Fonction affine

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En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

x \mapsto ax+b

où les paramètres a et b ne dépendent pas de x.

Lorsque ces paramètres sont des nombres réels, une telle fonction est représentée par une droite, dont a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Propriété caractéristique[modifier | modifier le code]

Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. En effet, si x1 et x2 sont deux réels, l'accroissement f(x2) – f(x1) est proportionnel à x2x1, comme le donne l’égalité :

f(x_2) - f(x_1) = a (x_2 - x_1).

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :

a = \frac{f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} si x1x2.

Par conséquent, la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante : le coefficient directeur de la fonction affine.

L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :

b=\frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_2-x_1} si x1x2.

Exemples[modifier | modifier le code]

Abonnements téléphoniques.
Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois :f\colon x \mapsto A + 0{,}1~x.
Longueur d'un ressort.
Si au repos le ressort a une longueur L0 et si sa raideur est k, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).L\colon f \mapsto L_0 + \frac fk.Dans ce cas, le coefficient directeur est 1/k et l'ordonnée à l'origine L0.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Linear functions2.PNG

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dont l'équation est

y=ax+b.

La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Détermination de a et b[modifier | modifier le code]

Si M(x1, y1) et N(x2, y2) sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors :

a =  \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
b = y_1 - ax_1  = y_2 - ax_2=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}.

Si a = 0 alors la fonction est constante et si b = 0 alors la fonction est linéaire.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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