Srinivasa Ramanujan

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Srinivasa Ramanujan
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Srinivasa Ramanujan, vers 1916[n 1]
Naissance
Erode (Raj britannique)
Décès (à 32 ans)
Kumbakonam, près de Madras (Raj britannique)
Domicile Tamil Nadu
Drapeau de l'Empire britanniques des Indes Raj britannique
Nationalité Indien
Domaines Mathématiques
Renommé pour Cahiers de Ramanujan
Conjecture de Ramanujan
Partition d'un entier

Signature

Signature de Srinivasa Ramanujan
Extrait de Srinivasa Ramanujan- The Mathematician & His Legacy (Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage), un documentaire produit par le Ministère des Affaires étrangères de l'Inde[2] ; on y voit les cahiers de Ramanujan, conservés à l'université de Madras.

Srinivasa Ramanujan (en tamoul : சீனிவாச இராமானுஜன் ; Écouter) est un mathématicien indien, né le à Erode et mort le à Kumbakonam.

Issu d'une famille modeste de brahmanes orthodoxes, il est autodidacte, faisant toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprend seul les mathématiques à partir de deux livres qu'il s'est procurés avant l'âge de seize ans, ouvrages qui lui permettent d'établir une grande quantité de résultats sur la théorie des nombres, sur les fractions continues et sur les séries divergentes, tandis qu'il se crée son propre système de notations. Jugeant son entourage académique dépassé, il publie plusieurs articles dans des journaux mathématiques indiens et tente d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoie.

Une de ces lettres, envoyée en à Godfrey Harold Hardy, contient une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considère tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discute longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur est certainement un « génie », un qualificatif souvent repris de nos jours. Hardy répond en invitant Ramanujan à venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de Littlewood, en résulte.

Affecté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan voit son état empirer lors de son séjour en Angleterre ; il retourne en Inde en 1919 où il meurt peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de trente-deux ans. Il laisse derrière lui des cahiers entiers de résultats non démontrés (appelés les Cahiers de Ramanujan) qui, en ce début de XXIe siècle, continuent à être étudiés.

Ramanujan a travaillé principalement sur les fonctions elliptiques et sur la théorie analytique des nombres ; il est devenu célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant des constantes telles que π et e, les nombres premiers ou encore la fonction partition d'un entier, qu'il a étudiée avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a inventé plusieurs milliers qui se sont pratiquement toutes révélées exactes, mais dont certaines ne purent être démontrées qu'après 1980 ; à propos de certaines d'entre elles, Hardy, stupéfié par leur originalité, a déclaré qu’« un seul coup d'œil suffisait à se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, car si elles avaient été fausses, personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer ».

Biographie[modifier | modifier le code]

Photo couleur d'une façade jaune d'une maison à deux étages présentant chacun deux fenêtres et une porte.
Maison natale de Ramanujan, au 18 rue Alahiri, Erode[3].
Photo couleur d'une façade jaune d'un bâtiment à un étage dont le toit de tuiles grises est soutenu par deux colonnes peintes en bleu.
Maison de Ramanujan rue Sarangapani Sannidhi, Kumbakonam, aménagée en musée.

Jeunesse[modifier | modifier le code]

Ramanujan (litt. « frère cadet de Rāma »)[4],[n 2] naît le à Erode, dans l'actuel État du Tamil Nadu en Inde, dans la résidence de ses grands-parents maternels[5],[3]. Son père, K. Srinivasa Iyengar, né à Thanjavur, travaille comme commis dans un magasin de sari. Sa mère, Komalathammal, est femme au foyer, tout en gagnant un peu d'argent en chantant au temple. Il aura plusieurs frères, dont deux seulement survivront à la petite enfance : Lakshmi Narasimhan (1898-1946) et Thirunarayanan (1905-1978)[n 3].

À un an, il vient vivre chez son père dans une maison traditionnelle de la rue Sarangapani à Kumbakonam[7] (en 2003, cette maison a été transformée en un musée honorant ses travaux[8]) ; il y passe la plus grande partie des vingt années suivantes. En , Ramanujan contracte la variole, dont il gardera toute sa vie des cicatrices[4]. Il déménage ensuite dans la maison de ses grands-parents maternels, entre-temps installés à Kanchipuram, non loin de Madras[9].

Le , Ramanujan entre à l'école élémentaire ; les deux années suivantes, sa scolarité est chaotique[9]. Sa grand-mère ayant perdu son emploi de fonctionnaire à la cour de Kanchipuram, sa mère et lui retournent à Kumbakonam, où il est inscrit à l'école primaire Kangayan. À la mort de son grand-père paternel, il est renvoyé chez ses grands-parents maternels, qui ont alors déménagé à Madras. Ne supportant pas l'école de Madras, il fait l'école buissonnière, ce qui conduit sa famille à faire appel à la police pour s'assurer qu'il y va effectivement. Six mois plus tard, Ramanujan est de retour à Kumbakonam[10].

Dès lors, le père de Ramanujan étant accaparé par son travail, c'est sa mère qui se charge de son éducation. Elle lui enseigne notamment la tradition brahmane et le purana, ainsi que les chants religieux, afin qu'il puisse assister à des pujas[11]. Réinscrit à l'école primaire Kangayan, Ramanujan y devient un brillant élève. En , juste avant ses dix ans, il termine premier de son quartier aux examens de fin d'études primaires (en anglais, en tamoul, en géographie et en arithmétique)[12]. Cette même année, Ramanujan rencontre pour la première fois les mathématiques « abstraites » lors de son passage dans l'enseignement secondaire[12].

En 1898 (il a onze ans), deux étudiants du Government College de Kumbakonam (un établissement d'enseignement supérieur) sont hébergés chez ses parents. Après leur avoir soutiré toutes leurs connaissances en mathématiques, il obtient d'eux le prêt de livres, en particulier Plane Trigonometry, de Sidney Luxton Loney[13],[n 4]. Dès l'âge de treize ans, il maîtrise les connaissances issues de ce livre, et redécouvre quelques théorèmes[n 5]. À quatorze ans, il reçoit l'équivalent du baccalauréat français et une bourse universitaire[13].

À quinze ans, Ramanujan emprunte à la bibliothèque du Government College le Synopsis of Pure Mathematics de George Shoobridge Carr[n 6],[n 7], contenant plusieurs milliers de résultats d'analyse et de géométrie[n 8], mais ne donnant que quelques indications sur leurs démonstrations (ce que Hardy déplorera par la suite en attribuant à cet ouvrage le style elliptique et non rigoureux de Ramanujan[17]). C'est cependant ce livre qui fait entrer Ramanujan dans l'univers des mathématiques[18],[19]. À dix-sept ans, il étudie en profondeur les nombres de Bernoulli et calcule la constante d'Euler jusqu'à 15 décimales ; à cette époque, ses camarades affirment « ne le comprendre que rarement »[13],[c 2].

Vue de l'entrée du collège, avec le campanile en arrière-plan.
Le Government College de Kumbakonam, où Ramanujan passa l'année 1904.

Diplômé de la Town Higher Secondary School de Kumbakonam en 1904, Ramanujan reçoit le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques, des mains du directeur de l'école, M. Krishnaswami Iyer[n 9]. C'est ce dernier qui le recommande au Government College, le qualifiant d'étudiant exceptionnel. Mais à cause de sa focalisation sur les seules mathématiques, Ramanujan perd sa bourse d'étude et quitte le domicile familial, en , pour s'installer à Visakhapatnam. Au début de l'année 1906, il s'inscrit au Pachaiyappa's College de Madras[20]. Toujours excellent en mathématiques, mais médiocre dans les autres disciplines comme la biologie[n 10], Ramanujan échoue à l'examen de et échoue à nouveau l'année suivante[21]. À partir de 1908, il n'essaie plus de suivre un cursus conventionnel, mais continue des recherches personnelles en mathématiques, tout en vivant dans une grande pauvreté matérielle ; à cette époque, faute de papier, il effectue ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs sur un cahier ; il conservera cette méthode de travail toute sa vie[22] ; de plus, son isolement l'amène à se construire un système de notations personnel, qui rendra par la suite difficilement déchiffrable son travail[n 11].

Premiers travaux[modifier | modifier le code]

Inquiète de ses échecs qui obscurcissent son avenir, la famille de Ramanujan décide de le marier ; le , il épouse donc Janaki Ammal (âgée de dix ans)[25],[n 12]. Pour survivre, il prépare des étudiants à leurs examens de fin d'année, au Presidency College. Des problèmes de santé étant apparus dès la fin des années 1900, il demande à son ami Radakrishna Iyer[n 9], de donner en cas de malheur ses cahiers mathématiques au professeur Singaravelu Mudaliar, du Pachaiyappa's College, ou au professeur britannique Edward B. Ross, du Christian College[n 13].

Après sa guérison, Ramanujan part en train de Kumbakonam à Viluppuram, ville alors sous contrôle français et y rencontre V. Ramaswamy Aiyer[n 9], fondateur de la Société mathématique indienne. Ramanujan, qui envisage un emploi au département des recettes où Ramaswamy travaille, lui montre ses cahiers de mathématiques. Comme Ramaswamy le racontera plus tard[26] : « J'ai été frappé par les résultats mathématiques extraordinaires qu'ils contenaient. Je n'avais pas le cœur d'étouffer son génie en lui attribuant un poste au bas de l'échelle dans le ministère du Budget. »[c 3].

Ramaswamy envoie Ramanujan à Madras, muni de lettres de recommandation, chez des amis mathématiciens, desquels il obtient de nouvelles lettres de recommandation auprès de R. Ramachandra Rao, le secrétaire de la Société mathématique indienne. Ce dernier est impressionné par les résultats de Ramanujan, tout en émettant des doutes sur leur authenticité ; c'est seulement après avoir discuté avec ce jeune prodige d'intégrales elliptiques, de séries hypergéométriques et de séries divergentes, qu'il est convaincu de ses capacités[28]. Ayant demandé à Ramachandra un emploi et un soutien financier, Ramanujan est envoyé à Madras, où il peut continuer ses recherches, tandis que Ramaswamy l'aide à publier ses résultats dans le Journal of the Indian Mathematical Society[29].

L'une de ses premières contributions à ce journal est un problème qui demande de déterminer la valeur d'un radical imbriqué infini, un objet certes inhabituel, mais qui ne devrait pas effrayer un mathématicien. Pourtant, après six mois, n'ayant toujours reçu aucune solution, il publie la réponse, ainsi que quelques indications sommaires pour l'obtenir[30].

En 1911, Ramanujan écrit pour le Journal un article de dix-sept pages sur les nombres de Bernoulli contenant plusieurs théorèmes et conjectures[31]. À cette époque, son style d'écriture laisse encore beaucoup à désirer. Comme l'écrivait M. T. Narayana Iyengar[n 9], l'éditeur du Journal, « Les méthodes de M. Ramanujan étaient si laconiques et nouvelles, et sa présentation si peu claire et si imprécise, que le lecteur mathématicien ordinaire, peu habitué à une telle gymnastique intellectuelle, pouvait difficilement le suivre[32],[c 4]. »

En , Ramanujan obtient finalement un poste permanent de comptable auprès du Trésorier général de Madras, travail lui laissant assez de loisirs pour se consacrer complètement aux mathématiques[33].

Prise de contact avec les mathématiciens britanniques[modifier | modifier le code]

À la fin de , Narayana, Ramachandra et Edgar William Middlemast tentent de présenter les travaux de Ramanujan à des mathématiciens britanniques. Micaiah John Muller Hill (de l'University College de Londres) trouvant les articles de Ramanujan trop lacunaires[34], affirme que, bien que Ramanujan « ait du goût pour les mathématiques, et de réelles capacités »[c 5], il manque des bases nécessaires pour être accepté par ses confrères mathématiciens[n 14],[n 15]. Même si Hill ne propose pas de prendre Ramanujan comme étudiant, il lui offre des conseils professionnels détaillés sur son travail. Aidé par ses amis, Ramanujan écrit alors des lettres aux mathématiciens les plus prestigieux de l'université de Cambridge[35].

Portrait en noir et blanc d'un homme assis dans un fauteuil.
Godfrey Harold Hardy, dans la bibliothèque du Trinity College.

Les deux premiers, Henry Frederick Baker et Ernest William Hobson, renvoient les articles de Ramanujan sans commentaires[36]. Le , Ramanujan envoie alors à Godfrey Harold Hardy une lettre de neuf pages, que ce dernier prend d'abord pour une mystification[n 16] : Hardy reconnait bien certaines des formules qui y figurent, mais d'autres lui « semblent à peine croyables »[38],[c 6]. En particulier, la plupart des étranges fractions continues de la dernière page du manuscrit laissent Hardy perplexe ; avouant qu'il n'avait « jamais vu auparavant quoi que ce soit qui leur ressemble même vaguement »[c 7], il fait à leur sujet cette remarque, aujourd'hui devenue célèbre : « ces théorèmes doivent être vrais, car s'ils n'étaient pas vrais, personne n'aurait assez d'imagination pour les inventer »[39],[c 8].

Hardy demande alors à son collègue J. Littlewood de lire ce manuscrit[n 17]. Stupéfié, ce dernier affirme qu'il ne peut provenir que d'un « homme de génie »[42],[c 9] (un qualificatif souvent repris de nos jours[43],[n 18]). Hardy déclarera à la mort de Ramanujan que cette lettre est « sûrement la plus remarquable qu'il a jamais reçue »[c 10] et montre que son auteur est « un mathématicien de toute première qualité, un homme d'une puissance et d'une originalité exceptionnelles »[38],[c 11].

Le , Hardy répond à Ramanujan, lui exprimant son intérêt pour son travail, et lui signalant qu'il est « essentiel qu'il examine la démonstration de certains résultats »[45],[c 12]. Avant même que sa lettre n'arrive à Madras, Hardy contacte le bureau de l'Inde dans le but d'organiser un séjour de Ramanujan à Cambridge. Arthur Davies, secrétaire du comité d'aide aux étudiants indiens, rencontre Ramanujan au début de 1914 pour discuter des détails de ce séjour, mais pour ne pas contrevenir à son éducation brahmane[n 19] et pour ne pas heurter sa famille[n 20], Ramanujan refuse de quitter son pays pour « une terre étrangère »[47],[c 13]. Cependant, il a entre temps envoyé à Hardy une seconde lettre remplie de théorèmes, dans laquelle il écrit : « J'ai trouvé en vous un ami qui examine mes travaux avec bienveillance »[48],[c 14] ; Gilbert Walker, qui travaille alors avec Hardy au Trinity College, étudie alors les travaux de Ramanujan et exprime lui aussi son étonnement, insistant pour que le jeune homme vienne travailler à Cambridge[49].

À la suite de sa décision de rester en Inde[n 20], Narayana et Ramachandra réunissent le bureau d'études mathématiques de l'université de Madras pour discuter de « ce qu'on pouvait faire pour Ramanujan »[50],[c 15]. Le bureau décide de lui attribuer une bourse de recherche de 75 roupies par mois durant deux ans (soit plus du double de son salaire de comptable)[51]. Durant cette période, Ramanujan continue de proposer des articles au Journal of the Indian Mathematical Society. Ainsi, Narayana publie certains théorèmes sur la sommation de séries divergentes, en les lui attribuant[52] ; une autre série de théorèmes publiés dans ce journal portent sur le calcul d'intégrales définies, Ramanujan ayant généralisé une méthode due à Giuliano Frullani[53].

Après que Ramanujan a décliné l'invitation de Hardy, la correspondance avec celui-ci se gâte quelque peu ; Hardy propose alors à E. H. Neville, un collègue donnant des conférences à Madras, de superviser les travaux de Ramanujan, et d'essayer de le convaincre de venir[54]. Cela se révèle inutile, car entre-temps la mère de Ramanujan fait un rêve dans lequel la déesse familiale Namagiri Thayar lui a recommandé de « ne plus s'interposer entre son fils et l'accomplissement de son destin »[55],[56],[c 16]. Ramanujan s'embarque alors pour l'Angleterre, laissant sa femme, alors âgée de quinze ans, à la garde de ses parents[57],[n 21].

Séjour en Angleterre[modifier | modifier le code]

Photographie noir et blanc d'un groupe de sept hommes, posant, de face, en toge noire de professeur d'université, devant l'entrée d'un bâtiment.
Ramanujan (au centre) et Hardy (à l'extrême droite) devant le Senate House de l’université de Cambridge, vers 1915.
Photo couleur de la façade ornementale d'un bâtiment à trois étages en pierre de couleur beige. Un ciel bleu, en arrière-plan, et un trottoir au premier.
Whewell's Court, au Trinity College (Cambridge).

Ramanujan arrive à Londres le après un mois de traversée ; il est accueilli par Neville qui le loge chez lui à Cambridge, et il commence aussitôt à travailler avec Hardy et Littlewood[58]. Au bout de six semaines, Ramanujan emménage à Wheewell's Court, à cinq minutes à pied du logement de Hardy[59], et ce dernier et Littlewood peuvent étudier ses cahiers. Hardy a déjà reçu 120 formules et théorèmes dans les deux premières lettres, mais les cahiers en contiennent beaucoup plus. Certains sont faux[n 22], et d'autres sont déjà connus, mais la majorité constitue des découvertes importantes[61], leur faisant à tous deux une forte impression. Littlewood commente « qu'il le croit au moins du calibre d'un Jacobi »[c 17] tandis que Hardy « ne peut le comparer qu'à Euler ou à Jacobi »[62],[c 18]. Hardy, qui aimait classer les mathématiciens sur une échelle de 1 à 100, s'attribuera par la suite 25, donnera 30 à Littlewood, 80 à David Hilbert et 100 à Ramanujan[n 23].

Hardy et Ramanujan ont des personnalités contrastées, et leur collaboration voit s'affronter des cultures, des croyances, et même des styles de travail opposés. Les décennies précédentes ont connu en Occident une crise des fondements des mathématiques, rendant nécessaire une approche rigoureuse des démonstrations, dont Hardy est un fervent partisan[n 24], alors que Ramanujan se repose sur son instinct et ses intuitions fulgurantes. Hardy fera de son mieux pour combler les lacunes dans l'éducation de Ramanujan, et pour le convaincre d'appuyer ses résultats sur des preuves rigoureuses, sans pour autant brider son inspiration ; le conflit entre les deux approches est pénible à chacun, et Hardy déplorera par la suite à plusieurs reprises que Ramanujan n'ait pas reçu une éducation plus traditionnelle, qui lui aurait peut-être « permis de devenir le plus grand mathématicien de son temps »[38],[c 20] ; il fait cependant remarquer qu'il n'a pas pris le temps de lui demander d'où provenaient exactement ses connaissances, car, dit-il, « pourquoi lui aurais-je demandé s'il connaissait tel ou tel résultat, quand il me montrait pratiquement chaque jour une demi-douzaine de nouveaux théorèmes ? »[65],[c 21].

Ramanujan reçoit un Bachelor of Science « de recherche » (grade disparu correspondant au Ph.D. actuel) en mars 1916 pour son travail sur les nombres hautement composés, travail dont la première partie a été publiée dans les Proceedings of the London Mathematical Society[66]. Cet article de plus de 60 pages démontre de nombreuses propriétés de ces nombres ; Hardy remarquera « qu'il s'agissait d'un travail de recherche des plus inhabituels, et que Ramanujan y avait fait preuve d'une ingéniosité extraordinaire »[66],[c 22].

Le , il est admis dans la London Mathematical Society ; en 1918, il est élu Fellow of the Royal Society « pour ses recherches sur les fonctions elliptiques et la théorie des nombres », devenant le second Indien à y être admis, après Ardaseer Cursetjee en 1841. La même année, le , il est le premier Indien à devenir Fellow of Trinity College[67].

Au total, Ramanujan passe près de cinq ans à Cambridge, y publiant beaucoup de ses découvertes, dans une vingtaine d'articles réunis après sa mort en un livre par Hardy et ses collaborateurs[60] ; la Première Guerre mondiale n'empêche pas ces articles de susciter une grande attention, car ils ouvrent de nouvelles pistes de recherche[38].

Maladie et mort[modifier | modifier le code]

Durant toute sa vie, Ramanujan a été tourmenté par des problèmes de santé. Son état s'aggrave en Angleterre, peut-être en raison du climat, et des difficultés à maintenir le strict régime végétarien exigé par son brahmanisme orthodoxe, au milieu des restrictions dues à la guerre entre 1914 et 1918. Diagnostiqué tuberculeux, et souffrant d'un déficit sévère en vitamines, il fréquente plusieurs établissements hospitaliers à partir de 1917, avant d'être admis en sanatorium à Putney, où Hardy lui rend des visites fréquentes[68]. En février 1918, très déprimé, affaibli et démoralisé, semble-t-il, par la nourriture proposée dans ces établissements[69], le jeune mathématicien tente de se suicider en se jetant sous les roues d'une rame du métro londonien[n 25]. Cependant, à partir du printemps 1918, une succession de bonnes nouvelles, dont son admission à la Royal Society, lui redonne le moral, tandis que la fin de la guerre en novembre lui permet d'envisager un retour en Inde[72].

En mars 1919, apparemment en meilleure santé, mais encore fragile, il retourne à Kumbakonam rejoindre sa femme et ses parents ; sa réputation (due aux honneurs reçus en Angleterre) l'a précédé, et on lui propose en particulier un poste de professeur d'université à Madras, qu'il déclare accepter dès qu'il sera complètement guéri[73] ; cependant, peut-être à cause de la chaleur excessive, il recommence à s'affaiblir durant l'été, ce qui ne l'empêche pas de continuer à produire de nouveaux résultats mathématiques[n 26], mais ses derniers mois sont assez pénibles[n 27] ; il meurt le , à l'âge de 32 ans[75],[76].

En 1994, une analyse des dossiers médicaux et des symptômes de Ramanujan par le docteur D. A. B. Young[77] l'amène à conclure que sa maladie ressemblait beaucoup plus à une amœbose hépatique (une maladie alors endémique à Madras) qu'à la tuberculose. En effet, Ramanujan avait connu deux épisodes de dysenterie avant de quitter l'Inde. Or lorsqu'elle n'est pas correctement traitée, la dysenterie peut effectivement devenir chronique, et conduire à une amœbose[78], alors que correctement diagnostiquée (mais les erreurs n'étaient alors pas rares) la maladie aurait pu être soignée et même guérie dès cette époque[78],[79].

Personnalité et vie religieuse[modifier | modifier le code]

Photo couleur de deux tours d’un temple hindou, surchargées de frises colorées superposées. Un ciel nuageux en arrière-plan.
Temple de Sarangapani à Kumbakonam, où Ramanujan et sa famille offraient des prières à Vishnou[80].

Ramanujan est décrit par ses amis indiens comme amical et tranquille, capable de plaisanter en tamoul et en anglais ; sa passion pour les mathématiques lui donne un charme et une innocence que tous lui reconnaissent, et lui attire des amis désireux de l'aider[81]. À Cambridge, son entourage en parle comme d'un compagnon au caractère timide et calme, mais s'animant d'un enthousiasme communicatif lorsqu'il expose ses idées mathématiques ou philosophiques en petit comité ; c'est un personnage digne aux manières agréables et à l'existence spartiate[82].

Les premiers biographes indiens de Ramanujan insistent sur son hindouisme rigoureusement orthodoxe, et affirment qu'il attribue sa capacité de réflexion à sa déesse familiale, Namagiri Thayar, qu'il compte sur elle pour l'inspirer dans son travail[83] et qu'il prétend avoir rêvé de gouttes de sang symbolisant son époux, Narasimha, avatar de Vishnou, après avoir reçu les visions de rouleaux de formules mathématiques complexes se déroulant sous ses yeux[84]. Selon ces biographes, Ramanujan dit souvent : « Une équation pour moi n'a aucune signification, à moins qu'elle ne représente une pensée de Dieu[85],[86],[c 23]. »

Cependant, Hardy tenait à ce qu'on ne considère pas Ramanujan comme un mystique dont les inspirations mathématiques proviendraient « d'une mystérieuse et immémoriale sagesse orientale »[87],[c 24], le décrivant au contraire comme « un être humain rationnel qui se trouvait être un grand mathématicien »[87],[c 25] ; il cite (en insistant sur l'étonnement qu'elles lui ont causé) des remarques de Ramanujan qui montrent que toutes les religions « lui semblaient plus ou moins également vraies »[87],[c 26]. Hardy en déduisait que la piété de Ramanujan avait été idéalisée par les Occidentaux et exagérée par ses biographes indiens ; il n'évoquait pourtant là que ses croyances et non ses pratiques religieuses, se plaignant au contraire des conséquences regrettables de son observance stricte du végétarisme sur sa santé et peut-être sur son travail[17].

Travaux mathématiques[modifier | modifier le code]

Apports théoriques[modifier | modifier le code]

Photographie noir et blanc d'une page d'équations mathématiques manuscrites.
Une page du cahier de Ramanujan où est énoncé le master theorem.

Les travaux de Ramanujan portent principalement sur divers aspects de la théorie des nombres (par exemple les nombres premiers de Ramanujan, les nombres hautement composés, les identités de Rogers-Ramanujan, ou encore l'étude détaillée, accomplie en collaboration avec Hardy, de la fonction donnant le nombre de partitions d'un entier[14]), et plus particulièrement sur l'utilisation dans cette théorie de méthodes analytiques comme la méthode du cercle (qu'il a contribué à développer), ainsi que des fonctions elliptiques et modulaires, et des fonctions thêta[88],[n 28] ; Paul Erdős considérait également qu'il était l'initiateur, en combinatoire, des méthodes probabilistes[90]. Il a fait par ailleurs des découvertes dans plusieurs autres domaines des mathématiques, comme en analyse avec la sommation de Ramanujan ou le « master theorem », ainsi que de fécondes conjectures, comme celles concernant la fonction tau[88].

Formules[modifier | modifier le code]

Ramanujan est célèbre pour son extraordinaire productivité en matière de formules. Hardy a déclaré, faisant allusion à Leonhard Euler, lui aussi grand créateur de formules remarquables, qu'il « était né 150 ans trop tard »[60],[c 27], et, concernant la lettre qu'il lui avait envoyée en 1913, que les formules qu'elles contenaient ne pouvaient qu'être justes, car « personne n'aurait eu une imagination suffisante pour les inventer et qu'elles soient fausses[91],[c 8] ».

Répartis dans trois cahiers, ainsi que sur un ensemble de feuillets épars redécouvert en 1976, et appelé le « cahier perdu », pour un total d'environ 700 pages[92], plusieurs milliers de ses résultats ont été analysés et désormais tous démontrés (parfois à l'aide d'outils informatiques)[n 29] : très peu sont faux (le plus souvent à la suite d'erreurs de copie) et les deux tiers sont originaux[93],[94],[95],[96]. Ramanujan ne disposant pas de certaines théories inconnues ou en cours de développement au début du XXe siècle, comme la théorie analytique des nombres, et ignorant même des résultats fondamentaux de l'analyse complexe, comme le théorème des résidus[97],[n 30], les méthodes qui lui ont permis de découvrir une telle quantité de formules et de théorèmes restent obscures[93],[n 31]. Les sections suivantes donnent une idée de la variété de ces formules[n 32].

Formules de la lettre à Hardy[modifier | modifier le code]

La première lettre de Ramanujan à Hardy, datée du , est constituée essentiellement de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy en reconnut certains, mais d'autres lui « semblaient à peine croyables[38] ». Ainsi, au bas de la page 3, figure l'identité suivante :

valable pour 0 < a < b + 1/2, et où la fonction gamma Γ, due à Euler, généralise aux réels la factorielle (elle vérifie et pour les entiers). Ce résultat avait déjà été obtenu par Gustav Conrad Bauer en 1859, mais Hardy l'ignorait à l'époque.

Hardy a également été fort impressionné par certaines des séries infinies manipulées par Ramanujan, par exemple les deux suivantes :

dans lesquelles les coefficients sont en progression arithmétique (1, 5, 9, 13,… et 1, 9, 17, 25,…). Hardy put redémontrer ces résultats à l'aide de propriétés des séries hypergéométriques prolongeant les travaux d'Euler et de Gauss, mais il trouva néanmoins qu'ils étaient « beaucoup plus surprenants » que ceux de Gauss[103].

Les théorèmes sur les fractions continues de la dernière page du manuscrit, tels que celui-ci (déjà démontré par Jacobi, et proche de résultats connus de Gauss) :

, où erf est la fonction d'erreur

laissèrent pour la plupart Hardy perplexe : il n'avait « jamais vu auparavant quoi que ce soit leur ressemblant même vaguement »[39],[c 7].

Fractions continues généralisées[modifier | modifier le code]

Deux exemples spectaculaires de la créativité de Ramanujan sont les formules suivantes :

reliant e, π et le nombre d'or, (cette formule figurait dans sa première lettre à Hardy, et faisait partie de celles qui « ne ressemblaient à rien de ce qu'il connaissait »[c 7],[104],[n 33]), et une autre mettant en jeu e et π[n 34] :

Cette seconde formule combine une série infinie et une fraction continue généralisée pour donner une relation entre les deux plus célèbres constantes des mathématiques.

Séries pour π[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Approximation de π.

Les frères Jonathan et Peter Borwein ont démontré en 1987 un ensemble de formules que Ramanujan avait découvertes en 1910 et qui figuraient dans son premier article publié en Angleterre (sans aucune démonstration, et avec seulement quelques vagues indications sur leur origine)[106],[107],[108], dont la plus surprenante (et d'ailleurs la plus efficace) est :

Cette formule fournit huit décimales supplémentaires de 1/π à chaque nouveau terme de la série (et produit dès le premier terme l'excellente approximation , vraie à près).

Hardy a fait remarquer que les résultats de Ramanujan cachent souvent des théories plus profondes qu'il n'y parait[109] ; ainsi, le résultat précédent proviendrait de l'étude du « discriminant fondamental »[n 35] d = −4 × 58 = −232 de nombre de classes h(d) = 2 et serait lié à la « coïncidence numérique » (on a en effet 26390 = 5 × 7 × 13 × 58, 16 × 9801 = 3962 et 1103 = 19 × 58 + 1)[107].

Radicaux imbriqués[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Radical imbriqué.

Dans l'une de ses premières publications dans le Journal of the Indian Mathematical Society[29], Ramanujan demandait de déterminer la valeur de radicaux imbriqués infinis tels que

 ;
à la page 105 de son premier cahier, on trouve une formule plus générale :
,
d'où on déduit que la solution de la question du Journal[n 36] est simplement r = 3.

Dans le « cahier perdu », on trouve d'autres formules plus spectaculaires encore, par exemple[111],[n 37]

(où la séquence des signes se reproduit périodiquement).

Autres identités algébriques[modifier | modifier le code]

Sa virtuosité dans la manipulation des nombres algébriques l'a amené à produire de surprenantes égalités telles que[112] :

, qu'il avait également proposé comme problème dans le Journal of the Indian Mathematical Society.

Dans un genre un peu différent, il découvrit également plusieurs identités permettant de construire des exemples de sommes de trois cubes égales à un cube[113], comme celle-ci :

qui généralise la curieuse coïncidence numérique 33 + 43 + 53 = 63 = 216 pour x = 1 et y = 0 ; elles sont aisées à vérifier par un simple développement algébrique, mais semblent difficiles à obtenir sans disposer d'une théorie générale ; là encore, on ignore si Ramanujan en possédait une (la question pourrait avoir un rapport avec la théorie des nombres taxicab)[n 38].

Approximations numériques[modifier | modifier le code]

Article connexe : Nombre presque entier.
Reproduction d'une page imprimée montrant la figure géométrique correspondant à la construction de cette quadrature
Une quadrature du cercle (approchée) publiée par Ramanujan dans le Journal of Indian Mathematical Society en 1913, exploitant la coïncidence [114].

Dans son premier article écrit à Cambridge[108], Ramanujan fournit d'étonnantes approximations numériques (en précisant l'erreur commise, mais avec très peu de justifications), telles que

près, c'est-à-dire avec 18 décimales exactes).

Il donne également dans le même article trois exemples de nombres « presque entiers » :

,
, et
.

Un phénomène analogue se produit pour les nombres de Heegner ; c'est ce qui a donné à Martin Gardner l'idée du poisson d'avril attribuant à Ramanujan la prédiction selon laquelle serait entier[115],[n 39] ; pour cette raison, ce dernier nombre est parfois connu sous le nom de constante de Ramanujan.

Anecdote du taxi[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : 1 729 (nombre) et Nombre taxicab.

Ramanujan faisait preuve d'une extraordinaire mémoire des nombres et de leurs propriétés[n 40]. Hardy rapporte à ce sujet l'anecdote suivante, devenue célèbre[91],[117],[n 41] :

« Je me souviens que j'allais le voir une fois alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquais que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
— Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes.[c 29] »

En effet, . Et Hardy, citant Littlewood, conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes[n 42]) qu'il donnait l'impression que « chaque entier naturel était un de ses amis personnels »[c 30],[118],[n 43],[n 44].

Reconnaissance posthume[modifier | modifier le code]

Portrait noir et blanc (cadre en médaillon) d'un jeune homme aux cheveux noirs et à la peau foncée.
Ramanujan en 1919[n 45], frontispice du livre de Hardy, Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work.

Postérité mathématique[modifier | modifier le code]

Articles et manuscrits de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Cahiers de Ramanujan.

Faute de papier, Ramanujan a pris en Inde l'habitude d'effectuer ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs ; il conserve cette méthode de travail toute sa vie, remplissant ainsi en tout trois cahiers (contenant près de quatre mille formules sur plus de sept cents pages[92]) qu'il transporte partout avec lui[22],[n 46].

Après sa mort, Thirunarayanan, son plus jeune frère, réunit certaines de ses notes manuscrites[120], et sa femme, Janaki Ammal, fait don de l'ensemble de ses cahiers et de ses notes à l'université de Madras, où les trois cahiers sont conservés actuellement[121] ; en , le secrétaire général de l'université, Francis Drewsbury, envoie la plus grande partie de ces documents à Hardy[122].

Hardy écrit, en juin 1920, un article nécrologique dans Nature[38], et, l'année suivante, une nécrologie plus détaillée pour la London Mathematical Society ; il y affirme, ce qui va s'avérer prophétique, qu'il faudra au moins vingt années pour qu'on mesure tout ce qu'a apporté Ramanujan[76]. Il commence alors, en collaboration avec S. Aiyar et Bertram Martin Wilson, à réunir et à éditer ses textes publiés dans divers journaux indiens ou anglais ; l'ensemble (37 articles en tout) est publié en 1927[60]. En 1937, Hardy écrit pour The American Mathematical Monthly un article, The Indian mathematician Ramanujan[123], racontant les circonstances de leur rencontre et se consacrant surtout à ses travaux, puis donne une série de conférences en Angleterre et aux États-Unis, qu'il réunit dans un livre publié en 1940[14].

À une date indéterminée (probablement après 1935), Hardy transmet les cahiers (et des manuscrits épars) à George Neville Watson, lequel, en collaboration avec Wilson, avait commencé à travailler sur un projet d'édition, mais qui semble s'être désintéressé de ce projet après la mort de Wilson en 1935[92].

Après la mort de Watson en 1965, John Macnaghten Whittaker (le fils de son ami Edmund Whittaker) inspecte ses archives (avant leur incinération quelques jours plus tard) et découvre[n 47] un ensemble de 138 feuillets de la main de Ramanujan, que Rankin et lui envoient à la bibliothèque du Trinity College en décembre 1968. George Andrews en entend parler par Lucy Joan Slater, et l'y découvre à son tour au printemps de 1976, comme il en fait le récit en 2012, pour les célébrations du 150e anniversaire[n 48]. C'est à partir de ce moment que cet ensemble est connu sous le nom de « cahier perdu » (lost notebook)[122],[n 49],[n 50].

À partir de 1977 et pendant plus de vingt ans, Bruce Carl Berndt se consacre à l'édition commentée des trois cahiers (appelés désormais cahiers de Ramanujan[n 51]), en cinq volumes totalisant plus de 1 800 pages[127]. En tout, les cahiers contiennent près de 3 900 « assertions »[n 52], le plus souvent sans aucune démonstration. Berndt et ses collaborateurs, notamment les mathématiciens George Andrews, Richard Askey et Robert Rankin, s'attellent soit à les démontrer, soit à chercher des références dans la littérature existante ; Berndt peut également s'appuyer sur les notes que Watson et Wilson ont prises dans les années 1930 pour leur projet abandonné d'édition. Entre 2005 et 2018, il publie une édition commentée, en cinq autres volumes, des résultats du « cahier perdu »[122], en étant cette fois aidé également par Ken Ono, qui, comme Andrews, est un spécialiste des formes modulaires sur lesquelles ces résultats portent pour l'essentiel[127].

Héritage mathématique[modifier | modifier le code]

Dès l'annonce de sa mort, Hardy déclare : « Ce qu'il a réussi à faire [malgré ses handicaps] est déjà merveilleux [...] lorsque les recherches que ses travaux ont inspirées seront achevées, ceux-ci sembleront bien plus merveilleux encore[38],[c 31]. » Plusieurs des pistes ouvertes par Ramanujan sont explorées au cours des vingt années suivantes[n 53] ; Hardy décrit certaines de ces avancées dans ses conférences de la fin des années 1930, qu'il réunit dans un livre publié à Cambridge en 1940[14].

Cependant, vers la fin des années 1950, les travaux de Ramanujan tombent dans un oubli relatif[129], et les carnets, publiés par le Tata Institute en 1957, mais difficilement déchiffrables[n 54], restent confidentiels[24]. Une importante avancée résulte pourtant de travaux sur la conjecture de Ramanujan à partir de 1965, culminant dans la démonstration de la conjecture par Pierre Deligne en 1974[131] ; les idées de Ramanujan donnent naissance à de féconds développements (utilisant en particulier les nouveaux outils de la géométrie algébrique), rattachant cette conjecture apparemment très spécialisée à de nombreuses et importantes questions ouvertes, telles que le programme de Langlands[131] ; de manière peut-être plus anecdotique, la conjecture a permis la construction explicite de certains graphes, auxquels on a justement donné le nom de graphes de Ramanujan[132].

Au début des années 1980, les travaux de Bruce Carl Berndt sur les résultats des trois cahiers, ainsi que la découverte du « cahier perdu », amènent à prendre conscience de ce que, comme le disait Freeman Dyson, « la plupart des conjectures de Ramanujan n'étaient pas seulement de jolies formules, mais avaient de la consistance et de la profondeur »[126],[c 32]. En particulier, l'importance des dernières découvertes de Ramanujan[n 55] n'est perçue que progressivement à partir des années 1990, principalement à la suite des travaux de Ken Ono[16] ; celui-ci s'appuie sur certains de ces résultats pour obtenir, en 2014, un ensemble spectaculaire de nouvelles formules algébriques[133],[134].

Cet impressionnant héritage explique le qualificatif de « visionnaire », au moins aussi souvent accolé à son nom que celui de « génie »[135]. Certains propos de Ramanujan ont contribué à entretenir le mystère[n 56] ; si Hardy a insisté pour qu'on ne voie « rien de mystique » dans les conjectures qu'il a énoncées[100], Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines de ses prédictions, précises et détaillées, qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont il disposait[136],[137].

Autres hommages[modifier | modifier le code]

Photo couleur d'un buste en bronze, posé sur un piédestal en pierre grise et figurant un homme en veston-cravate. Des arbres et des arbustes en arrière-plan.
Buste de Ramanujan, à Calcutta, dans le jardin du Musée industriel et technologique Birla.

En 1983, à la demande de Janaki Ammal, sa veuve, Richard Askey commissionne le sculpteur Paul Granlund pour la réalisation de bustes en bronze de Ramanujan (s'appuyant sur la photographie de son passeport). Une subvention permet de réaliser dix bustes[n 57] ; celui promis à Janaki se trouve à présent au Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics (le département de mathématiques de l'université de Madras, lequel porte d'ailleurs le nom de Ramanujan depuis 1950)[140].

Le Tamil Nadu[n 58] célèbre l'anniversaire de Ramanujan le 22 décembre comme State IT Day (Journée nationale de l'Industrie et de la Technologie) ; cet anniversaire est également célébré par le Government Arts College de Kumbakonam où il a fait ses études, ainsi que par l'Institut indien de technologie de Chennai. En 2011, pour le 125e anniversaire de sa naissance, le gouvernement indien déclare que le 22 décembre sera désormais « Journée nationale des mathématiques »[141], et le premier ministre indien, Manmohan Singh, annonce de plus que 2012 sera pour cette raison Année nationale des mathématiques[142],[143].

Photo couleur d'une salle contenant de nombreux manuscrits et photographies sous verre ; au centre, un piédestal exhibant une biographie de Ramanujan, sous une statuette le représentant.
Musée SASTRA Ramanujan, à Kumbakonam.

Plusieurs institutions décernent des distinctions mathématiques en référence à Ramanujan. L'académie Shanmugha décerne le prix SASTRA Ramanujan à un jeune mathématicien (de moins de 32 ans, l'âge de sa mort) ayant fait un travail remarquable dans les domaines de prédilection de Ramanujan : fractions continues, séries, théorie des nombres ; en partenariat avec l'université de Kumbakonam, elle a par ailleurs créé en 2000 un musée et un centre universitaire consacré à sa vie et à son œuvre, le Srinivasa Ramanujan Centre[144]. Le Centre international de physique théorique à Trieste décerne le prix ICTP Ramanujan à des jeunes mathématiciens des pays en développement, en coopération avec l'Union mathématique internationale[145]. La Société mathématique indienne organise chaque année depuis 1990 une conférence commémorative « Srinivasa Ramanujan ».

En 2010, le collège Deshbandhu, un collège universitaire affilié à l'université de Delhi et situé dans le quartier Kalkaji du Sud de Delhi, est rebaptisé collège Ramanujan[146].

Un timbre à l'effigie de Ramanujan est émis par le gouvernement de l'Inde en 1962 (pour le 75e anniversaire de sa naissance) commémorant ses découvertes en théorie des nombres[147],[n 59] ; après avoir été repensé, ce timbre est remis en circulation le par India Post[147],[149]. Le , un timbre de cinq roupies, édité à l'occasion de la première « Journée nationale des mathématiques », figure un portrait du mathématicien indien, sur fond de formules et de figures géométriques[147].

Dans la fiction[modifier | modifier le code]

  • Dans son roman, intitulé Le Comptable indien et publié en 2009[150], l'écrivain américain David Leavitt retrace la collaboration, sur fond de Première Guerre mondiale, entre Ramanujan et Hardy, à travers des souvenirs de ce dernier, évoqués alors qu'il entame une série de conférences sur les travaux de Ramanujan à l'occasion des célébrations du tricentenaire de l'université Harvard. Bien que centrée sur le personnage du mathématicien britannique, notamment sa jeunesse et ses relations sociales au sein de la société secrète des Cambridge Apostles, l'œuvre du romancier décrit la figure du talentueux autodidacte indien par la présentation des rencontres faites à Cambridge par celui-ci et de divers éléments de sa biographie[151].
  • En 2007, Simon McBurney a écrit et dirigé A Disappearing Number, pièce de théâtre inspirée par la collaboration entre Ramanujan et Hardy[152] ; cette pièce a été en particulier jouée en France (en version originale surtitrée) au Théâtre Nanterre-Amandiers en 2008[153].

Au cinéma et à la télévision[modifier | modifier le code]

Plusieurs films et documentaires lui sont consacrés :

Ramanujan est également une source d'inspiration pour plusieurs personnages de fiction :

  • Dans Will Hunting, Will, un génie mathématique autodidacte, est comparé à Ramanujan par le professeur Lambeau, qui l'a découvert et lui sert de mentor[156].
  • Amita Ramanujan, la jeune mathématicienne indienne de la série Numb3rs, a été nommée ainsi pour lui rendre hommage[157],[158].

Œuvre de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Les articles publiés dans les journaux indiens et anglais ont été réunis par Godfrey Harold Hardy et ses collaborateurs :

Les photocopies des cahiers de Ramanujan ont été publiées par le Tata Institute of Fundamental Research (TIFR) ; celles du « cahier perdu » (et d'autres documents épars) par Narosa Publishing House[n 60].

  • S. Ramanujan, Notebooks, Bombay, Tata Institute of Fundamental Research, , 2 volumes
    En 2012, une seconde édition (de bien meilleure qualité, et respectant en particulier la couleur des encres utilisées par Ramanujan) a été publiée par le TIFR[160].
  • S. Ramanujan, The Lost Notebook and Other Unpublished Papers, New Delhi, Narosa Publishing House, [161].

Les résultats des trois cahiers, du « cahier perdu » et de la correspondance ont été analysés par Bruce Carl Berndt (en collaboration avec d'autres mathématiciens, en particulier George Andrews et Robert Rankin)[n 61].

  • Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks [« Les cahiers de Ramanujan »], New York, Springer.
  • Bruce C. Berndt et George E. Andrews, Ramanujan's Lost Notebook [« Le cahier perdu de Ramanujan »], New York, Springer.
  • Bruce C. Berndt et Robert A. Rankin, Ramanujan: Letters and Commentary [« Ramanujan : Lettres commentées »], Providence, American Mathematical Society, [172].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Srinivasa Ramanujan » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On ignore les circonstances exactes dans lesquelles a été réalisé cette photographie ; elle appartient à la collection de portraits de mathématiciens de l'Institut de recherches mathématiques d'Oberwolfach, auquel elle a été donnée en 2005 par Konrad Jacobs[1].
  2. Son nom complet, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), est en fait composé avec le nom de son père Srinivasa, auquel on ajoute parfois son nom de caste brahmane Aiyangar (ou Iyengar) ; il signe le plus souvent S. Ramanujan, et expliquait à ses amis anglais « qu'il n'avait pas de nom de famille »[5],[c 1].
  3. Trois autres enfants naissent en 1889, 1891 et 1894, mais ne vivront que quelques mois[6].
  4. Contrairement à ce que pourrait laisser croire son titre, ce livre contient beaucoup d'autres formules d'analyse, par exemple sur les fonctions logarithmes et exponentielles[14].
  5. Il obtient en particulier des formules analogues aux formules d'Euler, mais, mortifié d'apprendre qu'elles sont déjà connues, cache sous le toit de sa maison les papiers où il les a notées[15].
  6. L'édition que Ramanujan a utilisée était précisément intitulée : (en) George Shoobridge Carr, A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics: Containing Propositions, Formulæ, and Methods of Analysis, with Abridged Demonstrations. Supplemented by an Index to the Papers on Pure Mathematics which are to be Found in the Principal Journals and Transactions of Learned Societies, Both English and Foreign, of the Present Century, (lire en ligne).
  7. Ce livre même, qui était encore exposé dans cette bibliothèque lorsque Berndt l'avait visitée, a été volé depuis, comme le raconte Ken Ono, qui espérait y trouver des notes marginales de Ramanujan[16].
  8. Hardy, repris par de nombreux commentateurs, parle de 6 165 résultats, mais en réalité, Berndt ne recense dans ce livre qu'un peu plus de 4 000 théorèmes.
  9. a, b, c et d Iyer (ou Aiyer, Ayyar, etc.) est le nom de caste brahmane, ce qui explique sa présence fréquente comme nom propre dans certaines sources, et les confusions qui en résultent[26].
  10. Ses convictions religieuses sont heurtées par les dissections de grenouilles auxquelles on l'oblige[21].
  11. Il utilise par exemple des lettres non conventionnelles pour certaines variables et fonctions[23],[24].
  12. Les témoignages diffèrent sur ce mariage. Arrangé depuis déjà quelque temps, et symbolique jusqu'à la puberté de la jeune fille, il aurait failli être annulé, Ramanujan ne s'étant rendu chez ses beaux-parents que très tardivement. Cependant, une fois marié, il prit ses responsabilités de chef de famille très au sérieux, et après sa mort, sa veuve devait déployer une énergie sans faille pour que ses travaux et sa mémoire soient préservés[25].
  13. Il souffre d'un hydrocèle qui sera finalement opéré gratuitement en 1910 ; l'opération le laisse affaibli et anxieux[27].
  14. Lettre de M. J. M. Hill à C. L. T. Griffith (un de ses anciens étudiants lui ayant écrit au nom de Ramanujan), 28 novembre 1912 ((en) P.K. Srinivasan, Ramanujan: An Inspiration, memorial vols., 1 and 2, Muthialpet High School, Madras, 1968).
  15. Bien que certaines des critiques de Hill soient judicieuses, Ramanujan devait se plaindre dans sa deuxième lettre à Hardy que Hill ait cru bon de lui conseiller un livre d'analyse élémentaire pour lui « éviter de tomber dans le piège des séries divergentes », comme si Ramanujan n'était pas capable de se rendre compte tout seul qu'écrire que n'avait aucun sens dans le langage usuel des sommes de séries ; on trouvera plus de détails dans l'article Somme de Ramanujan.
  16. Ramanujan semblait s'y attribuer des théorèmes bien connus ; de plus, l'un des résultats qu'il énonçait sur les nombres premiers était certainement faux. Hardy devait déclarer par la suite qu'il comprenait la réaction de ses collègues, lesquels avaient certainement dû penser qu'il s'agissait d'un « illuminé » (crank) comme on en voyait si souvent[37].
  17. Selon Hardy, il avait reçu la lettre au courrier du matin, y avait jeté un bref coup d'œil, estimé qu'il s'agissait d'une plaisanterie, et n'y avait plus pensé. Mais certaines des formules le hantèrent toute la journée ; il prit finalement contact avec Littlewood et ils s'isolèrent dans la soirée dans la bibliothèque de Cambridge, pour en ressortir au bout de deux heures et demi, « désormais certains qu'il s'agissait d'un homme de génie »[40].
  18. Robert Kanigel a ainsi donné à la biographie qu'il a écrite le titre « The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan » [« L'homme qui connaissait l'infini : une vie du génie Ramanujan »][44].
  19. Pour un brahmane orthodoxe, traverser l'océan était à cette époque un tabou connu sous le nom de Kala pani.
  20. a et b Une analyse plus nuancée de cette décision est donnée par Kanigel : Ramanujan aurait prétendu par la suite que son refus ne venait pas de lui, mais de son ami Narayana, cependant cette déclaration pourrait n'avoir été qu'un moyen de sauver la face[46].
  21. Elle avait demandé à Ramanujan de l'accompagner, mais il avait refusé (peut-être influencé par Ramachandra), lui expliquant qu'il ne pourrait pas se concentrer sur ses mathématiques, tant elle était jeune et jolie[57].
  22. Hardy remarquera par la suite que ces erreurs proviennent du manque de maîtrise par Ramanujan des techniques modernes de l'analyse, mais, ajoutera-t-il, ces échecs sont en un sens plus spectaculaires encore que ses réussites (préface de l'édition de 1927[60]) ; il reviendra sur cette remarque dans ses conférences à partir de 1937, observant que ces erreurs apparentes cachent souvent des résultats exacts plus profonds, qu'il faut découvrir[14].
  23. Bruce Carl Berndt tenait cette information de Paul Erdős[63].
  24. Il explique en 1927 que les plus grands échecs de Ramanujan ont eu lieu en théorie analytique des nombres, là où « deviner le théorème n'est presque rien, et où seule la démonstration rigoureuse permet d'éviter des erreurs [que même Gauss a pu commettre] »[64],[c 19].
  25. Arrêté par des agents de Scotland Yard, sain et sauf — le train avait été stoppé quelques mètres avant l'endroit où le jeune homme s'était laissé tomber —, il est libéré grâce à l'intervention de Hardy[70],[71].
  26. L'importance de ces résultats (concernant en particulier les « fausses fonctions thêta » qu'il a construites) ne sera pleinement reconnue qu'après la redécouverte du « cahier perdu » en 1976[74].
  27. Il souffre en permanence de douleurs à l'estomac, et son caractère, jusque là tranquille et optimiste, s'en ressent, mais, alité, il continue ses recherches jusqu'à ses derniers jours[75].
  28. Il a en particulier découvert dans la dernière année de sa vie des fonctions analogues, les « fausses fonctions thêta » (mock theta functions) ; il a consigné dans le « cahier perdu » des formules et des conjectures à leur sujet dont l'importance n'a été vraiment reconnue qu'après la redécouverte de ce cahier en 1976[74], et qui n'étaient pas encore pleinement comprises au début du XXIe siècle[89].
  29. Ce travail de vérification, s'étalant sur plus de 25 ans, et achevé pour l'essentiel en 1996, est en grande partie dû à Bruce Carl Berndt, avec la collaboration de plusieurs autres mathématiciens, dont George Andrews et les frères Jonathan et Peter Borwein ; beaucoup de vérifications de routine ont pu être confiées à Mathematica, mais Berndt attire à plusieurs reprises l'attention sur l'extraordinaire puissance de calcul de Ramanujan, lui ayant permis de découvrir et de contrôler ces résultats sans aide.
  30. Bien qu’il ait contribué par exemple au développement de la méthode du cercle, son intuition l’a ainsi trompé dans l’étude de la répartition des nombres premiers : « sa théorie ressemblait à ce qui se passerait si les zéros complexes de la fonction zêta de Riemann n'existaient pas »[98],[c 28]
  31. Certaines déclarations de Ramanujan, attribuant par exemple ces formules à Namagiri Thayar, sa déesse tutélaire[99], ont contribué à entretenir le mystère. Si Hardy a insisté pour qu'on ne voie là qu'une « extraordinaire puissance de manipulations formelles, de rapidité dans la formation et le rejet d'hypothèses, et d'intuition des relations cachées entre objets apparemment sans lien »[100], Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines prédictions de Ramanujan, confirmées récemment par de pénibles calculs informatiques, et qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont Ramanujan disposait[101],[102].
  32. On trouvera d'autres exemples avec les identités de Rogers-Ramanujan, l'estimation asymptotique de la fonction de partition, ou encore la conjecture de Ramanujan.
  33. C'est un cas particulier de la fraction continue de Rogers-Ramanujan , dont il a obtenu beaucoup de valeurs non triviales, liées aux identités qu'il avait découvertes[105].
  34. Cette formule figure dans le deuxième cahier de Ramanujan (B. C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, vol. II).
  35. Il s'agit du discriminant du corps quadratique réel , c'est-à-dire du discriminant de la forme quadratique  ; on trouvera une étude plus approfondie de cette notion et de ses applications dans le livre de Gérald Tenenbaum : Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres[110].
  36. Prendre et  ; montrer la convergence de ce radical infini n'est pas très difficile, mais obtenir le résultat de Ramanujan demande d'ingénieuses manipulations algébriques (voir une analyse plus précise dans l'article Radical imbriqué).
  37. Berndt fait remarquer qu'il n'est pas très difficile de démontrer ces formules (par exemple à l'aide d'un logiciel de calcul formel), mais que leur forme relativement simple pour ce choix précis de coefficients et de signes montre, sinon l'existence de théories profondes sous-jacentes, du moins la virtuosité de Ramanujan.
  38. Hardy fait cependant remarquer que ces formules ne produisent pas toutes les solutions de ce problème, et semble les trouver plus anecdotiques que profondes[65].
  39. De fait, ce nombre est lui aussi presque entier : eπ163 = 262537412640768743,99999999999925… Cependant, sans moyens informatiques, et sans utiliser les résultats théoriques liés à ces nombres (résultats que d'ailleurs Ramanujan connaissait et qu'il avait contribué à établir pour des nombres comme ), il est impossible d'obtenir une valeur approchée assez précise pour trancher la question. Le théorème de Gelfond-Schneider montre de toute façon que ce nombre, égal à , est nécessairement transcendant.
  40. Les premières notes de ses carnets, écrites alors qu'il était encore écolier, décrivent ses recherches sur les carrés magiques, et mentionnent en particulier sa construction d'un étonnant carré diabolique dont la première ligne, 22 12 18 87, représente sa date de naissance[116].
  41. Une copie de ce taxi a été réalisée pour les besoins du film L'Homme qui défiait l'infini.
  42. Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657 ; il a été découvert par Leonhard Euler vers 1770, mais ce n'est qu'en 1957 que John Leech démontra que c'était le plus petit.
  43. C'est à la suite de cette anecdote qu'on a défini un nombre taxicab (nom complet des taxis anglais de l'époque) comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes (d'autres nombres ayant cette propriété, comme , avaient déjà été trouvés au XVIIe siècle par Bernard Frénicle de Bessy).
  44. Bien que ce ne soit peut-être qu'une coïncidence, plusieurs mathématiciens ont fait remarquer que le nombre 1729 intervenait dans l'étude que Ramanujan avait fait de courbes elliptiques en relation avec une certaine surface K3[119].
  45. Cette photographie, la meilleure parmi les rares que l'on possède de Ramanujan, provenant de son passeport, a été transmise à Hardy pour ce livre par sa veuve, Janaki Ammal, comme Chandrasekhar (grand admirateur de Ramanujan) le raconte dans ce livre de souvenirs.
  46. En 2003, Bruce Carl Berndt a retracé (en s'appuyant sur la correspondance des différents acteurs) les vicissitudes de ces trois cahiers. Le premier était resté en Angleterre en 1919 ; après la mort de Ramanujan, Hardy l'envoya à l'université de Madras, qui lui en fournit une copie manuscrite, suivie de l'envoi des deux autres cahiers, ainsi que de notes éparses constituant le « cahier perdu », entre 1923 et 1925. À une date indéterminée après 1935, les cahiers (mais non les autres documents) furent retournés à Madras par George Neville Watson, qui avait commencé à les exploiter, mais s'en était désintéressé[92].
  47. Whittaker expliquera par la suite que des papiers disparates couvraient le sol d'une vaste pièce sur une épaisseur de 30 cm, et qu'il avait eu « une chance incroyable » de tomber sur quelque chose d'intéressant[124].
  48. Andrews explique alors que Whittaker et Rankin, dont les intérêts mathématiques ne vont pas dans la direction des résultats de ces documents (contrairement aux siens), ne se sont pas rendu compte de leur importance, pensant qu'il s'agit de notes éparses de Ramanujan et non d'un ensemble cohérent couvrant ses dernières recherches[125].
  49. Cette appellation, due à Andrews, a été contestée[122], Rankin expliquant par exemple que ce n'était pas un cahier, et que, bien classé dans la bibliothèque Wren de Cambridge, il n'était pas perdu ; Andrews faisait cependant remarquer que des documents dont on avait ignoré l'existence durant 55 ans pouvaient légitimement être nommés ainsi[126].
  50. Berndt considère la découverte du « cahier perdu » comme essentielle dans le renouveau d'attention pour Ramanujan au début des années 1980 ; Emma Lehmer a ainsi déclaré que sa découverte « était comparable à celle d'une esquisse complète de la dixième symphonie de Beethoven »[126].
  51. Parfois mentionnés comme les « cahiers effilochés de Ramanujan » (Ramanujan' frayed notebooks) en raison de leur état d'usure[121].
  52. Le nombre exact n'est pas tout à fait clair, d'une part à cause de répétitions, d'autre part parce que certaines « formules » regroupent plusieurs résultats similaires[128].
  53. Il s'agit en particulier des identités de Rogers-Ramanujan, de ses travaux sur la fonction tau et des congruences de Ramanujan qu'il avait découvertes entre les partitions d'un entier.
  54. L'écriture de Ramanujan est généralement lisible, mais il a développé un système de notations personnelles, utilisant par exemple des lettres inhabituelles pour certaines constantes et variables[130], qui ne permettent pas toujours de se rendre compte de l'importance des résultats obtenus[24].
  55. Consignés pour l'essentiel dans le « cahier perdu », il s'agit de résultats concernant les fonctions thêta et des fonctions analogues qu'il a construites, les « fausses fonctions thêta » ; certains de ces résultats n'ont été confirmés qu'en 2012 par des calculs informatiques, mais on n'en possède encore que des justifications théoriques partielles[102].
  56. Il affirmait par exemple que Namagiri Thayar, sa déesse tutélaire, lui avait dévoilé certaines formules en rêve[99].
  57. Lors d'une interview, en 1978, Janaki a déclaré : « On m'avait promis d'ériger une statue en souvenir de mon mari. Où est-elle[138],[c 33] ? » C'est en lisant cette interview que Richard Askey décide de faire réaliser ces bustes[139].
  58. Le Tamil Nadu est l'État où résidait Ramanujan.
  59. Ce timbre (très agrandi) illustre la couverture du livre de Berndt et Rankin, Ramanujan : Letters and Commentary[148].
  60. On trouvera des versions numérisées de ces photocopies sur ce site consacré aux écrits de Ramanujan (en).
  61. Certains de ces ouvrages peuvent être consultés sur le site de Simon Plouffe : voir par exemple le travail effectué sur les théorèmes des Cahiers.

Citations originales[modifier | modifier le code]

  1. « I have no proper surname. »
  2. « We, including teachers, rarely understood him. »
  3. « I was struck by the extraordinary mathematical results contained in it. I had no mind to smother his genius by an appointment in the lower rungs of the revenue department. »
  4. « Mr. Ramanujan's methods were so terse and novel and his presentation so lacking in clearness and precision, that the ordinary [mathematical reader], unaccustomed to such intellectual gymnastics, could hardly follow him. »
  5. « a taste for mathematics, and some ability »
  6. « seemed scarcely possible to believe. »
  7. a, b et c « I had never seen anything in the least like them before . »
  8. a et b « They must be true, because, if they were not true, no one would have the imagination to invent them. »
  9. « A man of genius »
  10. « certainly the most remarkable that I have ever received. »
  11. « A mathematician of the highest quality, a man of altogether exceptional originality and power. »
  12. « It is essential I should see proofs of some of your assertions. »
  13. « a foreign land »
  14. « I have found a friend in you who views my labours sympathetically. »
  15. « what we can do for S. Ramanujan. »
  16. « to stand no longer between her son and the fulfillment of his life's purpose. »
  17. « I can believe that he's at least a Jacobi. »
  18. « I can compare him only with Euler or Jacobi. »
  19. « It is comparatively easy to make clever guesses, but nothing short of absolute rigour counts. »
  20. « He might have become the greatest mathematician of his time. »
  21. « It seemed ridiculous to worry him about how he had found this or that known theorem, when he was showing me half a dozen new ones almost every day. »
  22. « This long memoir represents work, perhaps, in a backwater of mathematics, [...] it shows very clearly Ramanujan’s extraordinary mastery over the algebra of inequalities. »
  23. « An equation for me has no meaning unless it represents a thought of God. »
  24. « some mysterious manifestation of the immemorial wisdom of the East. »
  25. « a rational human being who happened to be a great mathematician. »
  26. « all religions seemed to him more or less equally true. »
  27. « ought to have been born 150 years ago »
  28. « It was (so to say) what the theory might be if the zeta function had no complex zeros. ».
  29. « I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. “No, he replied, it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways”. »
  30. « every positive integer was one of his personal friends. »
  31. « What he did actually is wonderful enough [...] when the researches which his work has suggested have been completed, it will probably seem a good deal more wonderful than it does today. »
  32. « So much that he conjectured was not just pretty formulas but had substance and depth. »
  33. « They said years ago a statue would be erected in honor of my husband. Where is the statue? »

Références[modifier | modifier le code]

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  166. (en) Srinivasa Ramanujan et Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks : Part V [« Les carnets de Ramanujan : volume V »], New York, Springer Science+Business Media, , 624 p. (ISBN 978-0-387-94941-3, DOI 10.1007/978-1-4612-1624-7).
  167. (en) George E. Andrews et Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook : Part I [« Le cahier perdu de Ramanujan : volume I »], New York, Springer Science+Business Media, , 438 p. (ISBN 978-0-387-25529-3, DOI 10.1007/0-387-28124-X).
  168. (en) George E. Andrews et Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook : Part II [« Le cahier perdu de Ramanujan : volume II »], New York, Springer Science+Business Media, , 420 p. (ISBN 978-0-387-77765-8, DOI 10.1007/b13290).
  169. (en) George E. Andrews et Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook : Part III [« Le cahier perdu de Ramanujan : volume III »], New York, Springer Science+Business Media, , 436 p. (ISBN 978-1-4614-3809-0, DOI 10.1007/978-1-4614-3810-6).
  170. (en) George E. Andrews et Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook : Part IV [« Le cahier perdu de Ramanujan : volume IV »], New York, Springer Science+Business Media, , 439 p. (ISBN 978-1-4614-4080-2, DOI 10.1007/978-1-4614-4081-9).
  171. (en) George E. Andrews et Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook : Part V [« Le cahier perdu de Ramanujan : volume V »], New York, Springer Science+Business Media, , 425 p. (ISBN 978-3-319-77832-7, DOI 10.1007/978-3-319-77834-1).
  172. (en) Bruce C. Berndt et Robert A. Rankin, Ramanujan: Letters and Commentary [« Ramanujan : Lettres commentées »], Providence, American Mathematical Society, (ISBN 0-8218-0287-9, présentation en ligne).

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