Localisation (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Localisation.

En algèbre, la localisation[1] est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation.

Notion intuitive[modifier | modifier le code]

La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau « plus grand » dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. Par exemple, le localisé de en l'idéal premier est l'anneau , dans lequel tout nombre entier qui n'est pas multiple de admet un inverse. Cet anneau correspond à une structure d'anneau à valuation discrète car il est de plus principal.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif (unitaire). On cherche à rendre inversibles les éléments d'une partie S de A. Si a et b dans S deviennent inversibles, il en sera de même de leur produit dont l'inverse est alors a-1b-1. On travaille donc avec une partie multiplicative, c'est-à-dire un ensemble stable par multiplication et contenant 1.

La localisation de l'anneau A en la partie S est alors la donnée d'un anneau, noté S -1A et d'un morphisme tels que :

et qui vérifient la propriété universelle suivante : pour tout morphisme d'anneaux , si

alors il existe un unique morphisme tel que .

L'anneau S -1A est aussi noté AS[2] ou A[S -1][3] et est appelé l'anneau des fractions de A associé à S, ou à dénominateurs dans S[3], ou l'anneau des fractions de A par rapport à S[4].

Construction[modifier | modifier le code]

Pour construire l'anneau localisé, on procède comme dans la construction du corps des fractions mais avec une précaution supplémentaire pour tenir compte du fait que l'anneau n'est pas toujours intègre. Sur le produit cartésien , la relation d'équivalence est alors la suivante : si et seulement s'il existe un élément tel que . Le reste de la construction est la même que celle du corps des fractions. L'utilisation de l'élément est cruciale pour la transitivité.

Exemples importants[modifier | modifier le code]

  • Les éléments réguliers (c'est-à-dire non diviseurs de zéro) forment une partie multiplicative notée  ; l'anneau est l'anneau total des fractions de  ; l'homomorphisme de localisation dans ce cas-là est injectif.
  • Le complémentaire d'un idéal premier est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note . C'est un anneau local appelé localisé de en . Plus généralement, on peut prendre pour partie multiplicative le complémentaire de la réunion d'une famille quelconque d'idéaux premiers de A. Pour une famille finie, on obtient alors un anneau semi-local.
  • Lorsque est un anneau intègre, le premier exemple est un cas particulier du second. En effet, l'idéal nul est premier et son complémentaire est . Dans ce cas, est un corps appelé corps des fractions de .
  • Lorsque est intègre, il est égal à l'intersection, dans son corps des fractions, de ses localisés en ses idéaux maximaux[5].
  • Lorsque n'est pas un anneau intègre, le complémentaire d'un idéal premier peut contenir des diviseurs de zéros. L'homomorphisme de localisation n'est alors pas injectif. Par exemple, considérons l'anneau produit lorsque est un corps. Il possède deux idéaux maximaux et . Les deux localisations sont alors isomorphes à et les deux applications canoniques sont en fait les deux projections. Dans ce cas, on constate qu'inverser des éléments n'augmente pas le nombre de ceux-ci mais au contraire le diminue.
  • Soit un élément de . L'ensemble réunion de {1} et des puissances positives forment une partie multiplicative de . La localisation de par rapport à cette partie multiplicative est notée . Remarquons que est l'anneau nul si et seulement si est nilpotent. Lorsque est intègre, est l'ensemble des fractions qui peuvent s'exprimer comme le quotient d'un élément de par une puissance positive de .

Explication du terme localisation[modifier | modifier le code]

Prenons l'anneau des polynômes ℂ[X]. Comme ℂ est algébriquement clos, le spectre d'anneau de ℂ[X] s'identifie à ℂ lui-même (avec un point supplémentaire correspondant à l'idéal nul). Le localisé en l'idéal maximal engendré par X, (X)= Xℂ[X], s'appelle le localisé en et est précisément l'anneau des polynômes dans lequel on a autorisé toutes les divisions excepté celles par les polynômes s'annulant en 0. Ce nouvel anneau est l'ensemble des fractions rationnelles sans pôle en 0 (donc holomorphes dans un voisinage de 0). Il permet de s'intéresser aux propriétés des polynômes au voisinage de , d'où le terme d'anneau localisé.

Spectre d'une localisation[modifier | modifier le code]

Soit une partie multiplicative de . Alors l'ensemble des idéaux premiers de peut s'identifier à la partie des idéaux premiers de disjoints de . Plus précisément, soit le morphisme canonique. Pour tout idéal premier de , est un idéal premier de qui est disjoint de , et cette correspondance est biunivoque, la correspondance réciproque associant un idéal premier de l'idéal de . De plus, le morphisme canonique entre les anneaux intègres induit un isomorphisme entre leurs corps des fractions.

Noter qu'en général, cette correspondance n'existe pas pour les idéaux maximaux (considérer l'exemple avec égal à l'anneau des entiers et son corps des fractions).

Localisation de modules[modifier | modifier le code]

Soient et comme avant. Soit un -module. Alors la localisation est un -module muni d'un homomorphisme -linéaire tel que tout homorphisme -linéaire dans un -module se factorise de façon unique en composé de avec un homomorphisme -linéaire . Concrètement, est l'ensemble modulo la relation d'équivalence: si set seulement s'il existe dans tel que . L'application canonique consiste à envoyer sur la classe de . Son noyau est le sous-module des annulé par un élément de .

On peut montrer que est isomorphe au produit tensoriel de et sur .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre II.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre I, page 107.
  3. a et b N. Bourbaki, Algèbre, chapitre I, page 108.
  4. M.-P. Malliavin, Algèbre commutative, applications en géométrie et théorie des nombres, pages 27-28.
  5. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC II.3.3.