Espace complet

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En mathématiques, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.

Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque 2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.

La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Soit l'espace ℚ des nombres rationnels muni de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|. Cet espace n'est pas complet. En effet, considérons la suite définie par :
    C'est une suite de Cauchy de nombres rationnels, mais elle ne converge vers aucune limite appartenant à ℚ. En fait, considérée comme suite de nombres réels, elle converge vers la racine carrée de 2, qui est un nombre irrationnel.
  • L'intervalle ouvert ]0, 1[ muni de la distance usuelle n'est pas complet non plus : la suite (1/2, 1/3, 1/4…) est de Cauchy mais elle n'a pas de limite dans l'intervalle.
  • L'intervalle réel fermé [0, 1] muni de la distance usuelle est complet.
  • L'espace ℝ des nombres réels et l'espace ℂ des nombres complexes, munis de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|, sont complets ainsi que l'espace euclidienn muni de la norme usuelle. Remarque : dans ℝn, comme tout espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, en particulier les trois les plus utilisées, ǁ ǁ1, ǁ ǁ2 et ǁ ǁ, la notion de limite n'est donc pas dépendante de la norme, et par conséquent un tel espace normé est intrinsèquement complet.
  • Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sur ℝ sont des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets.
  • L'espace ℚp des nombres p-adiques muni de la distance p-adique est complet pour tout nombre premier p. Cet espace complète ℚ avec la métrique p-adique tout comme ℝ complète ℚ avec la métrique usuelle.
  • Si S est un ensemble donné, l'ensemble S des suites de S devient un espace métrique complet si on définit la distance entre les suites et comme étant égale à 1/N, où N est le plus petit indice pour lequel , ou 0 si un tel indice n'existe pas.

Quelques théorèmes[modifier | modifier le code]

  • Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboités).
  • Tout espace métrique compact est complet. En fait, un espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et précompact.
  • Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet, et tout sous-espace complet d'un espace métrique (non nécessairement complet) est fermé.
  • Si X est un ensemble et M un espace métrique complet, alors l'ensemble MX des applications de X dans M, muni de la distance uniforme, est complet. Le sous-espace fermé B(X, M) des fonctions bornées l'est donc aussi. Sur ce sous-espace, une distance uniformément équivalente à la distance uniforme est
    Si de plus X est un espace topologique, le sous-espace C(X, M) de MX constitué des fonctions continues est également fermé donc complet, ainsi que l'intersection Cb(X, M), constituée des fonctions continues bornées.
  • Le théorème de Baire montre que tout espace métrique complet est un espace de Baire.
  • Théorème du point fixe : toute application f contractante d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe qui est limite de toute suite définie de la manière suivante :
  • Un produit fini ou dénombrable d'espaces métriques complets est complet (en fait, un produit quelconque d'espaces uniformes complets est complet ; l'hypothèse supplémentaire de dénombrabilité ne sert qu'à conserver la métrisabilité).
  • Un espace vectoriel normé E est complet si et seulement si toute série absolument convergente d'éléments de E est convergente : c'est la caractérisation des espaces de Banach par les séries.
  • La notion d'oscillation permet de démontrer un théorème de Lavrentiev[1] : si X et Y sont deux espaces métriques complets et AX, BY deux parties denses, tout homéomorphisme de A dans B s'étend en un homéomorphisme entre deux Gδ (A' et B', avec AA'X et BB'Y).

Complété d'un espace métrique[modifier | modifier le code]

Pour tout espace métrique M, il est possible de construire un espace métrique complet (également noté ) qui contient M comme sous-espace dense. Un tel possède la propriété universelle suivante, qui le caractérise (à isomorphisme près d'espaces métriques complets contenant M) : toute fonction uniformément continue de M vers un espace métrique complet N possède un unique prolongement uniformément continu de vers N. L'espace est appelé le complété de M.

L'ensemble des nombres réels est le complété de l'ensemble des nombres rationnels, la valeur absolue usuelle étant utilisée comme distance.

Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un espace de Banach contenant l'espace original comme sous-espace dense. Appliquée à un espace préhilbertien, on obtient un espace de Hilbert.

Espace complètement métrisable[modifier | modifier le code]

La complétude est une propriété métrique, mais pas topologique, ce qui signifie qu'un espace métrique complet peut être homéomorphe à un espace qui ne l'est pas. Par exemple, pour la distance usuelle, l'espace des nombres réels est complet, bien qu'homéomorphe à l'intervalle ]–1, 1[ qui, lui, ne l'est pas – un exemple d'homéomorphisme est la bijection h de ]–1, 1[ dans ℝ définie par h(x) = tan(xπ/2) ; ou encore, le sous-espace des irrationnels n'est pas complet, alors qu'il est homéomorphe à l'espace de Baire ℕ, qui l'est.

Un espace topologique est dit complètement métrisable (en) s'il existe une métrique complète induisant la topologie de cet espace. Par exemple, ]–1, 1[ (muni de la distance usuelle) n'est pas complet, mais il est complètement métrisable, car sa topologie est également induite par la distance complète d(x, y) = |h(y) – h(x)|, où h est n'importe quel homéomorphisme de ]–1, 1[ dans ℝ. À l'inverse, sur , aucune distance équivalente à la distance usuelle n'est complète, car aucun espace dénombrable sans point isolé n'est complètement métrisable, ni même de Baire.

Un espace complètement métrisable est même complètement de Baire (et bien sûr métrisable)[2].

Tout espace uniforme complet métrisable est complètement métrisable.

Les deux théorèmes suivants sont dus respectivement à Pavel Aleksandrov et Stefan Mazurkiewicz[3] :

  • Tout Gδ d'un espace métrique complet est complètement métrisable.
  • Réciproquement, dans un espace métrique, tout sous-espace complètement métrisable est un Gδ.Le second est une application immédiate du théorème de Lavrentiev mentionné précédemment. Le premier se démontre d'abord pour un ouvert U d'un espace complet MU est homéomorphe à un fermé de M×ℝ, par le plongement u ↦ (u, 1/d(u, M\U)) — puis s'étend à une intersection dénombrable H de tels ouverts — H est homéomorphe à un fermé de leur produit, par l'application diagonale.

On en déduit facilement[3] qu'un espace métrisable est complètement métrisable si et seulement s'il est un Gδ dans son compactifié de Stone-Čech, ou encore dans tout espace complètement régulier où il est dense.

Un espace séparable complètement métrisable est dit polonais.

Espace quasi-complet et espace semi-complet[modifier | modifier le code]

Un espace localement convexe E sur le corps des réels ou des complexes est dit quasi-complet si tout filtre de Cauchy borné converge dans E.

Un espace uniforme est dit semi-complet s'il est séquentiellement complet, c'est-à-dire si toutes ses suites de Cauchy convergent.

Puisqu'une suite de Cauchy dans E est bornée dans E, si E est quasi-complet, il est semi-complet.

Si un espace localement convexe est complet, il est quasi-complet, mais la réciproque est inexacte. Par exemple, un espace de Banach réflexif de dimension infinie, muni de sa topologie affaiblie, est quasi-complet mais non complet.

En revanche, si un espace localement convexe métrisable est quasi-complet, il est complet.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, (1re éd. 1970) (lire en ligne), p. 178.
  2. La réciproque est fausse : (en) Vincent Kieftenbeld, Three Topics in Descriptive Set Theory, Denton, Texas, UNT, (lire en ligne), p. 28, détaille l'exemple, dû à Hurewicz, du complémentaire dans ℝ d'un ensemble de Bernstein (en).
  3. a et b Willard 2012, p. 179-180.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]