Distance ultramétrique

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En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

.

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique[1].

Définition et exemples[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application vérifiant les propriétés suivantes :

Nom Propriété
symétrie
séparation
inégalité ultratriangulaire[réf. souhaitée]

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).

Distance triviale[modifier | modifier le code]

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

L'inégalité

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble ℚ[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

et

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

La première propriété précédente conduit facilement à

ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées[2].

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ.

Autres exemples[modifier | modifier le code]

  • Soient X un ensemble quelconque et E = X l'ensemble des suites à valeurs dans X. En posanton munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet[3].
  • En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.[réf. souhaitée]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Voici quelques propriétés[4] d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

  • Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :
    .
  • Tout point d'une boule en est un centre :
    .
  • Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :
    Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
    Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.
  • Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux[5] », ce qui s'écrit aussi :
    .
  • Pour qu'une suite soit de Cauchy, il suffit que

Application[modifier | modifier le code]

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique[6].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette notion a été introduite par Marc Krasner (de), « Nombres semi-réels et espaces ultramétriques », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 219, no 2,‎ , p. 433-435 (lire en ligne), qui signale : « Les seuls espaces ultramétriques considérés jusqu'à présent semblent être les corps et les algèbres valués ».
  2. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques ; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 652-653.
  3. Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions], chap. III, § 14, problème 1.
  4. Pour leur démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  5. (en) Emil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, AMS, (ISBN 9780821840757, lire en ligne), p. 44.
  6. I. C. Lerman, Les bases de la classification automatique, Gauthier-Villars, 1970.