Aller au contenu

Homéomorphisme

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Une tasse est homéomorphe à un tore.

En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue (une telle application est aussi dite « bicontinue »). Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

Soit et des espaces topologiques, une application bijective de sur . Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • et sont continues ;
  • pour qu'une partie de soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans par soit ouverte[1].

Propriétés

[modifier | modifier le code]
  • Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
  • Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.En effet, tout fermé F de K est compact ; comme E est séparé, l'image de F par f est compacte, a fortiori fermée dans E. Donc, f est une bijection continue fermée, i.e. un homéomorphisme par le point précédent.
  • Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'application
    est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en (1, 0). En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le cercle S1 et une partie de (par des arguments de connexité ou de simple connexité).

Définitions associées

[modifier | modifier le code]

Une application f : XY est un homéomorphisme local (en) si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.

Exemples

Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.

Références

[modifier | modifier le code]
  1. a b et c Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, , 164 p. (ISBN 2-13-036647-3, OCLC 417477300), paragraphes 2.5 p. 31 et 4.2.16 p. 55.

Articles connexes

[modifier | modifier le code]

Lien externe

[modifier | modifier le code]

Homéomorphisme du plan sur un carré : animation sur GeoGebra accompagnée d'un exercice