Nombre multicomplexe (Segre)

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En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension 2n sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

Définition[modifier | modifier le code]

Par récurrence[modifier | modifier le code]

Les algèbres multicomplexes ℂn se construisent par récurrence, en posant 0 = ℝ comme initialisation. En supposant l’algèbre n−1|n ≥ 1 déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire in ∉ ℂn−1 vérifiant i2n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires i1, …, in−1 : on définit alors n = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12}.

Directe[modifier | modifier le code]

Pour n ≥ 1, 1 et in commutent avec tout nombre de ℂn−1, et Vect(1,in) ∉ ℂn−1 (car in ∉ ℂn−1). La relation n = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12} peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres n = ℂn−1 Vect(1,in). En outre, puisque i2n = −1, on a Vect(1,in) ≅ ℂ, d’où n = ℂn−1. ℝ étant l’élément neutre de ⊗, et donc son produit vide, on a donc :

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

  • Le nombre de composantes doublant à chaque rang n et 0 = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂn est de dimension 2n sur ℝ.
  • Chaque ℂn est une algèbre de Banach.
  • Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂn possède des diviseurs de zéro :
    • pour ab, on a ia−ib ≠ 0, ia+ib ≠ 0 et (ia−ib)(ia+ib) = i2a−i2b = 0 ;
    • pour ab, on a iaib−1 ≠ 0, iaib+1 ≠ 0 et (iaib−1)(iaib+1) = i2ai2b−1 = 0.

Sous-algèbres[modifier | modifier le code]

  • Pour n ≥ 1, ℂ0, …, ℂn−1 sont des sous-algèbres de ℂn.
  • Pour kn, ℂn est de dimension 2nk sur ℂk.
  • Pour n ≥ 1, chaque unité ik vérifie i2k = −1, donc ℂn contient n copies du plan complexe.
  • Pour n ≥ 2 et ab, chaque nombre ja,b = iaib = ibia vérifie ja,b2 = 1, donc ℂn contient n(n−1)/2 copies du plan des complexes déployés.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Les cas n ≤ 3 ont des noms consacrés :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
  • (en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.