Nombre multicomplexe (Fleury)

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En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ*) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur . Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un élément e[note 1] tel que en = −1 et tel que (1,e,e2,…,en−1) soit une famille libre : 𝓜ℂn est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille[note 2],[1],[2].

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

  • Chaque algèbre 𝓜ℂn est un cas particulier d’algèbre de Clifford généralisée (en)[3].
  • Comme en+1 = 0, chaque algèbre 𝓜ℂn est canoniquement isomorphe à l’algèbre quotient (en) ℝ[X]/Xn+1.
  • Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : [4].

Sommes directes et produits tensoriels[modifier | modifier le code]

  • Chaque algèbre 𝓜ℂn est isomorphe à une somme directe[note 3] impliquant et [5] :
    • si n est pair :
    • si n est impair :
    • ce que l’on peut écrire de manière compacte : 𝓜ℂn ≅ ℝn mod 2 × ℂn/2⌋.
  • Il s’ensuit immédiatement que :
    • si m et n ne sont pas simultanément impairs, 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n ;
    • si m et n sont simultanément impairs, 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n−2[note 5].
  • En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres par rapport à la somme directe et l’isomorphisme[note 6] 𝓜ℂ4 ≅ ℂ ⊗, on démontre alors aisément que 𝓜ℂm 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂmn.

Isomorphisme avec n[modifier | modifier le code]

  • 𝓜ℂ2nn.

Sous-algèbres[modifier | modifier le code]

  • 𝓜ℂn−1 ⊂ 𝓜ℂn.
  • n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂn.
  • D’où ⌊(n+1)/4⌋ ⊂ 𝓜ℂn.
  • n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂn.

Cas particulier : 𝓜ℂ3[modifier | modifier le code]

Au XIXe siècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre 𝓜ℂ3[6] ou l’un de ses isomorphes triviaux[7],[note 7].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 180, no 2,‎ , p. 431–457 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1993.1410, lire en ligne [PDF])
  • (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 191, no 1,‎ , p. 118–136 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1995.1123, lire en ligne [PDF])
  • Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤn, Applications en Théorie des Champs (habilitation à diriger des recherches), Strasbourg, Université Louis Pasteur, (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20–29
  • (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions, (arXiv math/0008120)[note 8]
  • (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system, (arXiv 1509.01459)

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. À ne pas confondre avec la constante de Néper.
  2. Cette famille libre constitue donc, par définition, une base de l’algèbre hypercomplexe générée.
  3. Le nombre de facteurs étant fini, la somme directe est équivalente au produit direct ×.
  4. Le cas n impair donné dans ce document est erroné.
  5. désigne les nombres complexes déployés, lesquels sont isomorphes à ℝ ⊕ ℝ.
  6. Non démontré ici.
  7. Par simple changement de base (1,h,k) = (1,−e,e2).
  8. L’auteur nomme « nombres tricomplexes » l’isomorphisme de 𝓜ℂ3 qu’il étudie, mais ils ne doivent pas êtres confondus avec les « nombres tricomplexes » désignant historiquement 3.

Références[modifier | modifier le code]