Ouvert-fermé

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Ne doit pas être confondu avec Principe ouvert/fermé.

En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes. Mais au sens mathématique, ces deux notions ne sont pas mutuellement exclusives[1] : une partie de X est dite fermée si son complémentaire dans X est ouvert, donc un ouvert-fermé est simplement un ouvert dont le complémentaire est aussi ouvert.

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans tout espace topologique X, l'ensemble vide et l'espace entier X sont tous deux des ouverts-fermés[2].

Un espace est discret si et seulement si toutes ses parties sont des ouverts-fermés.

Dans une partition d'un espace en ouverts, tous les éléments de la partition sont des ouverts-fermés, ainsi que toute réunion (éventuellement infinie) de tels éléments. Par exemple :

Dans une partition en fermés (comme les composantes connexes), si la partition est finie alors les parties sont encore des ouverts-fermés. Par exemple : dans un groupe topologique, tout sous-groupe fermé d'indice fini est un ouvert-fermé.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Clopen set » (voir la liste des auteurs).
  1. De plus, une partie n'est souvent ni ouverte, ni fermée.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. I.5, aperçu sur Google Livres.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Sidney A. Morris, « Topology Without Tears »,