Suite périodique

${\begin{array}{l}{\underline {0;9}};0;9;0;9;0;9;0;9\dots \\{\underline {3}};3;3;3;3;3;3;3;3;3\dots \\{\underline {1;4;2;8;5;7}};1;4;2;8\dots \end{array}}$

Le début de trois suites périodiques
dont le motif répété est souligné.

En mathématiques, une suite périodique est une suite dont les termes sont obtenus par la répétition d'un même motif d'une ou plusieurs valeurs. La période est alors la taille du plus petit motif dont la répétition engendre la suite. En particulier, les suites constantes sont les suites périodiques de période 1.

De telles suites apparaissent notamment dans le développement décimal des nombres rationnels. Plus exactement, un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang.

Définition

Une suite (purement) périodique (de période p), ou suite p-périodique, est une suite a₁, a₂, a₃, ... vérifiant la propriété

$\forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n+p}=a_{n}$

Si une suite est vue comme une fonction définie sur l'ensemble des entiers positifs, alors une suite périodique est un type de fonction périodique. La plus petite valeur p pour laquelle une suite est p-périodique est appelée sa moindre période ou période exacte.

Exemples

Toute fonction constante est 1-périodique.

La suite $1,2,1,2,1,2\dots$ est périodique de moindre période 2.

La suite des nombres de l'écriture décimale de 1/7 est 6-périodique :

${\frac {1}{7}}=0,142857\,142857\,142857\,\ldots$

Plus généralement, la suite des nombres dans l'écriture décimale de tout nombre rationnel est périodique

La suite des puissances de −1 est 2-périodique :

$-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$

Plus généralement, la suite des puissances d'une racine de l'unité est périodique, de même que la suite des puissances d'un élément d'un groupe fini. Toute suite périodique de nombre peut être écrite comme un polynôme $p(x)$, évalué aux puissances d'une racine de l'unité: $a_{i}=p(z^{i})$ avec $z$ une racine de l'unité dont l'ordre est la périodique de la suite.

Un point périodique pour une fonction f : X → X est un point x dont l'orbite

$x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots$

forme une suite périodique. Dans ce cas, $f^{n}(x)$ désigne la n^e puissance fonctionnelle de f appliquée à x. Les points périodiques apparaissent dans la théorie des systèmes dynamiques. Toute fonction sur un ensemble fini vers lui-même admet un point périodique ; la détection de cycle est le problème algorithmique consistant à trouver ce point.

Sommes et produits partiels

Pour toute suite p-périodique et m < p :

$\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},\qquad \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=\left({\prod _{n=1}^{p}a_{n}}\right)^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}.$

Suites binaires périodiques

Toute suite périodique peut être construite par addition, soustraction, multiplication et division terme à terme de suites périodiques constituées de 0 et de 1. On peut expriemr de telles suites comme des sommes de fonctions trigonométriques :

$\sum _{k=0}^{0}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots$

$\sum _{k=0}^{1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{2}}\right)/2=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots$

$\sum _{k=0}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{3}}\right)/3=1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\cdots$

$\cdots$

$\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{N}}\right)/N=1,{\underset {N-1\ {\textrm {fois}}}{\underbrace {0,0,0,\cdots ,0} }},1,\cdots$

On peut prouver ces identités par application de la formule de Moivre à la racine de l'unité correspondante. De telles suites sont fondamentales dans la théorie des nombres.

Voir aussi

• Fonction périodique