Équivalent

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En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Les opérations sur les équivalents sont un outil de calcul.

L'équivalence pour les suites[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient et deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que est équivalente à , et on note , si la suite est négligeable devant la suite .

En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit : , et se traduit par l'existence d'une suite qui tend vers zéro et vérifie à partir d'un certain rang.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un équivalent de la somme partielle d'ordre de la série harmonique est
  • Un équivalent célèbre est donné par la formule de Stirling :
  • Soit π la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Le théorème des nombres premiers affirme que

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Dans le cas particulier où la suite ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :
  • En particulier si est une constante non nulle :
converge vers si et seulement si elle est équivalente à la suite constante égale à .
  • La relation « être équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. complexes) qui sont non nulles à partir d'un certain rang.

L'équivalence pour les fonctions[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans K = ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel ou +∞ ou –∞).

On dit que f est équivalente à g en a, et on note (ou simplement lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction définie sur un voisinage V de a telle que :

Exemple[modifier | modifier le code]

Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Dans le cas particulier où g est non nulle au voisinage de a, on a :
  • En particulier, si est un élément non nul de K :
  • La relation est une relation d'équivalence.
  • Si f et g sont à valeurs réelles et si elles sont équivalentes en a, alors
    • elles ont même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a,
    • si alors (et de même avec ).
  • En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation « être équivalent à ». Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

Remarques[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Comparaison asymptotique