Aleph-zéro — Wikipédia

Cet article court présente un sujet plus développé dans : Aleph (nombre) et Ensemble dénombrable.

En mathématiques, le cardinal de l'ensemble des entiers naturels, et donc, par équipotence, le cardinal de n'importe quel ensemble infini dénombrable, est noté $\aleph _{0}$ et se lit aleph-zéro. C'est, par définition, le premier dans la suite indexée par les ordinaux des alephs, une suite d'ordinaux définie par Georg Cantor pour représenter tous les cardinaux infinis^[1].

Si l'on admet l'axiome du choix, alors $\aleph _{0}$ est le plus petit cardinal infini^[2]^,^[3], au sens où tout ensemble infini contient un sous-ensemble infini dénombrable^[4].

Notes et références

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↑ Paul R. Halmos (trad. Jean-Gardelle), Introduction à la théorie des ensembles, Mouton, École pratique des hautes études et Gauthier-Villars, 1970, p. 121.
↑ Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2006 (1^re éd. 2002) (lire en ligne), p. 118-119.
↑ (en) Noah Betz, « A Structural Analysis of Infinity in Set Theory and Modern Algebra », sur arxiv.org (consulté le 6 octobre 2025), Proposition 1.13, page 8.
↑ Jean-Louis Krivine, Logique et théories axiomatiques, 2014 (lire en ligne), p. 23.

Liens externes

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Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :
- Britannica

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Entier relatif ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Nombre décimal ( $\scriptstyle \mathbb {D}$ ) Nombre rationnel ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Nombre réel ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Nombre complexe ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sédénion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{2}$ ) Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{n}$ $\scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ ) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique ( $\scriptstyle \mathbb {Q} _{p}$ ) Nombre hyperréel Nombre superréel Entier surnaturel Entier profini Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi ( $π$ ) Racine carrée de deux ( $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire ( $i$ ) Constante d’Euler ( $e$ ) Aleph-zéro (ℵ₀) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini ( $\infty$ ) Chiffre significatif

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