Distance ultramétrique

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En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

.

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique[1].

Définition et exemples[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application vérifiant les propriétés suivantes :

Nom Propriété
symétrie
séparation
inégalité ultratriangulaire[réf. souhaitée]

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).

Distance triviale[modifier | modifier le code]

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

L'inégalité

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble ℚ[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

et

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

La première propriété précédente conduit facilement à

ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées[2].

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ.

Autres exemples[modifier | modifier le code]

  • Soient X un ensemble quelconque et E = X l'ensemble des suites à valeurs dans X. En posanton munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet[3].
  • En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.[réf. souhaitée]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

  • Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :

  • Tout point d'une boule en est un centre :

  • Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :

Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

  • Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux[4] », ce qui s'écrit aussi :

  • Pour qu'une suite soit de Cauchy, il suffit que Démonstration : Suite de Cauchy#Propriétés.

Application[modifier | modifier le code]

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique[5].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette notion a été introduite par Marc Krasner (de), « Nombres semi-réels et espaces ultramétriques », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 219, no 2,‎ , p. 433-435 (lire en ligne), qui signale : « Les seuls espaces ultramétriques considérés jusqu'à présent semblent être les corps et les algèbres valués ».
  2. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques ; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 652-653.
  3. Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions], chap. III, § 14, problème 1.
  4. a et b (en) Emil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, AMS, (ISBN 9780821840757, lire en ligne), p. 44.
  5. I. C. Lerman, Les bases de la classification automatique, Gauthier-Villars, 1970.