Nombre transcendant

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En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

n est un entier naturel et les coefficients ai sont des rationnels dont au moins un est non nul, ou encore (en multipliant ces n + 1 rationnels par un dénominateur commun) qui n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique.

Comme tout nombre rationnel est algébrique, tout nombre transcendant est donc un nombre irrationnel. La réciproque est fausse : par exemple 2 est irrationnel mais n'est pas transcendant, puisqu'il est solution de l'équation x2 – 2 = 0.

Puisque l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, l'ensemble des réels transcendants est non dénombrable et a même la puissance du continu, et presque tout nombre (parmi les réels ou les complexes) est transcendant. Néanmoins, seulement peu de classes de nombres transcendants sont connues et prouver qu'un nombre donné est transcendant peut être extrêmement difficile.

Les exemples les plus connus de nombres transcendants sont π et e.

Histoire[modifier | modifier le code]

Leibniz fut probablement la première personne à croire en l'existence des nombres qui ne satisfont pas les polynômes à coefficients rationnels. Le nom « transcendant » vient de Leibniz dans sa publication de 1682 où il démontra que sin(x) n'est pas une fonction algébrique de x. L'existence des nombres transcendants fut prouvée pour la première fois en 1844 par Joseph Liouville[N 1], qui montra des exemples, incluant la constante de Liouville :

dans laquelle le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (l'un des nombres 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) et 0 sinon ; ce nombre est particulièrement bien approché par les nombres rationnels. Joseph Liouville montra que les nombres ayant cette propriété (que nous nommons maintenant nombres de Liouville) sont tous transcendants[N 2].

Jean-Henri Lambert, prouvant entre autres[N 3] l'irrationalité de π et redémontrant celle de e, conjectura qu'ils étaient même transcendants. Le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873[N 4].

En 1874, Georg Cantor démontra que les nombres algébriques réels sont dénombrables et les nombres réels sont non dénombrables ; il fournit également une nouvelle méthode permettant de construire des nombres transcendants[1]. En 1878, Cantor publia une construction démontrant qu'il y a « autant » de nombres transcendants que de nombres réels[2]. Ces résultats établissant l'ubiquité des nombres transcendants.

En 1882, Ferdinand von Lindemann démontra que e à n'importe quelle puissance algébrique non nulle est transcendant, prouvant ainsi entre autres la transcendance de π[N 4]. Cette approche fut généralisée par Karl Weierstrass avec le théorème de Lindemann-Weierstrass (en 1885).

La transcendance de π a permis la démonstration de l'impossibilité de résoudre plusieurs problèmes anciens de construction géométrique à la règle et au compas, incluant le plus célèbre d'entre eux, la quadrature du cercle.

En 1900, David Hilbert a posé une importante question à propos des nombres transcendants, connue sous le nom de septième problème de Hilbert : « Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre ab est-il nécessairement transcendant ? » La réponse, affirmative, fut donnée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce à lui, par exemple 22.

Ce travail fut étendu par Alan Baker dans les années 1960.

Quelques nombres transcendants connus[modifier | modifier le code]

Toute fonction algébrique non constante à une variable donne une valeur transcendante lorsqu'on lui applique une valeur transcendante. Donc, par exemple, en sachant que π est transcendant, nous pouvons immédiatement déduire que , (π – 3)2, (π3)8 et (π5+7)17 sont aussi transcendants.

Néanmoins, une fonction algébrique à plusieurs variables peut donner un nombre algébrique lorsqu'elle est appliquée aux nombres transcendants si ces nombres ne sont pas algébriquement indépendants[N 5]. On ignore si π + e, par exemple est transcendant, mais au moins l'un des deux nombres π + e et πe doit être transcendant. Plus généralement, pour deux nombres transcendants a et b, au moins l'un de a + b et ab doit être transcendant. Pour voir cela, considérons le polynôme (X – a)(X – b) = X2 – (a + b)X + ab ; si a + b et ab étaient tous deux algébriques, alors ce polynôme serait à coefficients algébriques. Comme les nombres algébriques forment un corps algébriquement clos, ceci impliquerait que les racines du polynôme, a et b soient algébriques. Mais ceci est une contradiction et ainsi, au moins un des deux coefficients est transcendant.

Classification des nombres transcendants[modifier | modifier le code]

Kurt Mahler a introduit en 1932 une partition des nombres transcendants en trois ensembles, qu'il note S, T, et U[3]. La définition de ces classes repose sur une généralisation de la notion de mesure d'irrationalité.

Mesure de transcendence d'un nombre complexe[modifier | modifier le code]

Soit un nombre complexe. On cherche à évaluer à quel point il est possible d'approcher par une racine d'un polynôme à coefficients entiers en fonction de son degré (inférieur ou égal à un entier ) et de ses coefficients (de module majoré par un entier ).

Soit la plus petite valeur non nulle prise par quand parcourt cet ensemble fini de polynômes. On note (avec désignant la limite supérieure) :

Dans le cas où on reconnaît le logarithme de la mesure d'irrationalité. On peut distinguer plusieurs cas :

  • on définit la classe U comme étant l'ensemble des nombres complexes tels que au delà d'un certain (qu’on appelle le degré de ) ;
  • dans le cas où est fini pour tout entier naturel, on définit et on distingue deux sous-cas :
    • la classe S est définie comme l'ensemble des nombres complexes tels que soit fini ;
    • la classe T est définie comme l'ensemble des nombres complexes tels que soit infini.

Exemples[modifier | modifier le code]

Tout nombre transcendant est dans l'une des classes S, T ou U ; mais la classification précise est parfois difficile à établir. On ne sait par exemple pas si est dans S ou dans T[4]. En revanche dans certains cas particuliers il est possible de conclure plus finement.

Éléments de la classe U[modifier | modifier le code]

  • Par définition, un nombre de Liouville est tel que , la classe U contient donc l'ensemble des nombres de Liouville, qui a la puissance du continu[N 1].
  • Pour tout entier , la racine n-ième nλ de tout nombre de Liouville λ est un élément de U de degré [5].

Éléments de la classe S[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle envoie tout nombre algébrique non nul sur un élément de S[6], ce qui précise le théorème d'Hermite-Lindemann. D'après le théorème de Lindemann-Weierstrass, S contient donc un ensemble dénombrable algébriquement libre (sur ).

Le cardinal de S (égal à son degré de transcendance) est en fait la puissance du continu, et même : presque tout réel appartient à S[7].

Éléments de la classe T[modifier | modifier le code]

Lorsque Mahler publia sa partition des nombres transcendants, il conjecturait que T est non vide. Cette conjecture ne fut démontrée que 35 ans plus tard, par Wolfgang M. Schmidt (en)[8],[9]. La classe T a même la puissance du continu[10].

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

La somme ou le produit de deux nombres transcendants peuvent ne pas être transcendants, ni même irrationnels[N 5]. La partition de Mahler offre cependant une condition suffisante d'indépendance algébrique :

Théorème —  Deux nombres transcendants appartenant à deux classes différentes sont algébriquement indépendants[6].

Problèmes ouverts[modifier | modifier le code]

On ignore si les nombres suivants sont ou non transcendants :

Tous les nombres de Liouville sont transcendants, néanmoins les nombres transcendants ne sont pas tous des nombres de Liouville. Tout nombre de Liouville doit avoir des termes non bornés dans son développement en fraction continue, donc en utilisant un argument de dénombrement, on peut montrer qu'il existe des nombres transcendants qui ne sont pas des nombres de Liouville. En utilisant le développement explicite en fraction continue de e, on peut montrer que e n'est pas un nombre de Liouville. Kurt Mahler montra en 1953 que π n'est pas non plus un nombre de Liouville. Il a été conjecturé[11] que toutes les fractions continues à termes bornés qui ne sont pas périodiques à partir d'un certain rang sont transcendantes (les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang correspondent aux irrationnels quadratiques).

La généralisation du septième problème de Hilbert qui serait de caractériser les transcendants parmi tous les nombres ab lorsque a ≠ 0 et a ≠ 1 est algébrique, reste non résolue[réf. souhaitée]. On sait que si b est rationnel alors ab est algébrique, et (d'après le théorème de Gelfond-Schneider mentionné plus haut) que si b est algébrique irrationnel alors ab est transcendant, mais qu'en est-il si b est transcendant ? (Il peut arriver que ab soit algébrique, comme dans l'exemple a = 2, b = log(3)/log(2).)

Généralisations[modifier | modifier le code]

Si L est une extension de corps de K, un élément de L est dit transcendant sur K s'il n'est pas algébrique sur K.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Transcendental number » (voir la liste des auteurs).

Références[modifier | modifier le code]

  1. Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Traduction française : Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels.
  2. En 1878, Cantor ne construisit qu'une bijection entre l'ensemble des nombres irrationnels et l'ensemble des nombres réels (voir Une contribution à la théorie des ensembles, p. 323-324). Toutefois, l'année suivante, il indiqua que sa construction s'applique à tout ensemble formé en supprimant une quantité dénombrable de nombres d'un intervalle réel (voir Sur ensembles infinis et linéaires de points, p. 353).
  3. (en) Yann Bugeaud, Distribution Modulo One and Diophantine Approximation, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics » (no 193), (ISBN 978-0-521-11169-0, lire en ligne), p. 250.
  4. (en) Edward B. Burger et Robert Tubs, Making Transcendence Transparent: An Intuitive Approach to Classical Transcendental Number Theory, New York, Springer, (ISBN 978-0-387-21444-3, lire en ligne), p. 182.
  5. Baker 1990, p. 90.
  6. a et b Burger et Tubs 2004, p. 169.
  7. Bugeaud 2012, p. 251.
  8. (en) W. M. Schmidt, « T-numbers do exist », Symposia Math. IV, Ist. Naz. di Alta Math. (it), Rome, 1968, Academic Press, 1970, p. 3-26.
  9. (en) W. M. Schmidt, « Mahler's T-numbers », dans 1969 Number Theory Institute, coll. « Proc. Symp. Pure Math. » (no 20), , p. 275-286.
  10. (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne), chap. 7 (« On T-numbers and U-numbers »), p. 147.
  11. (en) Boris Adamczewski et Yann Bugeaud, « On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions », Acta Math., vol. 95, no 1,‎ , p. 1-20 (lire en ligne).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Voir l'article « Nombre de Liouville ».
  2. Voir l'article « Théorème de Liouville (approximation diophantienne) ».
  3. Pour plus de détails sur les résultats de Lambert, voir la section « Irrationalité » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».
  4. a et b Voir l'article « Théorème d'Hermite-Lindemann ».
  5. a et b Par exemple et .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]