Quaternion hyperbolique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant l’algèbre
Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane (en). L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions d'Hamilton, c'est un espace vectoriel sur {}^\R de dimension 4.

Une combinaison linéaire :

q = a + bi + cj + dk

est un quaternion hyperbolique si a, b, c, et d sont des nombres réels et que les unités {1,i,j,k} sont telles que :

i j = k = -j i, jk = i = -kj, ki = j = -ik, et ii = +1 = jj = kk.

Soit :

· 1 i j k
1 1 i j k
i i 1 k –j
j j –k 1 i
k k j –i 1

La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré ii = jj = kk. Elle vaut -1 pour les quaternions et +1 pour les quaternions hyperboliques.

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble

{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k}

forme un quasigroupe. Si on définit le conjugué q* de q par la formule

q* = a - bi - cj - dk,

alors le produit

q q* = aa - bb - cc - dd est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski.

soit X (ct, x, y, z) un point de l'espace temps et X*( ct, -x, -y, -z) son conjugué. XX* = c²t²-x²-y²-z² est la norme de X dans l'espace de Minkowski.

Articles connexes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperbolic quaternion » (voir la liste des auteurs).