Nombre positif

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Un nombre positif est un nombre qui est supérieur à zéro, par exemple 3 ou e.

Lorsqu'on parle de nombres positifs ou négatifs, le nombre zéro est souvent exclu. Le dictionnaire Lexis[1] précise : « Les nombres négatifs, les nombres positifs et le zéro forment l'ensemble des nombres relatifs ». L'Académie française, dans la neuvième édition de son dictionnaire précise quant à elle qu'un nombre positif est un nombre « supérieur à zéro et qui peut être précédé du signe + ». Pour certains auteurs cependant, les adjectifs « positif » et « négatif » sont pris au sens large, c'est-à-dire que zéro est inclus. Ainsi, N. Bourbaki[2] souligne : « On notera que est l'unique élément à la fois positif et négatif ; tout élément tel que (resp. ) est dit strictement positif (resp. strictement négatif). »

  • Les entiers naturels sont tous positifs pour la relation d'ordre naturelle .
  • l'ensemble des entiers relatifs positifs est habituellement noté ,, ou le plus souvent .
  • l'ensemble des entiers relatifs strictement positifs est habituellement noté , , ou le plus souvent .
  • l'ensemble des nombres rationnels positifs est habituellement noté ou .
  • l'ensemble des nombres rationnels strictement positifs est habituellement noté ou .
  • l'ensemble des nombres réels positifs est habituellement noté ou .
  • l'ensemble des nombres réels strictement positifs est habituellement noté ou .

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La somme de deux nombres positifs est un nombre positif,
  • la somme d'un nombre positif et d'un autre strictement positif est un nombre strictement positif.

La différence de deux nombres positifs peut être positive ou négative. Par exemple 2 − 3 = −1 et 5 − 2 = 3.

  • Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.
  • Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif.

Le produit d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif n'est pas nécessairement strictement positif, puisque le premier nombre peut être nul.

  • L'inverse d'un nombre strictement positif est un nombre strictement positif,
  • Le quotient d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif est positif,
  • Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif.
  • Un nombre est inférieur (ou égal) à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est positive,
  • Un nombre est strictement inférieur à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est strictement positive,
  • En multipliant une inégalité par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Éditions Larousse, 1975.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre, p. A VI.4.