Nombre univers

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Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et à venir. Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.

Tout nombre normal est un nombre univers, mais la réciproque est fausse : dans un nombre normal, chaque séquence apparaît une infinité de fois selon une statistique équirépartie ; dans un nombre univers, on ne garantit que l'apparition de chaque séquence, et aucune propriété statistique sur leurs fréquences relatives. Par exemple, définissons le nombre 0,10200300000040000000000000000000000005… : ses décimales sont 1, puis 1! fois 0, puis 2, puis 2! fois 0, et ainsi de suite. Ce nombre est un exemple de nombre qui, en base dix, est univers mais non normal : par construction, chaque entier naturel y est inclus à condition d'aller assez loin (c'est donc un nombre univers), mais la construction introduit un biais dans la répartition des séquences, la fréquence des zéros en particulier étant bien trop grande pour que le nombre soit normal.

En 2015, on pense que la plupart des constantes irrationnelles « naturelles », comme π et 2, sont des nombres univers, et même des nombres normaux[1], au moins en base dix, mais on ne sait le prouver pour aucune.

L'ensemble des réels qui sont des nombres univers en toute base remplit l'espace, à la fois au sens de la mesure de Lebesgue et au sens de Baire. En effet, son complémentaire est σ-poreux, donc à la fois négligeable et maigre[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Suite univers[modifier | modifier le code]

Une suite univers est une suite S = {un, n ∈ ℕ} d'entiers naturels qui contient toute séquence finie de chiffres ; en construisant un nombre réel qui commence par « 0,... » et dont les décimales sont les chiffres des éléments de S mis bout à bout, on obtient un nombre univers.

La suite {2n, n ∈ ℕ} des puissances de 2 est une suite univers[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Are the digits of Pi random?
  2. (en) C. S. Calude et T. Zamfirescu, « Most numbers obey no probability laws », Publ. Math. Debrecen, vol. 54 (Supplement),‎ , p. 619-623 (lire en ligne).
  3. Gale 1998 donne une démonstration, et cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on entre la séquence recherchée.
  4. Delahaye 1998, p. 53 et 1996, p. 105, ne donne pas de démonstration, mais il cite Stephan Heilmayr, ayant écrit « un programme de cinq lignes […] qui vous donne l'exposant de 2 voulu quand vous lui donnez la séquence. ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-Paul Delahaye, « Les nombres univers », Pour la Science, no 225,‎ , p. 104-107 (lire en ligne)
  • Jean-Paul Delahaye, « Les nombres-univers jouent aux combinaisons », Jeux mathématiques et mathématiques des jeux,‎ , p. 51-56
  • (en) David Gale, Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations, , p. 42-43