Caractéristique d'un anneau

En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro.

On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0_A l'élément neutre de « + » et 1_A celui de « × ».

La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que

${\ n.1_{A}~=~\underbrace {1_{A}+1_{A}+\cdots +1_{A}} _{n\;{\text{termes}}}~=~0_{A}}$

si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1_A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.

Le sous-anneau de A engendré par 1_A, appelé le sous-anneau premier de A, est isomorphe à ℤ/cℤ, où c est la caractéristique de A.

Lorsque l'anneau A est intègre et de caractéristique non nulle, cette caractéristique est un nombre premier et ce sous-anneau premier est un corps fini, appelé le sous-corps premier de A.

Remarque 1 : La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au XXI^e siècle. Bourbaki dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. Lang considère l'idéal de ℤ formé par les n tels que n.1_A = 0 ; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme cℤ où c est zéro ou un nombre premier, il définit la caractéristique de A comme étant le nombre c. Il ne la définit pas dans le cas contraire.

Remarque 2 : Certains auteurs n'exigent pas la présence d'un élément unitaire dans la définition d'un anneau (voir l'article détaillé), une structure souvent appelée pseudo-anneau. Dans ce cas, la définition précédente doit être remplacée par la suivante, plus générale. La caractéristique de A est le plus petit entier n, s'il existe, tel que, pour tout élément a de A, $\underbrace {a+\cdots +a} _{n\ {\text{fois}}}=0.$ Si un tel n n'existe pas, la caractéristique est 0.

L'homomorphisme de Z dans A

Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires $f$ de ℤ dans A (ℤ est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un entier strictement positif, on a :

$f(n)=1_{A}+\cdots +1_{A}$,

où 1_A est répété n fois. Comme ℤ est un anneau euclidien, le noyau de $f$ est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique entier naturel n tel que le noyau de $f$ soit l'idéal nℤ.

Propriétés sur les anneaux

• La caractéristique d'un anneau A est l'unique entier n positif ou nul tel que $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ soit un sous-anneau unitaire de A.
  Ceci résulte de la définition ci-dessus et du théorème de factorisation.
  On en déduit en particulier :
• Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.
• Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont ℤ est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis.
  C'est le cas du corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps $\mathbb {R}$ des nombres réels ou le corps $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels.
• Tout anneau totalement ordonné est de caractéristique nulle.
  En effet, l'homomorphisme $\mathbb {Z} \to A$ est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.C'est par exemple le cas de $\mathbb {R}$ (et ses sous-anneaux unitaires).
• Le seul anneau dont la caractéristique vaut 1 est l'anneau nul.
• La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

En effet, si $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc n est nul ou premier.

• Pour tout morphisme d'anneaux unitaires g : A → B, la caractéristique de B divise celle de A.
  En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires $\mathbb {Z} \to B$ est l'homomorphisme composé g ∘ f. Si p et q sont les caractéristiques respectives de A et de B, le noyau de g ∘ f est donc $q\mathbb {Z}$, or g(f (p)) = g(0_A) = 0_B, si bien que $q\mathbb {Z}$ contient p, autrement dit q divise p.
• Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x + y)^p = x^p + y^p. L'application qui à x associe x^p est un endomorphisme d'anneau appelé endomorphisme de Frobenius.
  Le résultat découle immédiatement de la formule du binôme de Newton et de ce que p divise les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.
• La caractéristique d'un produit d'anneaux A × B est le P.P.C.M des caractéristiques de ces anneaux.

Propriétés sur les corps

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps K est soit 0, soit un nombre premier p. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique p non nulle, K contient une copie de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ qui (puisqu'ici p est premier) est un corps : c'est l'unique corps fini F_p à p éléments.

• Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de $\mathbb {Q}$.

  En effet, un tel corps K contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de $\mathbb {Z}$. Comme K est un corps, il contient donc le corps des fractions de $\mathbb {Z}$, à savoir le corps $\mathbb {Q}$ des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son corps premier, isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini F_p ou au corps $\mathbb {Q}$.

• Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.

  Si K est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier p et K contient une copie du corps F_p. De fait, K est un espace vectoriel sur F_p. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit K est une extension finie de F_p).

• Pour tout nombre premier p, il existe des corps infinis de caractéristique p  :

  par exemple le corps des fractions rationnelles sur F_p ou la clôture algébrique de F_p.