Diviseur de zéro

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la notion de division par zéro en arithmétique.

En mathématiques, dans un anneau, un diviseur de zéro est un élément non nul dont le produit par un certain élément non nul est égal à zéro[1].

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soient (A,+,\times) un anneau et a\in A tel que a \neq 0_A , où 0_A est l'élément neutre pour la loi +.

On dit que a est un diviseur de zéro à gauche dans A si[2]

\exists b \in A,\ b \neq 0_A \quad \mathrm{et} \quad a \times b=0_A

On dit que a est un diviseur de zéro à droite dans A si

\exists c \in A,\ c \neq 0_A \quad \mathrm{et} \quad c \times a=0_A

On dit que a est un diviseur de zéro dans A si a est un diviseur de zéro à gauche dans A ou un diviseur de zéro à droite dans A[3].

Un élément de A est dit régulier s'il n'est ni nul, ni diviseur de zéro.

Un diviseur de zéro ne peut pas être inversible ; en particulier, un corps commutatif (ou même un corps gauche) ne contient pas de diviseur de zéro. En effet, soit a un élément d'un anneau (A,+,\times) diviseur de zéro. On suppose que a est inversible. Alors par définition il existe b \in A non nul tel que a\times b=0_A, et en composant par a^{-1} à gauche il vient b=0_A, contradiction.

Anneau intègre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : anneau intègre.

Un anneau commutatif est dit intègre s'il n'est pas réduit à zéro et n'admet aucun diviseur de zéro.

Exemples[modifier | modifier le code]

Entiers relatifs et nombres réels[modifier | modifier le code]

L'anneau Z des entiers relatifs est intègre, ainsi que le corps commutatif des nombres rationnels, ou réels, ou complexes (tout corps de manière générale).

Anneau Z / n Z[modifier | modifier le code]

Dans l'anneau Z/6Z, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 4 × 3 est congru à 0 modulo 6, alors que 3 et 4 ne sont pas congrus à 0 modulo 6.

Plus généralement, dans l'anneau Z/nZ pour n > 0, comme dans tout anneau fini, tout élément régulier est inversible donc les diviseurs de zéro sont exactement les éléments non nuls et non inversibles. Par conséquent (d'après le théorème de Bachet-Bézout) ce sont les classes modulo n des entiers relatifs qui ne sont ni divisibles par n, ni premiers avec n.

Matrices[modifier | modifier le code]

L’anneau \mathcal M_2(\mathbb R) des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes réelles contient des diviseurs de zéro. Par exemple, la matrice

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

est un diviseur de zéro, en effet elle est non nulle, et nous avons

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

Plus généralement les diviseurs de zéro à droite dans une algèbre de matrices \mathcal{M}_{n\times m}(K) à coefficients dans un corps K sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives. Lorsque n=m, les diviseurs de zéro à gauche et à droite coincident et ce sont les matrices non-inversibles.

Algèbre de fonctions[modifier | modifier le code]

L'ensemble des fonctions de \R dans lui-même est un anneau qui admet des diviseurs de zéro. En effet si nous prenons la fonction caractéristique des rationnels ainsi que la fonction caractéristique des irrationnels, il est clair que ces deux fonctions sont différentes de la fonction nulle, pourtant leur produit donne bien la fonction nulle, car un nombre réel est rationnel ou bien irrationnel.

Plus généralement, si A est une algèbre associative, désignons par A_X l'algèbre des fonctions X\longrightarrow A, où X est un ensemble non vide quelconque. Les diviseurs de zéro de A_X sont exactement les fonctions non nulles admettant zéro ou un diviseur de zéro dans leur image.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Il ne s'agit donc pas tout à fait de la particularisation à a = 0 de la notion de diviseur d'un élément a, puisqu'on exige ici que les deux facteurs soient non nuls.
  2. Aviva Szpirglas, Exercices d'algèbre, éd. Cassini (2008) ISBN 2-84225-128-8 p. 199
  3. Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , vol. 1, p. 152