Fonction affine

En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

$x \mapsto a\times x + b$

où les paramètres $a$ et $b$ ne dépendent pas de $x$.

Lorsque ces paramètres sont des nombres réels, une telle fonction est représentée par une droite, dont $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Propriété caractéristique

Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. En effet, si x₁ et x₂ sont deux réels, l'accroissement f(x₂) − f(x₁) est proportionnel à x₂ − x₁, comme le donne l’égalité :

f(x₂) − f(x₁) = a (x₂ − x₁).

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :

$a = \frac{f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1}$ si x₁ ≠ x₂.

Par conséquent, la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante : le coefficient directeur de la fonction affine.

L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :

$b= \frac{ x_2 \cdot f(x_1) - x_1\cdot f(x_2) }{ x_2-x_1 }$ si x₁ ≠ x₂.

Exemples

On rencontre quelques exemples de fonctions affines dans

• les abonnements téléphoniques. Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois :

$f\colon x \mapsto A + 0.1\cdot x$

• La longueur d'un ressort. Si au repos le ressort a une longueur L₀ et si sa raideur est k, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).

$L\colon f \mapsto L_0 + \frac{f}{k}$

Dans ce cas, le coefficient directeur est 1/k et l'ordonnée à l'origine L₀.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dont l'équation est

$y = ax + b \,$

La droite coupe l'axe des ordonnées pour $y = b$ (d'où le nom : ordonnée à l'origine). Lorsque b est égal à 0, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour pente ou coefficient directeur le réel $a$. Si a>0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a<0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d’un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Détermination de a et b

Si M(x₁,y₁) et N(x₂,y₂) sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors on a :

$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$

$b = y_1 - ax_1 = y_2 - ax_2=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}.$

Si a=0 alors la fonction est constante et si b=0 alors la fonction est linéaire.

Voir aussi

• Espace affine
• Transformation affine
• Fonction affine par morceaux
• Fonction linéaire