Nombre univers

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Un nombre univers est un nombre réel dans les décimales duquel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder les caractères d'un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et à venir, y compris celui de l'histoire de votre vie passée et future.

Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une suite univers en base 10 est une suite de chiffres (de 0 à 9) telle que toute suite finie de chiffres apparait comme sous-suite formée de termes consécutifs (que nous désignerons par le vocable « séquence »).

Un nombre univers en base 10 est un réel dont la suite des décimales est une suite univers.

Ces définitions peuvent se donner en base quelconque, en particulier en base 2.

Historique[modifier | modifier le code]

La notion et l'appellation ont été introduites en 1996 par J.P. Delahaye [1]. Les traductions littérales de l'anglais seraient "nombre riche" ou "nombre disjonctif" [2].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le résultat suivant [2] fournit nombre d'exemples de suites univers, donc de nombres univers : Si est une suite strictement croissante d'entiers telle que , alors pour tout entier positif et toute base , il existe un dont l'expression dans la base commence par l'expression de dans la base . Par conséquent, la suite obtenue en énumérant successivement les chiffres en base des est une suite univers en base , et fournit en même temps un nombre univers.
    • Pour , on obtient en base 10 la constante de Champernowne
    • Pour , on obtient le nombre , voir la suite A001191 de l'OEIS
    • Plus généralement, on peut prendre comme la partie entière d'une suite polynomiale positive, par exemple
    • La suite des nombres premiers vérifie aussi la propriété puisque  ; on obtient alors la constante de Copeland-Erdős
  • Les nombres donnés en exemples précédemment vérifient une propriété plus forte que celle d'être des nombres univers : ce sont des nombres normaux ; non seulement chaque séquence apparait dans le développement, mais elle apparait une infinité de fois selon une statistique équirépartie.
  • Un exemple de nombre univers en base dix mais qui n'est pas normal est donné par le nombre obtenu en intercalant "k" 0 après chaque entier de "k" chiffres : la fréquence des 0 (1/2+1/20) y est supérieure à celle des autres chiffres (1/20).
  • Si la suite vérifie la loi de Benford en toute base, alors de nouveau pour tout entier positif et toute base , il existe un dont l'expression dans la base commence par l'expression de dans la base (la propriété de Benford, plus forte, indiquant en particulier que l'entier a une fréquence d'apparition non nulle) ; Ceci permet d'avoir des exemples de suite fournissant un nombre univers et ne vérifiant pas  :
  • On pense que les constantes irrationnelles qui sont définies par des propriétés ne faisant pas intervenir leurs décimales, comme ou sont des nombres normaux[4] en toute base, et donc des nombres univers, mais on ne sait le prouver pour aucune.

Propriété de densité[modifier | modifier le code]

Bien qu'on ne connaisse pas de nombre univers en toute base, on sait que leur ensemble "remplit" l'ensemble des réels, à la fois au sens de la mesure de Lebesgue et au sens de Baire. En effet, son complémentaire est σ-poreux, donc à la fois négligeable et maigre[5].

On obtient donc le paradoxe suivant : presque tout nombre réel est un nombre univers en toute base, mais on n'en connait aucun.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. J.P. Delahaye, « Les nombres univers », Pour la Science n° 225,‎ , p. 104-107 (lire en ligne)
  2. a et b (en) Calude, C.; Priese, L.; Staiger, L, « Disjunctive sequences: An overview », University of Auckland, New Zealand,‎ , p. 1–35
  3. David Gale 1998 (référencé ci-dessous) donne une démonstration, et cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on entre la séquence recherchée.
  4. (en) Are the digits of Pi random?
  5. (en) C. S. Calude et T. Zamfirescu, « Most numbers obey no probability laws », Publ. Math. Debrecen, vol. 54 (Supplement),‎ , p. 619-623 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-Paul Delahaye, « Les nombres univers », Pour la science, no 225,‎ , p. 104-107 (lire en ligne)
  • Jean-Paul Delahaye (Texte identique au précédent), « Les nombres-univers jouent aux combinaisons », Jeux mathématiques et mathématiques des jeux,‎ , p. 51-56
  • (en) David Gale, Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations, , p. 42-43