Nombre bicomplexe

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En mathématiques, un nombre bicomplexe (voir l'article nombres multicomplexes) est un nombre écrit sous la forme a + bi_1 + ci_2 + dj\,, où i_1\,, i_2\, et sont des unités imaginaires qui commutent et où j=i_1i_2\, vérifie j^2=i_1^2i_2^2=1. Basé sur les règles de la multiplication des unités imaginaires, si A = a + bi_1\, et B = c + di_1\,, alors le nombre bicomplexe peut être écrit A + Bi_2\,. Les nombres bicomplexes sont similaires aux nombres complexes, mais les deux parties sont complexes plutôt qu'une partie réelle. Les nombres bicomplexes se réduisent aux nombres complexes lorsque A et B sont des nombres réels.

L'ensemble de tous les nombres bicomplexes possède une algèbre associative, commutative et unifère sur les nombres complexes, isomorphe à \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C, donc un anneau commutatif (avec identité) ; la multiplication des nombres bicomplexes est à la fois commutative et associative et est distributive sur l'addition. Étant donné ceci et les règles pour la multiplication des unités imaginaires, deux nombres bicomplexes quelconques peuvent être multipliés. La multiplication des unités imaginaires est donnée par :

  • i_1^2= -1
  • i_2^2= -1
  • i_1\,i_2=j\,

On déduit de la commutativité et de l'associativité que :

  • j^2\,=1
  • i_1\,j=-i_2
  • i_2\,j=-i_1\,

La division n'est pas définie pour certains nombres complexes, puisque certains sont diviseurs de zéro; autrement dit, les bicomplexes ne forment pas un anneau sans diviseur de zéro, et donc pas un anneau à division. Comme exemples de diviseurs de zéros : 1 + j\, et i_1 + i_2\, vérifient (1+j)(i_1+i_2\,)=0.

Parmi les extensions des nombres complexes à des espaces vectoriels à quatre dimensions sur \mathbb R, les bicomplexes se distinguent des quaternions en « sacrifiant » l'existence des inverses et l'intégrité au profit de la commutativité de la multiplication.

Références[modifier | modifier le code]