Image directe

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L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : XY est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

Exemples[modifier | modifier le code]

  • On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :
  • On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f[1].
  • Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Pour toutes parties et de ,
    Plus généralement, pour toute famille de parties de ,
  • Pour toutes parties et de ,
    L'inclusion dans l'autre sens est fausse si n'est pas injective. Considérons par exemple une application constante () sur un ensemble possédant au moins deux parties disjointes non vides, et . Alors , tandis que
    Plus généralement, pour toute famille non vide de parties de ,
    .
  • Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque f−1(B) ; plus précisément :
En particulier si f est surjective alors f(f−1(B)) = B.
  • Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :
    En effet,En général on a seulement une inclusion et pas une égalité, car la réciproque de la première implication est fausse si f n'est pas injective.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Pour éviter toute confusion, Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent f*.

Articles connexes[modifier | modifier le code]