Droite réelle achevée

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En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], ℝ ∪ {–∞, +∞} ou (la barre symbolise ici l'adhérence car dans la droite réelle achevée munie de la topologie de l'ordre, ℝ est dense).

Cet ensemble est très utile en analyse et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Opérations[modifier | modifier le code]

L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée.

Addition[modifier | modifier le code]

  • Pour tout réel x,
    • x + (+ \infty) = (+ \infty)
    • x + (- \infty) = (- \infty)
    • (+ \infty) + (+ \infty) = (+ \infty)
    • (- \infty) + (- \infty) = (- \infty)

Multiplication[modifier | modifier le code]

  • Pour tout réel strictement positif x (x > 0),
    • x \times (+ \infty) = (+ \infty),
    • x \times (- \infty) = (- \infty).
  • Pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
    • x \times (+ \infty) = (- \infty),
    • x \times (- \infty) = (+ \infty).
  • Par ailleurs,
    • (+ \infty) \times (+ \infty) = (+ \infty),
    • (+ \infty) \times (- \infty) = (- \infty),
    • (- \infty) \times (- \infty) = (+ \infty).

Opérations indéterminées[modifier | modifier le code]

(+ \infty) + (- \infty) n'est pas défini.

La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne 0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions 0 \times (+ \infty) et 0 \times (- \infty) n'ont aucun sens.

Dès lors, la droite réelle achevée ne constitue pas un groupe pour l'addition (celle-ci n'étant pas partout définie), et donc n'est pas non plus un anneau ou un corps.

Relation d'ordre[modifier | modifier le code]

L'ensemble est muni d'une relation d'ordre, notée ≤, qui étend la relation d'ordre usuelle sur ℝ.

Cette relation est telle que –∞ est le plus petit élément de et +∞ le plus grand élément.

Ainsi, si (a, b) \in \R^2, avec a \le b au sens de la relation d'ordre usuelle sur ℝ, on a :

-\infty \le a \le b \le +\infty.

Comme celle sur ℝ, la relation d'ordre usuelle sur est totale.

La droite réelle achevée est un treillis complet, c'est-à-dire que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide ∅ (+∞ est sa borne inférieure et –∞ sa borne supérieure, comme expliqué dans le § « Exemples » de l'article sur les bornes supérieure et inférieure).

Métriques et topologie[modifier | modifier le code]

L'ordre sur induit une topologie de l'ordre : une base d'ouverts est constituée des intervalles de la forme ]a, +∞] ou [–∞, b[ ou ]a, b[ avec a et b réels. La topologie induite sur ℝ par cette topologie sur est donc la topologie de l'ordre de ℝ, c'est-à-dire sa topologie usuelle. Autrement dit : les voisinages dans d'un réel x sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur ℝ, augmentés éventuellement de –∞ et/ou de +∞.

Tout point de possède une base de voisinages dénombrable. Par exemple :

  • les intervalles ]n, +∞] avec n entier (ou entier positif) forment une base de voisinages de +∞ ;
  • les intervalles [–∞, n[ avec n entier (ou entier négatif) forment une base de voisinages de –∞ ;
  • pour tout réel x, les intervalles ]x – 1/n, x + 1/n[ avec n entier strictement positif forment une base de voisinages de x.

L'espace topologique est même métrisable, mais aucune distance ne s'impose naturellement plus qu'une autre ; en particulier, il n'existe sur aucune distance continue qui soit une extension de la distance usuelle sur ℝ.

Parmi les distances induisant la topologie de , on peut citer :

  • d'(x, y) = | \arctan y - \arctan x |, en comptant \arctan \pm \infty = \pm \pi/2
  • d'(x, y) = | \tanh y - \tanh x |, en comptant \tanh \pm \infty = \pm 1

En effet, l'application arctan (resp. tanh) est un isomorphisme d'ordres de dans [–π/2, π/2] (resp. dans [–1, 1]) donc un homéomorphisme entre les topologies associées à ces ordres.

Ces homéomorphismes montrent aussi que est compact.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Compactifié d'Alexandroff