Nombre p-adique

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, si p est un nombre premier, un nombre p-adique est un objet qui peut se concevoir comme une suite de chiffres en base p, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule). Avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels, l'ensemble des nombres p-adiques forme un corps commutatif noté . Un nombre 2-adique est appelé « dyadique » mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique. Un nombre 3-adique est appelé « triadique ».

Chaque corps des nombres p-adiques est construit par complétion du corps des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une valeur absolue nommée valeur absolue p-adique. Cette construction s'apparente à celle du corps des nombres réels par complétion du corps des rationnels suivant la valeur absolue usuelle.

La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue p-adique sur le corps est une valeur absolue non-archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.

Construction[modifier | modifier le code]

Approche analytique[modifier | modifier le code]

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne.

Pour un nombre premier donné p, on définit la valeur absolue p-adique sur comme suit :

on appelle valuation p-adique d'un entier a non nul (et l'on note ) l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers.
on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel non nul en posant :
.
On prouve aisément que cette définition est indépendante du représentant du rationnel choisi.
La valeur absolue p-adique d'un rationnel non nul vaut .

Cette valeur absolue est dite normalisée ; on pourrait prendre pour tout réel positif , on obtiendrait une valeur absolue équivalente (même topologie).

L'avantage de la normalisation précédente est la « formule du produit » pour tout rationnel non nul, où est la valeur absolue usuelle sur . Cette formule montre que les valeurs absolues sur (à équivalence près) ne sont pas indépendantes.

Si r est nul, on pose . Ce prolongement est compatible avec l'idée que 0 est divisible par pour toute valeur de k, donc que la valuation de 0 serait infinie.

En quelque sorte, plus est divisible par p, plus sa valeur absolue p-adique est petite (c'est un cas particulier de valuation discrète, un outil algébrique).

Par exemple, pour  :

pour tout autre nombre premier.

On démontre que cette application a toutes les propriétés d'une valeur absolue. On peut montrer que toute valeur absolue (non-triviale) sur est équivalente soit à la valeur absolue euclidienne, soit à une valeur absolue p-adique (théorème d'Ostrowski). Une valeur absolue p-adique définit une métrique sur en posant :

Le corps des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (, ). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient .

Cette construction permet de comprendre pourquoi est un analogue arithmétique de .

Quelques différences entre et . Outre le fait que, par construction, et sont des espaces métriques complets, il faut avoir noté que le monde p-adique se comporte de façon très différente du monde réel et ceci commence par le fait que la distance est ultramétrique au sens où :

pour tous dans . Ceci a pour conséquences, entre autres, que :

  • tout triangle est isocèle,
  • toute boule est centrée en n'importe lequel de ses points,
  • deux boules sont soit incluses l'une dans l'autre, soit disjointes,
  • dans , la suite tend vers 0,
  • si dans une suite converge vers un élément non nul, alors est constante à partir d'un certain rang,
  • une suite est de Cauchy si et seulement si ,
  • une série converge si et seulement si ,
  • la suite , pour n tendant vers , tend vers 0 dans et , mais vers l'infini dans  ; dans les autres , elle ne converge pas,
  • etc.

Approche algébrique[modifier | modifier le code]

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau commutatif des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On définit l'anneau des entiers p-adiques comme la limite projective des anneaux . Un entier p-adique est alors une suite telle que pour tout n ≥ 1 :

(congruence modulo ).

Par exemple, en tant que nombre 2-adique serait la suite .

Explication : qu'on peut écrire aussi

La suite s'obtient en faisant les sommes cumulées des (où ) :

,

,

,

,

,

, etc.

On a bien, pour tout n ≥ 1 : et puisque .


L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite dont le premier élément n'est pas nul a un inverse.

L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On montre facilement que s'obtient en ajoutant l'élément à l'anneau , ce qu'on note (anneau engendré par et , donnant les expressions polynomiales en ) : . Ceci vient du fait que p est l'unique nombre premier de l'anneau (anneau local).

L'équivalent, pour le passage de à son corps des fractions , serait de rajouter tous les inverses des nombres premiers q de (en nombre infini) : (ceci est lié au procédé de décomposition en éléments simples, comme ) ; mais par exemple l'ensemble des nombres décimaux (que l'on note dans les classes élémentaires) est l'anneau , obtenu en ajoutant à  ; on dit qu'on a "rendu 10 inversible" dans ou encore qu'on a "localisé" en 10. Ne pas confondre avec la représentation décimale usuelle (unique), car par exemple, s'écrit .

Décomposition canonique de Hensel[modifier | modifier le code]

Soit p un nombre premier. Tout élément non nul de (et en particulier tout élément de ) s'écrit de manière unique sous la forme :

et les sont des nombres entiers compris entre et , étant non nul. Cette écriture est la décomposition canonique de comme nombre p-adique.

Cette série est convergente suivant la métrique p-adique.

On note l'ensemble des éléments de tels que et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques. est un sous-anneau de . On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de , eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.

Par exemple, avec  :

  • (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
  •  : on peut vérifier que, puisque , ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0. Une autre façon d'arriver à ce résultat est de considérer la relation donc par simplification ; cet argument, évidemment, suppose que la notation ait un sens, c'est-à-dire que la série soit convergente (ce qui est le cas pour la métrique 2-adique) ; on se reportera à l'article série divergente pour l'analyse d'autres calculs de ce genre.
  •  : en multipliant ce résultat par , on retrouve 1. On remarque que est un entier 2-adique (i.e. ), mais on le savait déjà en regardant sa valuation : .
  • représente un élément de (et même de ) qui n'est pas dans .
  • Le polynôme se factorise dans sous la forme avec et , alors qu'il est irréductible dans ou . On a et .

Un autre exemple, avec  :

2 n'a pas de racine carrée dans mais en possède deux dans , à savoir : et son opposé :


Comment calculer dans

  • L'addition est tout à fait similaire à celle de , avec le même système de retenues :

Exemple : dans


  • La multiplication se fait de façon analogue :

Exemple : dans


  • La division de deux entiers dans .

Exemple 1 : Écrivons dans . Remarquons tout d'abord que car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi avec .

3 est inversible modulo 7 puisque . Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante :

d'où :

et à ce stade on a :

Continuons et multiplions par -2 :

et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 :

d'où :

et on observe une périodicité puisqu'on retombe sur .

Au bilan : c'est-à-dire : d'où l'écriture 7-adique :


Exemple 2 : Écrivons dans . Remarquons tout d'abord que car sa valuation 7-adique est -1 : ce sera donc un nombre 7-adique "à virgule".

On écrit :

Or on sait que donc en multipliant par 4 :

Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Non-dénombrabilité[modifier | modifier le code]

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable. Plus précisément, il a la puissance du continu, car la décomposition de Hensel ci-dessus implique qu'il est équipotent à .

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment donc un corps de caractéristique nulle.

Un nombre positif est rationnel si, et seulement si, son développement p-adique est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire, s'il existe 2 entiers et tel que (La suite représentant le développement p-adique du nombre )

Il n'est pas possible d'en faire un corps totalement ordonné, puisque le lemme de Hensel permet de montrer que dans , -7 est un carré et que pour p > 2, -(p-1) est un carré dans

Topologie[modifier | modifier le code]

La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor ; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les ensembles d'entiers et de nombres p-adiques sont complets.

Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. En revanche, la clôture algébrique des nombres p-adiques est de degré infini : les corps ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée le corps de Tate (noté ou ) et elle est algébriquement close.

Ce corps est, en supposant l'axiome du choix, algébriquement isomorphe au corps des nombres complexes (mais il est muni d'une métrique exotique). Inversement, la non-existence d'un plongement de dans est compatible avec la théorie des ensembles sans l'axiome du choix[réf. souhaitée].

Les nombres p-adiques contiennent le n-ième corps cyclotomique si et seulement si n divise p – 1. Par exemple, les 1er, 2e, 3e, 4e, 6e et 12e corps cyclotomiques sont des sous-corps de .

Le nombre e (défini par la série ) n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant, ep (défini par la série ) est un nombre p-adique (sauf si p = 2, mais e4 est un nombre 2-adique), aussi e, défini comme une racine p-ième de ep, est un élément de la clôture algébrique de n'importe quel corps p-adique ; ainsi quel que soit p, e appartient à .

Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction

possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas constante localement en 0.

Si l'on se donne les éléments respectivement membres de , il est possible de trouver une suite de telle que la limite des dans soit et, pour tout p premier, elle soit dans .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Fernando Q. Gouvêa (de), p-adic Numbers: An Introduction [détail de l’édition]
    Très clair, accessible à un étudiant de 3e année. Construction(s) motivée(s) des nombres p-adiques, analyse élémentaire, extensions finies de , analyse sur . Nombreux exercices corrigés.
  • Ouvrage collectif, Leçons de Mathématiques d'aujourd'hui, volume 2, Cassini, 2003
    L'article concernant les nombres p-adiques est écrit par Jean-Marc Fontaine.
  • (en) H.-D. Ebbinghaus et al., Numbers, Springer, 1991
  • Nicole Berline et Claude Sabbah, La Fonction zêta, Éditions de l'École polytechnique, 2003
    On y parle des nombres p-adiques, de , d'espaces de Banach p-adiques, de mesures et de distributions sur , et bien sûr de la fonction zêta p-adique .
  • Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique, 2009
    On y parle des nombres p-adiques, d'espaces de Banach p-adiques, de fonctions d'une variable p-adique, et de la fonction zêta p-adique .
  • Paulo Ribenboim, L'Arithmétique des corps, Hermann, 1972
    Dans le chapitre 4 consacré aux nombres p-adiques, on parle aussi des corps henséliens, ce qui permet de montrer que et ne sont pas isomorphes si p et q sont distincts.
  • Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
    La première partie établit la classification des formes quadratiques sur  : deux telles formes sont équivalentes si et seulement si elles le sont sur tous les et sur (souvent considéré comme étant un «  »).
  • Yvette Amice, Les Nombres p-adiques, Presses universitaires de France, 1975
    Une introduction élémentaire aux nombres p-adiques. Les prérequis sont la connaissance de l'arithmétique modulaire, et un peu d'analyse complexe d'une variable. L'ouvrage passe en revue les entiers et les nombres p-adiques, les corps de valuation discrète, les corps valués complets, les espaces de Banach et les fonctions analytiques p-adiques, et se termine avec des critères de rationalité de séries formelles. Un ouvrage accessible écrit par une spécialiste de l'analyse p-adique.