour montrer que A est vraie, on montre que si on suppose A fausse, on arrive à une contradiction à l'intérieur de la théorie mathématique.

Exemple:

A : Il existe une infinité de nombres premiers

non A : Il existe un nombre fini de nombres premiers

On les note p_{1},p_{2} \dots p_n classés par ordre croissant Soit P=p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n+1. Il est plus grand que p_n.

P n'est divisible ni par p_1, ni par p_{2} \dots ni par p_n

Or P est premier car tout nombre non premier admet au moins 1 diviseur premier.

(En fait, P n'est peut-être pas premier, mais alors il serait un multiple d'au moins un nombre premier plus grand que p_n)

Mais il n'y a pas de nombre premier plus grand que p_n d'après l'hypothèse. Donc contradiction avec cette hypothèse . Donc A est vraie.

Par Analyse & Synthèse[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Raisonnement par analyse-synthèse.

Phase d'Analyse : on suppose qu'il existe au moins une solution au problème, et on en déduit les conditions nécessaires qu'elle doit remplir, ce qui permet de déterminer toutes les solutions possibles du problème.

Phase de Synthèse : on teste une à une toutes les solutions possibles trouvées précédemment afin de déterminer celles qui sont effectivement solutions du problème.

On conclut sans oublier de mentionner le recours au raisonnement par Analyse & Synthèse.

N.B. Ce raisonnement était très fréquemment utilisé dans la détermination des " lieux géométriques ". On l'utilise parfois pour prouver l'existence et l'unicité d'un objet mathématique vérifiant certaines propriétés précisées : la phase d'Analyse assure l'unicité quand on trouve une seule solution possible, et la phase de Synthèse assure l'existence dés que cette solution possible est devenue effective.

Par l’exemple ou le contre-exemple[modifier | modifier le code]

E désigne un ensemble et P(x) une propriété faisant intervenir x.

Pour prouver que P(x) est vraie pour au moins un x de E, on trouve une valeur a de E telle que P(a) soit vraie : a est un exemple pour P(x).

Pour prouver que l'affirmation " pour tout x de E on a P(x) " est fausse on montre que l'affirmation " il existe au moins une valeur x de E telle que nonP(x) " est vraie. On trouve a tel que nonP(a) soit vraie : a est un contre-exemple pour P(x). Ainsi, pour "démolir" une affirmation générale, il suffit d'exhiber un seul contre-exemple.

Attention ! Pour montrer que l'affirmation "pour tout x de E on a P(x)" est vraie, un exemple ne suffit pas, bien au contraire : il faut vérifier pour tous les exemples possibles, c'est-à-dire pour chaque élément de E ; lorsque E est un ensemble fini ayant peu d'éléments, on peut faire ces vérifications à la main ; mais dans tous les autres cas cette méthode est disqualifiée, en particulier lorsque E possède une infinité d'éléments : le recours à un raisonnement " général " est alors obligatoire.

N.B.: il semble plus facile de "démolir" que de "construire", mais la recherche (parfois infructueuse) de contre-exemples a toujours été un aiguillon pour les mathématiciens.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Démonstration