Nombre normal

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En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel tel que, quelle que soit la base de numération choisie pour l'écrire, en recherchant une séquence finie de chiffres très loin dans son développement, on a autant de chance de la trouver que n'importe laquelle des séquences de même longueur[1]. Émile Borel les a nommés ainsi parce qu'il a démontré que presque tout réel possède cette propriété.

Définitions[modifier | modifier le code]

Notons l'ensemble des chiffres en base b, et soit x un nombre réel. Si s est une suite finie d'éléments de A, notons N(s, n) le nombre d'apparitions de la suite s parmi les n premiers chiffres après la virgule du développement propre de x en base b. Le nombre x est dit :

  • simplement normal (ou parfois équiréparti[2]) en base b si
    [1],[3] ;
  • normal en base b s'il est simplement normal en base bk pour tout entier k > 0[4], ce qui équivaut à :
    [5][6] ;
  • normal (ou quelquefois absolument normal) s'il est normal dans toute base, ce qui équivaut à : simplement normal dans toute base.

Théorème du nombre normal[modifier | modifier le code]

Le concept de nombre normal fut introduit par Émile Borel en 1909[7]. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontra le « théorème du nombre normal » : presque tous les nombres réels sont normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue).

Théorème — Dans , presque tout nombre (au sens de la mesure de Lebesgue) est (absolument) normal.

Propriétés et exemples[modifier | modifier le code]

Un nombre rationnel (donc de développement périodique en toute base) est simplement normal en base b si et seulement si la longueur p de sa période dans cette base est un multiple de b et chaque chiffre de 0 à b – 1 apparaît p/b fois dans cette période[2]. Il n'est donc jamais normal en base b. Par exemple, le rationnel dont le développement décimal s'écrit 0,12345678901234567890… est simplement normal en base dix[2] mais pas en base cent.

L'ensemble des nombres simplement normaux en base b est maigre[9]. A fortiori, l'ensemble des nombres normaux en base b est maigre (alors que le sur-ensemble des nombres univers en base b est comaigre).

Le nombre de Champernowne , qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels, est normal en base dix[10], de même que celui de Copeland-Erdős , obtenu en concaténant les nombres premiers[11], mais il n'est pas démontré qu'ils le soient dans d'autres bases.

Un nombre peut en effet être normal dans une base mais pas dans une autre, par exemple

est normal en base 2[12] mais pas en base 6[13]. Plus généralement, pour deux bases b et c dans {2, 3, 4, … }, les nombres normaux sont les mêmes si et seulement si les entiers b et c sont « équivalents » au sens « puissance rationnelle l'un de l'autre »[14], tandis que si deux parties complémentaires R et S de {2, 3, 4, … } sont fermées pour cette relation d'équivalence, alors l'ensemble des nombres qui sont normaux dans toute base de R et anormaux dans toute base de S a la puissance du continu[15].

En particulier (cas S = ∅) l'ensemble des nombres normaux a la puissance du continu (ce qui se déduisait déjà du théorème de Borel), de même que (cas R = ∅) l'ensemble des réels qui ne sont normaux dans aucune base.

Le théorème des nombres normaux établit l'existence des nombres normaux, mais n'en construit explicitement aucun. Cependant, Henri Lebesgue et Wacław Sierpiński[16] ont, indépendamment, repris la preuve de Borel et l'ont exprimée sous une « forme constructive[1] » qui permet de définir explicitement un nombre normal, mais peut-être non calculable[1]. Il existe beaucoup de nombres normaux non calculables (par exemple tous les réels au développement numérique aléatoire, comme la constante de Chaitin Ω), mais il existe aussi des nombres normaux calculables[17].

Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité de nombres pourtant simples. Par exemple, on ne sait pas si 2, π, ln(2) ou e sont normaux (mais des expériences numériques font conjecturer qu'ils le sont[18]). On ne sait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de ces constantes. Émile Borel a conjecturé en 1950[19] que tout irrationnel algébrique est normal ; on ne connaît pas de contre-exemple, mais on ne connaît même pas non plus de nombre algébrique qui soit normal dans une base.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal number » (voir la liste des auteurs).

  1. a, b, c et d Jean-Paul Delahaye, « Être normal ? Pas si facile ! », Pour la science, no 422,‎ , p. 126-131 (lire en ligne).
  2. a, b et c J.-P. Marco et L. Lazzarini, Mathématiques L1, Pearson, (lire en ligne), p. 634 (présenté seulement pour la base dix).
  3. É. Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 27,‎ , p. 247-271 (p. 260).
  4. Borel 1909 (repris dans Hardy et Wright, § 9.12) exigeait de plus que bx, b2x, b3xetc. soient simplement normaux en base bk (on peut évidemment arrêter le « etc. » à bk–1x), mais cette condition était redondante, comme l'a démontré (en) S. S. Pillai (en), « On normal numbers », Proc. Indian Acad. Sci. A, vol. 12,‎ , p. 179-184 (lire en ligne), pour répondre à une objection d'un reviewer sur sa preuve simple du théorème de Champernowne. Cette preuve venait démentir le commentaire de Hardy et Wright sur ce théorème : « the proof […] is more troublesome than might be expected. » (dernière phrase du chap. 9).
  5. Ak est l'ensemble des suites de longueur k d'éléments de A.
  6. C'est cette définition, désormais classique, qui est choisie par Niven 1956, p. 95 et reprise par Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 550. Niven 1956, p. 104-110, démontre en effet qu'elle s'intercale dans l'implication démontrée par Pillai entre sa définition allégée et celle de Borel (cf. note précédente).
  7. Borel 1909.
  8. Même (cf. Niven 1956, p. 103-104 ou Hardy et Wright Hardy et Wright, début du § 9.13) avec la définition redondante de Borel, selon laquelle un réel x est normal si pour toute base b et tous j ≥ 0 et k ≥ 1, le nombre bjx est simplement normal en base bk.
  9. Le résultat de Tibor Šalát (en) (1966), plus précis, est énoncé p. 233 de Martine Queffélec, « Old and new results on normality », dans Dee Denteneer, Frank den Hollander et Evgeny Verbitskiy, Dynamics & Stochastics: Festschrift in Honour of M. S. Keane, IMS, (lire en ligne), p. 225-236.
  10. Kuipers et Niederreiter 2012, p. 8 et 75 ; Niven 1956, p. 112-115 ; plus généralement, si f est un polynôme qui envoie tout entier > 0 sur un entier > 0, alors le réel formé (en base dix par exemple) en concaténant les entiers f(1), f(2), … est normal dans cette base : (en) H. Davenport et P. Erdős, « Note on normal decimals », Canadian J. Math., vol. 4,‎ , p. 58-63 (lire en ligne).
  11. (en) Arthur H. Copeland et Paul Erdős, « Note on normal numbers », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 52,‎ , p. 857-860 (lire en ligne) ; cet article démontre que ce résultat est vrai pour toute suite d'entiers suffisamment dense.
  12. (en) David H. Bailey et Michał Misiurewicz (de), « A strong hot spot theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 134,‎ , p. 2495-2501.
  13. (en) D. H. Bailey, « A non-normality result », .
  14. (en) Wolfgang M. Schmidt (en), « On normal numbers », Pacific J. Math., vol. 10,‎ , p. 661-672 (lire en ligne).
  15. (de) Wolfgang M. Schmidt, « Über die Normalität von Zahlen zu verschiedenen Basen », Acta Arithmetica, vol. 7, no 3,‎ , p. 299-309 (lire en ligne).
  16. W. Sierpiński, « Démonstration élémentaire du théorème de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d'un tel nombre », Bull. Soc. Math. France, vol. 45, 1917, p. 125-132 [lire en ligne] ;
    H. Lebesgue, « Sur certaines démonstrations d'existence », même vol. (mais écrit en 1909), p. 132-144 [lire en ligne].
  17. (en) Verónica Becher et Santiago Figueira, « An example of a computable absolutely normal number », Theoret. Comput. Sci., vol. 270, 2002, p. 947-958.
  18. (en) David H. Bailey et Richard Crandall (en), « On the Random Character of Fundamental Constant Expansions », Exp. Math., vol. 10,‎ , p. 175-190 (lire en ligne).
  19. (en) Davar Khoshnevisan, « Normal Numbers are Normal », CMI Annual Report,‎ , p. 15, 27-31 (lire en ligne).

Bibliographie[modifier | modifier le code]