Octonion déployé

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En mathématiques, les octonions déployés ou octonions fendus sont une extension non associative des quaternions (ou des coquaternions). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions déployés ont une signature mixte (4,4) alors que les octonions ont une signature définie positive (8,0).

Définition[modifier | modifier le code]

La construction de Cayley-Dickson[modifier | modifier le code]

Les octonions et les octonions déployés peuvent être obtenus par la construction de Cayley-Dickson (en) en définissant une multiplication sur les paires de quaternions. Nous introduisons une nouvelle unité imaginaire ℓ et nous écrivons une paire de quaternions (a, b) sous la forme a + ℓb. Le produit est défini par la règle suivante :

(a + \ell b)(c + \ell d) = (ac + \lambda d\bar b) + \ell(\bar a d + c b)

\lambda = \ell^2.

Si \lambda\, est choisi égal à - 1, nous obtenons les octonions. Si, à la place, il est choisi égal à + 1, nous obtenons les octonions déployés. On peut aussi obtenir les octonions déployés via un doublement de Cayley-Dickson des coquaternions. Ici, quel que soit le choix de \lambda\, (±1), cela donnera les octonions déployés. Voir aussi les nombres complexes déployés en général.

La table de multiplication[modifier | modifier le code]

Une base pour les octonions déployés est donnée par l'ensemble {1, i, j, k, ℓ, ℓi, ℓj, ℓk}. Chaque octonion déployé x peut être écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la base,

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,\ell + x_5\,\ell i + x_6\,\ell j + x_7\,\ell k,

avec des coefficients réels xa. Par linéarité, la multiplication des octonions déployés est complètement déterminée par la table de multiplication suivante :

1\, i\, j\, k\, \ell\, \ell i\, \ell j\, \ell k\,
i\, -1\, k\, -j\, -\ell i\, \ell\, -\ell k\, \ell j\,
j\, -k\, -1\, i\, -\ell j\, \ell k\, \ell\, -\ell i\,
k\, j\, -i\, -1\, -\ell k\, -\ell j\, \ell i\, \ell\,
\ell\, \ell i\, \ell j\, \ell k\, 1\, i\, j\, k\,
\ell i\, -\ell\, -\ell k\, \ell j\, -i\, 1\, k\, -j\,
\ell j\, \ell k\, -\ell\, -\ell i\, -j\, -k\, 1\, i\,
\ell k\, -\ell j\, \ell i\, -\ell\, -k\, j\, -i\, 1\,

Le conjugué, la norme et l'inverse[modifier | modifier le code]

Le conjugué d'un octonion déployé x est donné par

\bar x = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,\ell - x_5\,\ell i - x_6\,\ell j - x_7\,\ell k

comme pour les octonions. La forme quadratique (ou norme carrée) sur x est donnée par

N(x) = \bar x x = (x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - (x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2)

Cette norme est la norme pseudo-euclidienne standard sur \mathbb{R}^{4,4}\,. En raison de la signature de fente, la norme N est isotropique, ce qui signifie qu'il existe des éléments x différents de zéro pour lesquels N(x) = 0. Un élément x possède un inverse (à deux faces) x^{-1}\, si et seulement si N(x) ≠ 0. Dans ce cas, l'inverse est donné par

x^{-1} = \frac{\bar x}{N(x)}\,.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les octonions déployés, comme les octonions, ne sont pas commutatifs ni associatifs. Comme les octonions, aussi, ils forment une algèbre de composition puisque la forme quadratique N est multiplicative. C’est-à-dire,

N(xy) = N(x)N(y)\,.

Les octonions déployés satisfont les identités de Moufang (en) et ainsi forment une algèbre alternative. Par conséquent, par un théorème d'Artin, la sous-algèbre engendrée par deux éléments quelconques est associative. L'ensemble de tous les éléments inversibles (i.e. ces éléments pour lesquels N(x) ≠ 0) forment une boucle de Moufang.

Les octonions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Les octonions déployés sont de manière calculatoire, équivalents aux octonions hyperboliques.

Les octonions déployés en physiques[modifier | modifier le code]

Les octonions déployés sont utilisés dans la description d'une loi physique, e.g. en théorie des cordes. L'équation de Dirac en physique (l'équation de mouvement d'une particule de spin libre 1/2, comme un électron ou un proton) peut être exprimée avec l'arithmétique des octonions déployés (voir les références ci-dessous).

Algèbre matricielle-vectorielle de Zorn[modifier | modifier le code]

Puisque les octonions déployés ne sont pas associatifs, ils ne peuvent pas être représentés par les matrices ordinaires (la multiplication matricielle est toujours associative). Zorn a trouvé une manière de les représenter sous la forme de "matrices" contenant à la fois des scalaires et des vecteurs en utilisant une version modifiée de la multiplication matricielle. Plus précisément, définissons qu'une matrice-vecteur est une matrice 2 x 2 de la forme

\begin{bmatrix}a & \mathbf v\\ \mathbf w & b\end{bmatrix}

a et b sont des nombres réels et v et w des vecteurs dans \mathbb{R}^3\,. Définissons la multiplication de ces matrices par la règle suivante

\begin{bmatrix}a & \mathbf v\\ \mathbf w & b\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a' & \mathbf v'\\ \mathbf w' & b'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}aa' + \mathbf v\cdot\mathbf w' & a\mathbf v' + b'\mathbf v + \mathbf w \times \mathbf w'\\ a'\mathbf w + b\mathbf w' - \mathbf v\times\mathbf v'  & bb' + \mathbf v'\cdot\mathbf w \end{bmatrix}

où . est le produit scalaire et x le produit vectoriel ordinaire de 3 vecteurs. Avec l'addition et la multiplication scalaire définie comme d'habitude dans l'ensemble de toutes les matrices de cette sorte forme une algèbre à huit dimensions non associative unitaire sur les réels, appelée algèbre matricielle-vectorielle de Zorn.

Définissons le "déterminant" d'un matrice vecteur par la règle

\det\begin{bmatrix}a & \mathbf v\\ \mathbf w & b\end{bmatrix} = ab - \mathbf v\cdot\mathbf w.

Ce déterminant est une forme quadratique de l'algèbre de Zorn qui satisfait la loi de composition :

\det(AB) = \det(A)\det(B)\,.

L'algèbre matricielle-vectorielle de Zorn est, en fait, isomorphe à l'algèbre des octonions déployés. Écrivons un octonion x sous la forme

x = (a + \mathbf a) + \ell(b + \mathbf b)\,

a et b sont des nombres réels, a et b sont des quaternions purs qui sont vus comme des vecteurs dans \mathbb{R}^3\,. L'isomorphisme des octonions déployés vers l'algèbre de Zorn est donné par

x\mapsto \phi(x) = \begin{bmatrix}a + b & \mathbf a + \mathbf b \\ -\mathbf a + \mathbf b & a - b\end{bmatrix}\,.

Cet isomorphisme préserve la norme puisque N(x) = \det(\phi(x))\,.

Références[modifier | modifier le code]