Quaternion hyperbolique

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L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane (en). L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension 4.

Une combinaison linéaire :

est un quaternion hyperbolique si et sont des nombres réels, et les unités sont telles que :

Soit :

La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré . Elle vaut pour les quaternions et pour les quaternions hyperboliques.

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble forme un quasigroupe.

Exemple de non-associativité : alors que .

Si l'on définit le conjugué de par

alors le produit

est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention .

Soit un point de l'espace temps et son conjugué. est le carré de la pseudo-norme de dans l'espace de Minkowski.

Articles connexes[modifier | modifier le code]


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