Srinivasa Ramanujan

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Ne doit pas être confondu avec C. P. Ramanujam, également mathématicien.
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Srinivasa Ramanujan
Description de l'image Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg.
Naissance
Erode (Raj britannique)
Décès (à 32 ans)
Kumbakonam, près de Madras (Raj britannique)
Domicile Tamil Nadu
Drapeau de l'Empire britanniques des Indes Raj britannique
Nationalité Indien
Domaines Mathématiques
Renommé pour Cahiers de Ramanujan
Constante de Landau-Ramanujan
Sommes de Ramanujan

Signature

Signature de Srinivasa Ramanujan

Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan (en tamoul : ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன் ; Écouter), né le à Erode et mort le à Kumbakonam, est un mathématicien indien.

Né dans une famille de brahmanes pauvre et orthodoxe, il était autodidacte et fit toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprit seul les mathématiques, uniquement à partir de deux livres qu'il s'était procuré avant ses 16 ans, et qui lui permirent d'établir une grande quantité de résultats sur la théorie des nombres, les fonctions elliptiques, les fractions continues et les séries divergentes, tout en créant son propre système de représentation symbolique. Jugeant son entourage académique dépassé, il publia plusieurs articles dans les journaux mathématiques indiens et tenta d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoyait.

Une de ces lettres, envoyée en janvier 1913 à Godfrey Harold Hardy, contenait une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considéra tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discuta longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur était certainement un « homme de génie » ; ce qualificatif de « génie » est souvent repris de nos jours. Hardy répondit en invitant Ramanujan à venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de Littlewood, en résulta.

Tourmenté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan vit son état empirer en Angleterre ; il retourna en Inde en 1919 et mourut peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de 32 ans. Il laissa derrière lui des livres entiers de résultats non démontrés (appelés Cahiers de Ramanujan) qui continuent d'être étudiés au début du XXIe siècle.

Ramanujan travailla principalement sur les fonctions elliptiques et en théorie analytique des nombres ; il devint célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant des constantes telles que π et e, les nombres premiers ou encore la fonction partition d'un entier, qu'il avait étudié avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a trouvé plusieurs milliers qui ont pratiquement toutes été démontrées comme exactes par la suite ; à propos de certaines de ces formules, qui avaient stupéfié Hardy par leur originalité, ce dernier déclara qu'« un seul coup d'œil était suffisant pour se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, car personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer, et qu'elles soient fausses ».

Biographie[modifier | modifier le code]

Façade de la maison natale de Ramanujan, de couleur jaune.
Maison natale de Ramanujan, au 18 rue Alahiri, Erode[1].
Maison où a vécu Ramanujan à Kumbakonam, aménagée en musée.
Maison de Ramanujan rue Sarangapani Sannidhi, Kumbakonam, aménagée en musée.

Jeunesse[modifier | modifier le code]

Ramanujan (« prénom » signifiant littéralement « frère cadet de Rāma »)[2]:12,[n 1] naît le à Erode, dans l'actuel état de Tamil Nadu en Inde, dans la résidence de ses grands-parents maternels[1]. Son père, K. Srinivasa Iyengar, né à Thanjavur, travaille comme commis dans un magasin de sari. Sa mère, Komalathammal, est femme au foyer, mais gagne un peu d'argent en chantant au temple. Il aura plusieurs frères, dont deux seulement survivront à la petite enfance : Lakshmi Narasimhan (1898-1946) et Thirunarayanan (1905-1978)[3].

À un an, il retourne vivre chez son père dans une maison traditionnelle (aujourd'hui transformée en musée) de la rue Sarangapani à Kumbakonam[4] ; il y passera la plus grande partie des vingt années suivantes. En décembre 1889, Ramanujan a la variole, dont il gardera toute sa vie des cicatrices[2]:12. Il déménage ensuite dans la maison de ses grands parents maternels, entre temps installés à Kanchipuram, non loin de Madras[2]:13.

Le , Ramanujan entre à l'école ; les deux années suivantes le voient suivre une scolarité chaotique[2]:13. Sa grand-mère ayant perdu son emploi de fonctionnaire à la cour de Kanchipuram, Ramanujan et sa mère retournent à Kumbakonam, où il est inscrit à l'école primaire Kangayan. À la mort de son grand-père paternel, il est renvoyé chez ses grands-parents maternels, qui ont alors déménagé à Madras. N'aimant pas l'école de Madras, il sèche les cours, c'est pourquoi sa famille fait appel à un agent de police pour s'assurer qu'il fréquente l'école. Dans les six mois, Ramanujan est de retour à Kumbakonam[2]:14.

Dès lors, le père de Ramanujan étant au travail toute la journée, sa mère prend grand soin de lui, et sa relation avec elle est étroite. Elle lui apprend notamment la tradition et le purana. Il apprend aussi à chanter des chants religieux, pour assister à des pujas au temple. À l'école primaire Kangayan, Ramanujan est un brillant élève. Juste avant ses 10 ans, en novembre 1897, il termine premier de son quartier aux examens de primaire (en anglais, en tamoul, en géographie et en arithmétique)[2]:25. Cette même année, Ramanujan rencontre pour la première fois les mathématiques « abstraites » grâce à son passage dans l'enseignement secondaire[2]:25.

En 1898, deux étudiants du Government College de Kumbakonam sont locataires chez ses parents. Il les harcèle jusqu'à ce qu'ils lui prêtent des livres de mathématiques, en particulier Trigonometry, de Sidney Luxton Loney[2]:27,[n 2]. Dès l'âge de 13 ans, il maîtrise les connaissances issues de ce livre, et redécouvre quelques théorèmes[n 3]. À 14 ans, il reçoit ses certificats de mérite et une bourse universitaire[2]:27.

À l'âge de 15 ans, Ramanujan emprunte à la bibliothèque du Government College un livre de George Shoobridge Carr, intitulé Synopsis of Pure Mathematics[5],[n 4], contenant plusieurs milliers de résultats d'analyse et de géométrie[n 5], mais ne donnant que quelques indications sur leurs démonstrations (ce que Hardy devait déplorer par la suite, commentant que le style de rédaction de Ramanujan, elliptique et non rigoureux, s'en était ressenti[6]:139). C'est ce livre qui introduisit le plus profondément Ramanujan dans le monde des mathématiques[2]:39,[7]. À 17 ans, il étudie en profondeur les nombres de Bernoulli et calcule la constante d'Euler jusqu'à 15 décimales ; à cette époque, ses camarades affirment « rarement le comprendre ».

Le Government College de Kumbakonam, où Ramanujan passa l'année 1904.

Diplômé de la Town Higher Secondary School de Kumbakonam en 1904, Ramanujan reçoit le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques, des mains du directeur de l'école, M. Krishnaswami Iyer. C'est ce dernier qui introduit Ramanujan au Government College en tant qu'étudiant exceptionnel. Mais à cause de son travail uniquement concentré sur les mathématiques, il perd sa bourse d'étude, et, en août 1905, il s'enfuit de la maison, en direction de Visakhapatnam. Plus tard, il s'inscrit au collège Pachaiyappa, à Madras. Encore excellent en mathématiques, mais avec des résultats médiocres dans les autres disciplines telles que la physiologie[n 6], Ramanujan rate l'examen, en décembre 1906 et de nouveau un an plus tard. Il n'a ainsi pas l'occasion de poursuivre des études supérieures conventionnelles, mais continue cependant à se consacrer à des recherches indépendantes en mathématiques, tout en vivant dans une pauvreté extrême.

Premiers travaux[modifier | modifier le code]

Inquiète de ces échecs qui obscurcissent son avenir, la famille de Ramanujan décide de le marier. Le , il épouse donc Janaki Ammal (âgée de dix ans)[8],[n 7]. Pour gagner de l'argent, il aide des étudiants à préparer leurs examens de fin d'année, au Presidency College. Des problèmes de santé étant apparus à la fin des années 1900, il demande à son ami Radakrishna Iyer, de donner en cas de malheur ses cahiers mathématiques au professeur Singaravelu Mudaliar, du Pachaiyappa's College, ou au professeur britannique Edward B. Ross, du Christian College[n 8].

Après sa guérison, Ramanujan part en train de Kumbakonam à Viluppuram, ville alors sous contrôle français. Il y rencontre V. Ramaswamy Aiyer, fondateur de la Société mathématique indienne. Ramanujan, qui souhaite un emploi au département des recettes où Aiyer travaille, lui montre ses cahiers de mathématiques. Comme Aiyer le racontera plus tard :

« J'ai été frappé par les résultats mathématiques extraordinaires qu'ils contenaient [les cahiers]. Je n'avais pas le cœur d'étouffer son génie en lui attribuant un poste au bas de l'échelle dans le ministère du Budget. »

Aiyer envoie Ramanujan, avec des lettres d'introduction, chez des amis mathématiciens à Madras, desquels il obtient des lettres d'introduction auprès de R. Ramachandra Rao, le secrétaire de la Société mathématique indienne. Rao est impressionné par les résultats de Ramanujan, mais émet des doutes sur leur authenticité ; après avoir discuté avec lui en personne au sujet d'intégrales elliptiques, de séries hypergéométriques et de séries divergentes, il est convaincu de ses capacités[2]:80. Ayant demandé à Rao du travail et du soutien financier, Ramanujan est envoyé à Madras, où il peut continuer ses recherches, et Aiyer l'aide à publier ses résultats dans le Journal of the Indian Mathematical Society[2]:86.

L'un des premiers problèmes qu'il publie dans ce journal est de déterminer la valeur d'un radical imbriqué infini, un objet certes inhabituel, mais à première vue peu effrayant pour un mathématicien. Pourtant, après six mois, n'ayant reçu aucune solution, il en publie une lui-même, donnant la réponse, et quelques indications sommaires pour l'obtenir[2]:87.

En 1911, Ramanujan écrit pour le Journal un article de 17 pages sur les nombres de Bernoulli contenant plusieurs théorèmes et conjectures[2]:91. À cette époque, son style d'écriture laisse encore beaucoup à désirer. Comme l'écrivait M. T. Narayana Iyengar, l'éditeur du Journal,

Les méthodes de M. Ramanujan étaient si laconiques et nouvelles, et sa présentation si peu claire et si imprécise, que le lecteur mathématicien ordinaire, peu habitué à une telle gymnastique intellectuelle, pouvait difficilement le suivre[9].

En mars 1912, Ramanujan obtient finalement un poste permanent de comptable auprès du Trésorier général de Madras, travail lui laissant assez de loisirs pour se consacrer complètement aux mathématiques[2]:96.

Prise de contact avec les mathématiciens britanniques[modifier | modifier le code]

À la fin de 1912, Narayana Iyer, Ramachandra Rao et Edgar William Middlemast tentent de présenter les travaux de Ramanujan à des mathématiciens britanniques. Micaiah John Muller Hill (de l'University College de Londres) trouvant les articles de Ramanujan trop lacunaires[2]:105, commente que bien que Ramanujan « ait du goût pour les mathématiques, et de réelles capacités », il manque des bases et des fondations nécessaires pour être accepté par les mathématiciens[10],[n 9]. Bien que Hill ne propose pas de prendre Ramanujan comme étudiant, il lui offre des conseils professionnels détaillés sur son travail. Aidé par ses amis, Ramanujan écrit alors des lettres aux mathématiciens les plus prestigieux de l'université de Cambridge[2]:106.

Les deux premiers, Henry Frederick Baker et Ernest William Hobson, renvoient les papiers de Ramanujan sans commentaires[2]:170-171. Le 16 janvier 1913, Ramanujan envoie alors à Godfrey Harold Hardy une lettre de neuf pages, que ce dernier prend d'abord pour une mystification. Hardy reconnait certaines des formules qui y figurent, mais d'autres « semblent à peine croyables »[11]:494. En particulier, les étranges fractions continues de la dernière page du manuscrit laissent pour la plupart Hardy perplexe ; commentant qu'il n'avait « jamais vu auparavant quoi que ce soit leur ressemblant même vaguement », il fait à leur sujet la célèbre remarque selon laquelle « ces théorèmes devaient être vrais, car personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer, et qu'ils soient faux  »[2]:168.

Hardy demande alors à son collègue J. E. Littlewood de jeter un coup d'œil à ce manuscrit[n 10]. Stupéfié, ce dernier affirme qu'il s'agit certainement d'un « homme de génie »[12] (un qualificatif souvent repris de nos jours[13],[14]). Hardy déclarera à la mort de Ramanujan que cette lettre était « sûrement la plus remarquable qu'il ait jamais reçue » et montrait que son auteur était « un mathématicien de toute première qualité, un homme d'une puissance et d'une originalité exceptionnelle »[11].

Le , Hardy répond à Ramanujan, exprimant son intérêt pour son travail, et signalant qu'il était « essentiel qu'il voit la démonstration de certains résultats ». Avant même que sa lettre arrive à Madras, Hardy a contacté le bureau de l'Inde dans le but d'organiser un voyage de Ramanujan à Cambridge ; Arthur Davies, secrétaire du comité d'aide aux étudiants indiens, rencontre Ramanujan au début de 1914 pour discuter des détails de ce voyage, mais, en accord avec son éducation de brahmane, et pour ne pas heurter sa famille, Ramanujan refuse de quitter son pays pour « une terre étrangère »[2]:185. Cependant, il a entre temps envoyé à Hardy une seconde lettre remplie de théorèmes, écrivant : « J'ai trouvé en vous un ami regardant mes travaux avec sympathie ».

Gilbert Walker, qui travaille alors avec Hardy au Trinity College, regarde ces travaux de Ramanujan et exprime lui aussi sa stupéfaction, insistant pour que le jeune homme vienne travailler à Cambridge[2]:175. En conséquence, Rao et Iyer réunissent le bureau d'études mathématiques de l'université de Madras pour discuter « ce qu'on pouvait faire pour Ramanujan »[15]. Le bureau décide de lui attribuer une bourse de recherche de 75 roupies par mois durant deux ans[16]. Durant cette période, Ramanujan continue de proposer des articles au Journal of the Indian Mathematical Society. Ainsi, Narayana Iyer publie certains théorèmes sur la sommation de séries divergentes, en les lui attribuant ; une autre série de théorèmes publiés dans ce journal portent sur le calcul d'intégrales définies, Ramanujan ayant généralisé une méthode due à Giuliano Frullani[2]:183.

Après le refus de Ramanujan de sa proposition, la correspondance avec Hardy se gâte quelque peu ; Hardy propose alors à E. H. Neville, un collègue donnant des conférences à Madras, de superviser les travaux de Ramanujan, et d'essayer de le convaincre de venir[2]:184. Cela ne s'avérera pas utile, car entre temps la mère de Ramanujan a eu un rêve dans lequel la déesse familiale, Namagiri Thayar, lui aurait commandé de « ne plus s'interposer entre son fils et l'accomplissement de son destin »[17]. Ramanujan s'embarque alors pour l'Angleterre, en laissant sa femme, alors âgée de quinze ans, à la garde de ses parents.

Séjour en Angleterre[modifier | modifier le code]

Ramanujan (au centre) et Hardy (à l'extrême droite) devant le Senate House de l’université de Cambridge, vers 1915.
Whewell's Court, au Trinity College (Cambridge).

Ramanujan arrive à Londres le après un mois de traversée ; accueilli par Neville, il est logé chez lui à Cambridge et commence aussitôt à travailler avec Hardy et Littlewood[2]:196. Au bout de six semaines, Ramanujan emménage à Wheewell's Court, à cinq minutes à pied du logement de Hardy[2]:202, et ce dernier et Littlewood peuvent étudier ses carnets. Hardy a déjà reçu 120 formules et théorèmes dans les deux premières lettres, mais les carnets en contiennent beaucoup plus. Certains sont faux[n 11], et d'autres sont déjà connus, mais la majorité constitue des découvertes importantes[18], leur faisant à tous deux une forte impression. Littlewood commente « qu'il le croit au moins du calibre d'un Jacobi » tandis que Hardy « ne peut le comparer qu'à Euler ou à Jacobi »[19]. Hardy, qui aimait classer les mathématiciens sur une échelle de 1 à 100, s'attribuera par la suite 25, donnera 30 à Littlewood, 80 à David Hilbert et 100 à Ramanujan[20].

Hardy et Ramanujan avaient des personnalités contrastées, et leur collaboration représenta un choc de cultures, de croyances, et même de styles de travail. Les décennies précédentes avaient vu en Occident une crise des fondements des mathématiques, rendant nécessaire une approche rigoureuse des démonstrations, dont Hardy était un fervent partisan, alors que Ramanujan se reposait sur son instinct et ses intuitions fulgurantes. Hardy fera de son mieux pour combler les lacunes dans l'éducation de Ramanujan, et pour le convaincre d'appuyer ses résultats sur des preuves rigoureuses, sans pour autant brider son inspiration ; le conflit entre les deux approches fut pénible à chacun, et Hardy déplorera par la suite à plusieurs reprises que Ramanujan n'ait pas reçu une éducation plus traditionnelle, qui lui aurait peut-être « permis de devenir le plus grand mathématicien de son temps »[11] ; il fait cependant remarquer qu'il n'a pas pris le temps de lui demander d'où provenaient exactement ses connaissances, car, dit-il, « pourquoi lui aurais-je demandé s'il connaissait tel ou tel résultat, quand il me montrait pratiquement chaque jour une demi-douzaine de nouveaux théorèmes ? »[6]:146.

Ramanujan reçoit un diplôme de Bachelor of Science « de recherche » (grade disparu correspondant au PhD actuel) en mars 1916 pour son travail sur les nombres hautement composés, travail dont la première partie a été publiée dans les Proceedings of the London Mathematical Society[21]. Cet article de plus de 60 pages démontre de nombreuses propriétés de ces nombres ; Hardy remarquera « qu'il s'agissait d'un travail de recherche des plus inhabituels, et que Ramanujan y avait fait preuve d'une ingéniosité extraordinaire »[21].

Le 6 décembre 1917, il est admis dans la London Mathematical Society ; en 1918, il est élu Fellow of the Royal Society « pour ses recherches sur les fonctions elliptiques et la théorie des nombres », devenant le second Indien à y être admis, après Ardaseer Cursetjee en 1841. La même année, le 13 octobre, il est le premier Indien à devenir Fellow of Trinity College[2]:299-300.

Au total, Ramanujan passe près de cinq ans à Cambridge, y publiant beaucoup de ses découvertes, dans une vingtaine d'articles réunis après sa mort en un livre par Hardy et ses collaborateurs[22] ; en dépit de la guerre, ces articles suscitent une grande attention, et ouvrent de nouvelles pistes de recherche[11].

Maladie et mort[modifier | modifier le code]

Durant toute sa vie, Ramanujan fut tourmenté par des problèmes de santé. Son état s'aggrave en Angleterre, peut-être en raison du climat, et des difficultés à maintenir le strict régime végétarien exigé par sa condition de brahmane, au milieu des restrictions dues à la guerre entre 1914 et 1918. Diagnostiqué tuberculeux, et souffrant d'un déficit sévère en vitamines, il fréquente plusieurs établissements hospitaliers à partir de 1917, avant d'être admis en sanatorium à Putney, où Hardy lui rend des visites fréquentes[23].

En 1919, il retourne à Kumbakonam260 km de Madras), et y meurt peu de temps après, le 26 avril 1920, à l'âge de 32 ans[24].

En 1994, une analyse des dossiers médicaux et des symptômes de Ramanujan par le docteur D. A. B. Young[25] l'amène à conclure que sa maladie ressemblait beaucoup plus à une amœbose hépatique (une maladie alors endémique à Madras) qu'à la tuberculose. Il avait connu deux épisodes de dysenterie avant de quitter l'Inde. Lorsqu'elle n'est pas correctement traitée, la dysenterie peut effectivement devenir chronique, et conduire à une amœbose[26] ; si la maladie avait été correctement diagnostiquée (mais les erreurs n'étaient alors pas rares) on aurait pu la soigner et même la guérir dès cette époque[26],[27].

Personnalité et vie religieuse[modifier | modifier le code]

Temple de Sarangapani à Kumbakonam, où Ramanujan et sa famille offraient des prières à Vishnou[2]:29-30.

Ramanujan est décrit par ses amis indiens comme amical et grégaire, capable de plaisanter en tamoul et en anglais, et auquel sa passion pour les mathématiques donnait un charme et une innocence que tous reconnaissaient, et qui lui attirait des amis désireux de l'aider[2]:76. À Cambridge, son entourage en parle comme d'une personne d'une disposition quelque peu timide et calme, mais s'animant d'un enthousiasme communicatif lorsqu'il exposait ses idées mathématiques ou philosophiques en petit comité ; c'était un homme digne avec des manières agréables, et vivant une existence plutôt spartiate[28].

Les premiers biographes indiens de Ramanujan en parlent comme d'un hindou rigoureusement orthodoxe, qui attribuait sa capacité de réflexion à sa déesse familiale, Namagiri Thayar, comptait sur elle pour l'inspirer dans son travail[2]:36 et affirmait avoir rêvé de gouttes de sang symbolisant son époux, Narasimha, avatar de Vishnou, après avoir reçu les visions de rouleaux de formules mathématiques complexes se déroulant sous ses yeux[2]:281. Selon ces biographes, Ramanujan disait souvent : « Une équation pour moi n'a aucune signification, à moins qu'elle ne représente une pensée de Dieu[29],[30]. »

Cependant, Hardy tenait à ce qu'on ne considère pas Ramanujan « comme un mystique dont les inspirations mathématiques proviendraient d'une mystérieuse et immémoriale sagesse orientale », le décrivant au contraire comme « un être humain rationnel qui se trouvait être un grand mathématicien »[6]:139 ; il cite (en insistant sur l'étonnement qu'elles lui ont causé) des remarques de Ramanujan qui montrent que toutes les religions « lui semblaient plus ou moins également vraies »[6]:140. Hardy en déduisait que la piété de Ramanujan avait été idéalisée par les Occidentaux et exagérée par ses biographes indiens ; il ne parlait pourtant là que de ses croyances et non de ses pratiques, se plaignant au contraire des conséquences regrettables de son observance stricte du végétarisme sur sa santé et peut-être sur son travail[6]:139.

Travaux mathématiques[modifier | modifier le code]

Apports théoriques[modifier | modifier le code]

Une page du carnet de Ramanujan où est énoncé son master theorem.

Les travaux de Ramanujan portent principalement sur divers aspects de la théorie des nombres (par exemple les nombres premiers de Ramanujan, les nombres hautement composés, les identités de Rogers-Ramanujan, ou encore l'étude détaillée, accomplie en collaboration avec Hardy, de la fonction donnant le nombre de partitions d'un entier), et plus particulièrement sur l'utilisation dans cette théorie de méthodes analytiques comme la méthode du cercle (qu'il a contribué à développer), ainsi que des fonctions elliptiques et modulaires, et des fonctions thêta[n 12] ; Paul Erdős considérait également qu'il était l'initiateur, en combinatoire, des méthodes probabilistes[31]. Il a fait par ailleurs des découvertes dans plusieurs autres domaines des mathématiques, comme en analyse avec la sommation de Ramanujan ou le « master theorem », ainsi que de fécondes conjectures, comme celles concernant la fonction tau.

Les formules de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Ramanujan est célèbre pour son extraordinaire productivité en matière de formules. Hardy a déclaré, faisant allusion à Leonhard Euler, lui aussi grand créateur de formules remarquables, qu'il « était né 150 ans trop tard »[22], et, concernant la lettre qu'il lui avait envoyée en 1913, que les formules qu'elles contenaient ne pouvaient qu'être justes, car « personne n'aurait eu une imagination suffisante pour les inventer et qu'elles soient fausses[32]. »

Répartis sur trois carnets, ainsi que dans un manuscrit redécouvert en 1976, et appelé le « cahier perdu », pour un total d'environ 600 pages, plusieurs milliers de ses résultats ont été analysés et désormais tous démontrés (parfois à l'aide d'outils informatiques)[n 13] : très peu sont faux (le plus souvent à la suite d'erreurs de copie) et les deux tiers sont originaux[33],[34],[35],[36]. Ramanujan ne disposant pas de certaines théories inconnues ou en cours de développement au début du vingtième siècle, comme la théorie analytique des nombres, et ignorant même des résultats fondamentaux de l'analyse complexe, comme le théorème des résidus[6]:145,[n 14], on ignore comment il a pu découvrir une telle quantité de formules et de théorèmes[33],[n 15]. Les sections suivantes donnent une idée de la variété de ces formules[n 16].

La lettre à Hardy[modifier | modifier le code]

La première lettre de Ramanujan à Hardy, datée du , est constituée essentiellement de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy en reconnut certains, mais d'autres lui « semblaient à peine croyables »[11]:494. Ainsi, au bas de la page 3, figure l'identité suivante :

valable pour 0 < a < b + 1/2, et où la fonction gamma Γ, due à Euler, généralise aux réels la factorielle (elle vérifie et pour les entiers). Ce résultat avait déjà été obtenu par Gustav Conrad Bauer en 1859, mais Hardy l'ignorait à l'époque.

Hardy a également été fort impressionné par certaines des séries infinies manipulées par Ramanujan, par exemple les deux suivantes :

dans lesquelles les coefficients sont en progression arithmétique (1, 5, 9, 13,… et 1, 9, 17, 25,…). Hardy put redémontrer ces résultats à l'aide de propriétés des séries hypergéométriques prolongeant les travaux d'Euler et de Gauss, mais il trouva néanmoins qu'ils étaient « beaucoup plus surprenants » que ceux de Gauss[2]:167.

Les théorèmes sur les fractions continues de la dernière page du manuscrit, tels que celui-ci (déjà démontré par Jacobi, et proche de résultats connus de Gauss) :

, où erf est la fonction d'erreur

laissèrent pour la plupart Hardy perplexe : il n'avait « jamais vu auparavant quoi que ce soit leur ressemblant même vaguement »[2]:168.

Fractions continues généralisées[modifier | modifier le code]

Deux exemples spectaculaires de la créativité de Ramanujan sont les formules suivantes :

|reliant e, π et le nombre d'or, (cette formule figurait dans sa première lettre à Hardy, et faisait partie de celles qui « ne ressemblaient à rien de ce qu'il connaissait »[6]:144,[n 17]),

et une autre mettant en jeu e et π[n 18] :

Cette seconde formule combine une série infinie et une fraction continue généralisée pour donner une relation entre les deux plus célèbres constantes des mathématiques.

Séries pour π[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Approximation de π.

Les frères Jonathan et Peter Borwein ont démontré en 1987 un ensemble de formules que Ramanujan avait découvertes en 1910 et qui figuraient dans son premier article publié en Angleterre (sans aucune démonstration, et avec seulement quelques vagues indications sur leur origine)[37],[38],[39], dont la plus surprenante (et d'ailleurs la plus efficace) est :

Cette formule fournit 8 décimales supplémentaires de 1/π à chaque nouveau terme de la série.

Hardy a fait remarquer que les résultats de Ramanujan cachent souvent des théories plus profondes qu'il n'y parait ; ainsi, le résultat précédent proviendrait de l'étude du « discriminant fondamental »[n 19] d = −4 × 58 = −232 de nombre de classes h(d) = 2 et serait lié à la « coïncidence numérique » (on a en effet 26390 = 5 × 7 × 13 × 58, 16 × 9801 = 3962 et 1103 = 19 × 58 + 1)[38].

Radicaux imbriqués[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Radical imbriqué.

Dans l'une de ses premières publications dans le Journal of the Indian Mathematical Society[2]:86, Ramanujan demandait de déterminer la valeur de radicaux imbriqués infinis tels que

 ; à la page 105 de son premier cahier, on trouve une formule plus générale :
, d'où on voit que la solution de la question du Journal est simplement r = 3[n 20].

Dans le « cahier perdu », on trouve d'autres formules plus spectaculaires encore, par exemple[40],[n 21]

(où la séquence des signes se reproduit périodiquement).

Autres identités algébriques[modifier | modifier le code]

Sa virtuosité dans la manipulation des nombres algébriques l'a amené à produire de surprenantes égalités telles que[41] :

, qu'il avait également proposé comme problème dans le Journal of the Indian Mathematical Society.

Dans un genre un peu différent, il découvrit également l'identité suivante, permettant de construire des exemples de sommes de trois cubes égales à un cube[42] :

 ;

cette égalité, qui généralise la curieuse coïncidence numérique 33 + 43 + 53 = 63 = 216 pour x = 1 et y = 0, est aisée à vérifier par un simple développement algébrique, mais semble difficile à obtenir sans disposer d'une théorie générale ; là encore, on ignore si Ramanujan en possédait une (la question pourrait avoir un rapport avec la théorie des nombres taxicab)[43].

Approximations numériques[modifier | modifier le code]

Article connexe : Nombre presque entier.
Une quadrature du cercle (approchée) publiée par Ramanujan dans le Journal of Indian Mathematical Society en 1913, exploitant la coïncidence [44].

Dans son premier article écrit à Cambridge[39], Ramanujan fournit d'étonnantes approximations numériques (en précisant l'erreur commise, mais avec très peu de justifications), telles que

près, c'est-à-dire avec 18 décimales exactes).

Il donne également dans le même article trois exemples de nombres « presque entiers » :

,
, et
.

Un phénomène analogue se produit pour les nombres de Heegner ; c'est ce qui a donné à Martin Gardner l'idée du poisson d'avril attribuant à Ramanujan la prédiction selon laquelle serait entier[45],[n 22] ; pour cette raison, ce dernier nombre est parfois connu sous le nom de constante de Ramanujan.

L'anecdote du taxi[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre taxicab.

Ramanujan faisait preuve d'une extraordinaire mémoire des nombres et de leurs propriétés. Hardy rapporte à ce sujet l'anecdote suivante, devenue célèbre[32],[46],[n 23] :

« Je me souviens que j'allais le voir une fois alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
— Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »

En effet, . Et Hardy conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes[n 24]) qu'il « donnait l'impression que chaque entier naturel était un de ses amis personnels »[47],[n 25],[n 26].

Reconnaissance posthume[modifier | modifier le code]

Ramanujan en 1919[n 27], frontispice du livre de Hardy, Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work.

Postérité mathématique[modifier | modifier le code]

Les articles et les manuscrits de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Cahiers de Ramanujan.

Après sa mort, Thirunarayanan, son plus jeune frère, réunit ses notes manuscrites (concernant entre autres les séries hypergéométriques et les fractions continues) et les publia[48], et sa femme, Janaki Ammal, fit don de l'ensemble de ses carnets et de ces notes à l'université de Madras ; le 30 août 1923, le secrétaire général de l'université, Francis Drewsbury, envoya la plus grande partie de ces documents (y compris probablement le « cahier perdu ») à Hardy[49]. Hardy écrivit en juin 1920 un article nécrologique dans Nature[11], et, l'année suivante, une nécrologie plus détaillée pour la London Mathematical Society ; il y affirmait, ce qui allait s'avérer prophétique, qu'il faudrait au moins vingt années pour qu'on mesure tout ce qu'avait apporté Ramanujan[24]. Il commença alors, en collaboration avec S. Aiyar et Bertram Martin Wilson, à réunir et à éditer ses textes publiés dans divers journaux indiens ou anglais ; l'ensemble (37 articles en tout) fut publié en 1927[22]. En 1937, Hardy écrivit pour The American Mathematical Monthly un article, The Indian mathematician Ramanujan[50], racontant les circonstances de leur rencontre et consacré surtout à ses travaux, puis donna une série de conférences sur ceux-ci en Angleterre et aux États-Unis, qu'il réunit dans un livre publié en 1940[51].

À une date indéterminée (après 1934), Hardy transmit probablement les carnets (et le cahier perdu) à George Neville Watson, qui, en collaboration avec Wilson commença à travailler sur un projet d'édition ; mais après la mort de Wilson en 1935, Watson semble s'être désintéressé de ce projet[52].

Après la mort de Watson en 1965, John Macnaghten Whittaker (le fils de son ami Edmund Whittaker) procéda à l'inspection de ses archives (avant leur incinération quelques jours plus tard) et découvrit le « cahier perdu », que lui et Rankin envoyèrent à la bibliothèque du Trinity College en décembre 1968. George Andrews en entendit parler par Lucy Joan Slater, et l'y découvrit au printemps de 1976, comme il devait en faire le récit en 2012, pour les célébrations du 150e anniversaire[53].

À partir de 1977 et pendant plus de vingt ans, Bruce Carl Berndt s'est consacré à l'édition commentée des carnets (appelés cahiers de Ramanujan), en cinq volumes totalisant plus de 1800 pages[54]. En tout, les trois carnets contiennent plus de 3000 « assertions »[n 28], le plus souvent sans aucune démonstration. Berndt et ses collaborateurs, notamment les mathématiciens George Andrews, Richard Askey et Robert Rankin, se sont attelés soit à les démontrer, soit à chercher des références dans la littérature existante. Berndt a également pu s'appuyer, dans son travail, sur les notes que Watson et Wilson avaient prises dans les années 1930 pour leur projet d'édition abandonné. Entre 2005 et 2018, il a publié une édition commentée analogue, en cinq autres volumes, des résultats du « cahier perdu »[54].

L'héritage mathématique de Ramanujan[modifier | modifier le code]

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Bandeau apposé par Dfeldmann (lui écrire) • avril 2018

Dès l'annonce de sa mort, Hardy avait déclaré : « Ce qu'il a réussi à faire [malgré ses handicaps] est déjà merveilleux... lorsque les recherches qu'ont inspiré ses travaux seront achevées, ceux-ci sembleront bien plus merveilleux encore. »[11]. Plusieurs des pistes ouvertes par Ramanujan furent explorées au cours des vingt années suivantes[n 29] ; Hardy décrivit certaines de ces avancées dans ses conférences de la fin des années 30, réunies dans un livre publié à Cambridge en 1940[55].

Cependant, vers la fin des années 50, les travaux de Ramanujan étaient tombé dans un oubli relatif[2]:341, et les carnets, publiés par le Tata Institute en 1957, mais difficilement déchiffrables, restèrent confidentiels jusqu'aux travaux de Bruce Carl Berndt au début des années 80[2]:342. Une importante avancée résulta cependant de travaux sur la conjecture de Ramanujan à partir de 1965, culminant dans la démonstration de la conjecture par Pierre Deligne en 1974 ; les idées de Ramanujan devaient donner naissance à de féconds développements (utilisant en particulier les nouveaux outils de la géométrie algébrique), rattachant cette conjecture apparemment très spécialisée à de nombreuses et importantes questions ouvertes, telles que le programme de Langlands[2]:344 ; de manière peut-être plus anecdotique, la conjecture a permis la construction explicite de certains graphes, auxquels on a justement donné le nom de graphes de Ramanujan[56].

Les travaux de Berndt, ainsi que la découverte du « cahier perdu », amenèrent à prendre conscience de ce que, comme le disait Freeman Dyson, « la plupart des conjectures de Ramanujan n'était pas seulement de jolies formules, mais avaient de la consistance et de la profondeur »[2]:346.

Autres hommages[modifier | modifier le code]

Photo du buste en bronze de Srinivasa Ramanujan dans le jardin du Musée industriel et technologique Birla.
Buste de Ramanujan, à Calcutta, dans le jardin du Musée industriel et technologique Birla.

En 1983, à la demande de Janaki Ammal, sa veuve, Richard Askey commissionna le sculpteur Paul Granlund pour la réalisation de bustes en bronze de Ramanujan (s'appuyant sur la photographie de son passeport). Une subvention permit de réaliser dix bustes[n 30] ; celui promis à Janaki se trouve à présent au Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics (le département de mathématiques de l'université de Madras, lequel porte d'ailleurs le nom de Ramanujan depuis 1950)[57].

Le Tamil Nadu, l'État où résidait Ramanujan, célèbre son anniversaire le 22 décembre comme State IT Day (Journée nationale de l'Industrie et de la Technologie) ; cet anniversaire est également célébré par le Government Arts College de Kumbakonam où il a fait ses études, ainsi que par le IIT Madras (en) de Chennai. En 2011, pour le 125e anniversaire de sa naissance, le gouvernement indien déclara que le 22 décembre serait désormais « Journée Nationale des Mathématiques »[58], et le premier ministre indien, Manmohan Singh, annonça de plus que 2012 serait pour cette raison Année nationale des mathématiques[59],[60].

Plusieurs institutions décernent des distinctions mathématiques en référence à Ramanujan. La Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy (en) (SASTRA) de l'université de Kumbakonam, décerne le prix SASTRA Ramanujan à un jeune mathématicien (de moins de 32 ans, l'âge de sa mort) ayant fait un travail remarquable dans les champs d'intérêt de Ramanujan : fractions continues, séries, théorie des nombres ; l'université a par ailleurs créé un centre Ramanujan, ainsi qu'un musée consacré à sa vie et à son œuvre. Le Centre international de physique théorique à Trieste décerne le prix ICTP Ramanujan pour les jeunes mathématiciens des pays en développement, en coopération avec l'Union mathématique internationale[61]. La Société mathématique indienne organise chaque année depuis 1990 une conférence commémorative « Srinivasa Ramanujan ».

Un timbre à l'effigie de Ramanujan fut émis par le gouvernement de l'Inde en 1962 (pour le 75e anniversaire de sa naissance) commémorant ses découvertes en théorie des nombres[62], timbre remis en circulation avec un nouveau design le 26 décembre 2011 par la Poste Indienne (en)[63],[64].

Dans la fiction[modifier | modifier le code]

Filmographie[modifier | modifier le code]

Œuvre de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Les articles publiés dans les journaux indiens et anglais ont été réunis par Godfrey Harold Hardy et ses collaborateurs :

Les photocopies des carnets de Ramanujan ont été publiées par le Tata Institute of Fundamental Research ; celles du « cahier perdu » (et d'autres documents épars) par Narosa Publishing House[n 31].

  • (en) S. Ramanujan, Notebooks (2 volumes), Bombay, Tata Institute of Fundamental Research, .
  • (en) S. Ramanujan, The Lost Notebook and Other Unpublished Papers, New Delhi, Narosa Publishing House, (ISBN 3-540-18726-X).

Les résultats des carnets, du cahier perdu et de la correspondance ont été analysés par Bruce Carl Berndt (en collaboration avec d'autres mathématiciens, en particulier George Andrews et Robert Rankin)[n 32]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Son nom complet, Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan, est en fait formé du nom de son père Srinivâsa, et de son nom de caste brahmane Aiyangâr ; il signe le plus souvent S. Ramanujan, et expliquait à ses amis anglais « qu'il n'avait pas de nom de famille » (Kanigel 1991, p. 11).
  2. Ce livre contient en réalité beaucoup d'autres formules d'analyse, par exemple sur les fonctions logarithmes et exponentielles (Hardy 1940).
  3. Il obtient en particulier des formules analogues aux formules d'Euler, mais, mortifié d'apprendre qu'elles sont déjà connues, ira cacher sous le toit de sa maison les papiers où il les a notées (Kanigel 1991, p. 50).
  4. Ce livre même, qui était encore exposé dans cette bibliothèque lorsque Berndt l'avait visitée, a été volé depuis, comme le raconte Ken Ono, qui espérait y trouver des notes marginales de Ramanujan (Ono 2006).
  5. Hardy, repris par de nombreux commentateurs, parle de 6165 résultats, mais en réalité, Berndt ne recense dans ce livre qu'un peu plus de 4000 théorèmes.
  6. Ses convictions religieuses sont heurtées par les dissections de grenouilles auxquelles on l'oblige (Kanigel 1991, p. 54).
  7. Les témoignages diffèrent sur ce mariage. Arrangé depuis déjà quelque temps, et symbolique jusqu'à la puberté de la jeune fille, il aurait failli être annulé, Ramanujan ne s'étant rendu chez ses beaux-parents que très tardivement. Cependant, une fois marié, il prit ses responsabilités de chef de famille très au sérieux, et après sa mort, sa veuve devait déployer une énergie sans faille pour que ses travaux et sa mémoire soient préservés.
  8. Il souffre d'un hydrocèle qui sera finalement opéré gratuitement en 1910  ; l'opération le laisse affaibli et anxieux (Kanigel 1991, p. 72 et 74-75).
  9. Bien que certaines des critiques de Hill soient judicieuses, Ramanujan devait se plaindre dans sa deuxième lettre à Hardy que Hill ait cru bon de lui conseiller un livre d'analyse élémentaire pour lui « éviter de tomber dans le piège des séries divergentes », comme si Ramanujan n'était pas capable de se rendre compte tout seul qu'écrire que n'avait aucun sens dans le langage usuel des sommes de séries ; on trouvera plus de détails dans l'article Somme de Ramanujan.
  10. Selon Hardy, il avait reçu la lettre au courrier du matin, y avait jeté un bref coup d'œil, estimé qu'il s'agissait d'une plaisanterie, et n'y avait plus pensé. Mais certaines des formules le hantèrent toute la journée ; il prit finalement contact avec Littlewood et ils s'isolèrent dans la soirée dans la bibliothèque de Cambridge, pour en ressortir au bout de deux heures et demi, « désormais certains qu'il s'agissait d'un homme de génie » (Hardy 1927).
  11. Hardy remarquera par la suite que ces erreurs proviennent du manque de maîtrise par Ramanujan des techniques modernes de l'analyse, mais, ajoutera-t-il, ces échecs sont en un sens plus spectaculaires encore que ses réussites (préface de l'édition de 1927, Ramanujan 1962) ; il reviendra sur cette remarque dans ses conférences à partir de 1937, observant que ces erreurs apparentes cachent souvent des résultats exacts plus profonds, qu'il faut découvrir (Hardy 1940).
  12. Il a en particulier découvert dans les dernières années de sa vie, et consigné dans le « cahier perdu », des résultats sur les « fausses fonctions thêta » qui n'étaient pas encore pleinement compris au début du XXIe siècle (Bleicher 2014).
  13. Ce travail de vérification, s'étalant sur plus de 25 ans, et achevé pour l'essentiel en 1996, est en grande partie dû à Bruce Carl Berndt, avec la collaboration de plusieurs autres mathématiciens, dont George Andrews et les frères Jonathan et Peter Borwein ; beaucoup de vérifications de routine ont pu être confiées à Mathematica, mais Berndt attire à plusieurs reprises l'attention sur l'extraordinaire puissance de calcul de Ramanujan, lui ayant permis de découvrir et de contrôler ces résultats sans aide.
  14. Bien qu’il ait contribué par exemple au développement de la méthode du cercle, son intuition l’a ainsi trompé dans l’étude de la répartition des nombres premiers : « Ramanujan agissait comme si les zéros complexes de la fonction zêta de Riemann n'existaient pas » (Hardy 1937, p. 155.
  15. Certaines déclarations de Ramanujan, attribuant par exemple ces formules à sa déesse titulaire (Kanigel 1991, p. 30), ont contribué à entretenir le mystère. Si Hardy a insisté pour qu'on ne voit là qu'une « extraordinaire puissance de manipulations formelles, de rapidité dans la formation et le rejet d'hypothèses, et d'intuition des relations cachées entre objets apparemment sans lien » (Hardy 1937, p. 149), Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines prédictions de Ramanujan, confirmées récemment par de pénibles calculs informatiques, et qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont Ramanujan disposait (Ono 2006, p. 649, Bleicher 2014, p. 55).
  16. On trouvera d'autres exemples avec les identités de Rogers-Ramanujan, l'estimation asymptotique de la fonction de partition, ou encore la conjecture de Ramanujan.
  17. C'est un cas particulier de la fraction continue généralisée , dont il a obtenu beaucoup de valeurs non triviales, liées aux identités de Rogers-Ramanujan (Hardy 1937, p. 148).
  18. Cette formule, qui figure dans le deuxième cahier de Ramanujan (B.C.Berndt, Ramanujan`s Notebooks Part II. Springer Verlag, New York, 1989.), est analysée dans cette discussion (en) sur le site math.stackexchange.com.
  19. Il s'agit du discriminant du corps quadratique réel , c'est-à-dire du discriminant de la forme quadratique  ; voir l'article anglais en:fundamental discriminant.
  20. Prendre et  ; montrer la convergence de ce radical infini n'est pas très difficile, mais obtenir le résultat de Ramanujan demande d'ingénieuses manipulations algébriques (voir une analyse plus précise dans l'article Radical imbriqué).
  21. Berndt fait remarquer qu'il n'est pas très difficile de démontrer ces formules (par exemple à l'aide d'un logiciel de calcul formel), mais que leur forme relativement simple pour ce choix précis de coefficients et de signes montre, sinon l'existence de théories profondes sous-jacentes, du moins la virtuosité de Ramanujan.
  22. De fait, ce nombre est lui aussi presque entier : eπ163 = 262537412640768743,99999999999925... Cependant, sans moyens informatiques, et sans utiliser les résultats théoriques liés à ces nombres (résultats que d'ailleurs Ramanujan connaissait et qu'il avait contribué à établir pour des nombres comme ), il est impossible d'obtenir une valeur approchée assez précise pour trancher la question. Le théorème de Gelfond-Schneider montre de toute façon que ce nombre, égal à , est nécessairement transcendant.
  23. On trouvera sur sci.math une discussion (en) de la possibilité de retrouver le taxi exact pris par Hardy ; une copie de ce taxi a d'ailleurs été réalisée pour les besoins du film L'Homme qui défiait l'infini.
  24. Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657 ; il a été découvert par Leonhard Euler vers 1770, mais ce n'est qu'en 1957 que John Leech démontra que c'était le plus petit.
  25. C'est à la suite de cette anecdote qu'on a défini un nombre taxicab (nom complet des taxis anglais de l'époque) comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes (d'autres nombres ayant cette propriété, comme , avaient déjà été trouvés au 17e siècle par Bernard Frénicle de Bessy).
  26. Bien que ce ne soit peut-être qu'une coïncidence, plusieurs mathématiciens ont fait remarquer que le nombre 1729 intervenait dans l'étude que Ramanujan avait fait de courbes elliptiques en relation avec une certaine surface K3 (voir (en) Ramanujan surprend encore, par Marianne Freiberger).
  27. Cette photographie, la meilleure parmi les rares que l'on possède de Ramanujan, provenant de son passeport, a été transmise à Hardy pour ce livre par sa veuve, Janaki Ammal, comme Chandrasekhar (grand admirateur de Ramanujan) le raconte dans ce livre de souvenirs.
  28. Le nombre exact n'est pas tout à fait clair, d'une part à cause de répétitions, d'autre part parce que certaines « formules » regroupent plusieurs résultats similaires.
  29. Il s'agit en particulier des identités de Rogers-Ramanujan, de ses travaux sur la fonction tau et des congruences de Ramanujan qu'il avait découvertes entre les partitions d'un entier.
  30. Lors d'une interview, en 1978, Janaki avait déclaré : « On m'avait promis d'ériger une statue en souvenir de mon mari. Où est-elle ? ». C'est en lisant cette interview que Richard Askey décida de faire réaliser ces bustes. Voir le récit du possesseur de la dernière copie en circulation (en).
  31. On trouvera des versions numérisées de ces photocopies sur ce site consacré aux écrits de Ramanujan (en).
  32. Certains de ces ouvrages peuvent être consultés sur le site de Simon Plouffe : voir par exemple le travail effectué sur les théorèmes des Cahiers.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Srinivasa Ramanujan » (voir la liste des auteurs).

  1. a et b (en) C'est ici qu'est né Ramanujan, article de The Hindu du 26 février 2013.
  2. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, aa, ab, ac, ad, ae, af, ag, ah, ai, aj et ak Kanigel 1991.
  3. Trois autres enfants naissent en 1889, 1891 et 1894, mais ne vivront que quelques mois (Berndt et Rankin 2001, « The Ramanujan Family Record », page 20 [lire en ligne]).
  4. (en) Pankaja Srinivasan, « The Nostalgia Formula », The Hindu,‎ (lire en ligne)
  5. L'édition que Ramanujan a utilisée était précisément intitulée : (en) George Shoobridge Carr, A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics: Containing Propositions, Formulæ, and Methods of Analysis, with Abridged Demonstrations. Supplemented by an Index to the Papers on Pure Mathematics which are to be Found in the Principal Journals and Transactions of Learned Societies, Both English and Foreign, of the Present Century, (lire en ligne).
  6. a, b, c, d, e, f et g Hardy 1937
  7. (en) Tucker McElroy, A to Z of Mathematicians, (ISBN 0-8160-5338-3), p. 221.
  8. (en) Janaki, sur le site de l'Institut des sciences mathématiques de Chennai.
  9. (en) P. V. Seshu Iyer, « The Late Mr. S. Ramanujan, B.A., F.R.S. », Journal of the Indian Mathematical Society, vol. 12, no 3,‎ , p. 83.
  10. (en) Lettre de M. J. M. Hill à C. L. T. Griffith (un de ses anciens étudiants lui ayant écrit au nom de Ramanujan), 28 novembre 1912 (P.K. Srinivasan, Ramanujan: An Inspiration, memorial vols., 1 and 2, Muthialpet High School, Madras, 1968).
  11. a, b, c, d, e, f et g (en) G. H. Hardy, « Obituary, S. Ramanujan », Nature, vol. 105, no 7,‎ (DOI 10.1038/105494a0, lire en ligne).
  12. « A man of genius », cité par C. P. Snow, dans la postface de Godfrey Harold Hardy, A Mathematician's Apology [« L'Apologie d'un mathématicien »], Belin, (ISBN 2-7011-0530-7).
  13. a et b « Sortie en DVD de l'incroyable histoire d'un génie des mathématiques », Science et Vie, mars 2017, p. 126-127.
  14. Titre du livre biographique de Robert Kanigel (Kanigel 1991).
  15. (en) Suresh Ram, Srinivasa Ramanujan, New Delhi, National Book Trust, , p. 29.
  16. Ranganathan 1967, p. 30–31
  17. (en) Eric Harold Neville, « Srinivasa Ramanujan », Nature, vol. 149, no 3776,‎ , p. 293 (DOI 10.1038/149292a0, Bibcode 1942Natur.149..292N).
  18. Hardy 1940, p. 10.
  19. (en) G. H. Hardy, Collected Papers of G. H. Hardy, vol. 7, Oxford, Oxford University Press, , 720 p..
  20. Bruce Carl Berndt tenait cette information de Paul Erdős ((en) B. C. Berndt, « Srinivasa Ramanujan », The American Scholar, no 58,‎ , p. 234-244).
  21. a et b (en) S. Ramanujan, « Highly composite numbers », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 14,‎ , p. 1347-409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, lire en ligne) ; retrouvé dans les cahiers de Ramanujan, le reste de l'article a été complété et commenté en 1997 par Jean-Louis Nicolas et Guy Robin dans le Ramanujan Journal ((en)lire en ligne).
  22. a, b et c Ramanujan 1962.
  23. (en) Ramanujan: Letters and Commentary, page 3.
  24. a et b Hardy 1921
  25. (en)Young, D. A. B. (1994). Ramanujan's illness. Notes and records of the Royal Society of London, 48(1), 107-119.
  26. a et b (en) Doug Peterson, « Raiders of the Lost Notebook », UIUC College of Liberal Arts and Sciences (consulté le 11 janvier 2014).
  27. (en) Gunn, J. W. C., & SAVAGE, B. (1919). Report on the Treatment of Entamoeba Histolytica Infections. Journal of the Royal Army Medical Corps, 33(5), 418-426.
  28. « Ramanujan's Personality », sur imsc.reste.in.
  29. (en) Shiyali Ramamrita Ranganathan, Ramanujan, the Man and the Mathematician, , p. 88
  30. Gregory Chaitin, « Less Proof, More Truth », New Scientist, no 2614,‎ , p. 49.
  31. (en) Paul Erdős, Ramanujan et moi.
  32. a et b Hardy 1985.
  33. a et b Édouard Thomas, « Les mystérieux carnets de Ramanujan enfin décryptés », Maths Société Express, Comité International des jeux mathématiques (www.cijm.org),‎ , p. 57 à 62.
  34. (en) Introduction au dernier volume de ces analyses, par Bruce Carl Berndt.
  35. (en) Bruce Carl Berndt, Ramanujan's Notebooks, Part 5, Springer, (ISBN 9780387949413, lire en ligne), p. 4.
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  37. (en) Les formules de Ramanujan pour .
  38. a et b (en) Jonathan et Peter Borwein, Pi and the AGM, Monographies et Études de la Société mathématique du Canada, 1987 [lire en ligne]
  39. a et b (en) S. Ramanujan, Modular equations and approximations to , Quart. J. Math. 45 (1914), p. 350-372.
  40. (en) Bruce C. Berndt , Ramanujan's Notebooks IV ,pp. 42-45.
  41. Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, vol. IV, p.39
  42. (en) Eric W. Weisstein, « Diophantine Equation — 3rd Powers », MathWorld.
  43. Hardy fait cependant remarquer que cette formule ne produit pas toutes les solutions de ce problème, et semble la considérer plus anecdotique que profonde (Hardy 1937, p. 146).
  44. Voir l'article sur Wikisource (en).
  45. (en) Martin Gardner, « Mathematical Games », Scientific American, vol. 23,‎ , p. 127.
  46. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Quotations by G H Hardy », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..
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  48. (en) Arun Janardhanan, « A passage to infinity », Indian Express,‎ (lire en ligne).
  49. (en) George Andrews et Bruce Carl Berndt, Ramanujan's Lost Notebook, Part 1, Springer, (ISBN 9780387255293, lire en ligne), p. 1.
  50. Hardy 1937.
  51. Hardy 1940.
  52. (en) Berndt, Bruce C., « An overview of Ramanujan's notebooks », sur math.uiuc.edu/~berndt/articles/aachen.pdf, p. 3.
  53. (en) George E. Andrews, « The Discovery of Ramanujan's Lost Notebook », The Legacy of Srinivasa Ramanujan: Proceedings of an International Conference in Celebration of the 125th Anniversary of Ramanujan’s Birth: University of Delhi,‎ , p. 17–22 (lire en ligne).
  54. a et b Voir plus bas le détail des éditions
  55. Hardy 1940
  56. (en) M. Ram Murty, « Ramanujan Graphs », J. Ramanujan Math. Soc., vol. 18, no 1,‎ , p. 1-20 (lire en ligne)
  57. (en) « Historique du département de mathématiques de l'université », université de Madras (consulté le 6 avril 2018).
  58. (en) « Singh's first visit to the state », India, CNN IBN, .
  59. (en) « Welcome 2012 – The National Mathematical Year in India », India.
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  61. (en) Alladi, Krishnaswami (2012), "Niels Henrik Abel: Norwegian Mathematical Genius", Ramanujan's Place in the World of Mathematics: Essays Providing a Comparative Study, Springer, pp. 81–88, doi:10.1007/978-81-322-0767-2_13, (ISBN 9788132207672).
  62. (en) « Stamps released in 1962 », Indian Postage Stamps (consulté le 22 mai 2012).
  63. (en) « Stamps 2011 », India Post (consulté le 22 mai 2012).
  64. (en) « India Post Issued a Commemorative Stamp on S Ramanujan », Phila Mirror, (consulté le 22 mai 2012).
  65. (en) IMDb sur l’Internet Movie Database
  66. (en) IMDb sur l’Internet Movie Database
  67. L'homme qui défiait l'infini, sortie directe (en France) en Blu-Ray et DVD.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]