Nombre parfait

Illustration du caractère parfait du nombre 6 à l'aide de réglettes Cuisenaire : 6 est divisible par 1 (réglettes blanches), par 2 (réglettes rouges) et par 3 (réglettes vertes) et la somme de ces trois réglettes redonne bien 6

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs sauf lui-même (ses diviseurs stricts). Plus formellement, un nombre parfait $n$ est un entier tel que $\sigma (n)=2n$ où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de $n$. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs positifs sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 6 = 1 + 2 + 3, et 12 n'est pas un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, mais 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Fin 2024, seuls 52 nombres parfaits sont connus, et ils sont tous pairs. Et on ne sait pas s'il existe ou non des nombres parfaits impairs, ni s'il existe un nombre infini de nombres parfaits pairs.

Nombres parfaits pairs

Premières découvertes

Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au III^e siècle av. J.-C., a démontré que si $M=2^{p}-1$ est premier, alors $M(M+1)/2=2^{p-1}(2^{p}-1)$ est parfait.

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIII^e siècle, a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme $M_{p}=2^{p}-1$, l'entier $p$ étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :

$2^{p-1}(2^{p}-1)=2^{p-1}M_{p}=1+2+4+\cdots +2^{p-1}+M_{p}+2M_{p}+4M_{p}+\cdots +2^{p-2}M_{p}.$

Démonstration du théorème d'Euclide-Euler

On veut montrer l'équivalence :

A = 2^p−1(2^p − 1) (avec 2^p − 1 premier) ⇔ A est un nombre parfait pair.

Sens direct

Soit A = 2^p−1(2^p − 1), où 2^p − 1 est premier.

$\sigma (A)=\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).$

Les diviseurs de 2^p−1 sont 1, 2, 4, 8, ..., 2^p−1. Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique, qui vaut donc 2^p − 1.

Or ce nombre est premier. Ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même et leur somme vaut 2^p.

En combinant ces résultats :

${\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1)\\&=2A.\end{aligned}}$

Par conséquent A = 2^p−1(2^p − 1) est parfait.

Sens réciproque

Supposons que A soit un nombre parfait pair. A = 2^p−1x, où x est un entier impair.

Comme A est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :

$\sigma (A)=2A=2^{p}x=\sigma (2^{p-1}x)=\sigma (2^{p-1})\sigma (x)=(2^{p}-1)\sigma (x)$.

Ainsi $2^{p}x=(2^{p}-1)\sigma (x)$.

De cette égalité, le facteur impair 2^p − 1 du côté droit doit diviser x, le seul facteur impair du côté gauche (lemme de Gauss). Ainsi il existe un entier y < x, tel que x = y(2^p − 1). On divise les deux côtés de l'égalité par le facteur commun (non nul) 2^p − 1 :

$2^{p}y=\sigma (x)$.

Or $2^{p}y=\sigma (x)\geq x+y\ =2^{p}y$ (on connait au moins deux diviseurs distincts de x : x et y. Il pourrait y en avoir d'autres. D'où $\sigma (x)\geq x+y$).

Comme il y a égalité, $\sigma (x)=x+y$. Les seuls diviseurs de x sont donc x et y, ce qui prouve que x est premier, et donc y = 1 et x = 1(2^p − 1) = 2^p − 1.

Ainsi A = 2^p−1(2^p − 1) avec 2^p − 1 premier. Ce qui était recherché.

Exemples

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :

• 6 = 2¹(2² − 1) = (1 + 2) + 3 ;
• 28 = 2²(2³ − 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
• 496 = 2⁴(2⁵ − 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
• 8 128 = 2⁶(2⁷ − 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064).

Depuis, le total est passé à 52 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 52 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en octobre 2024) sans même que l'on sache, à partir du 49^e, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts).

Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant (correspondant à la suite A000396 de l'OEIS) :

p	Nombre de Mersenne premier Mp	Nombre parfait 2p − 1Mp
2	3	6
3	7	28
5	31	496
7	127	8 128
13	8 191	33 550 336
17	131 071	8 589 869 056
19	524 287	137 438 691 328

Propriétés

• Un nombre parfait pair étant de la forme $2^{p-1}(2^{p}-1)$, c'est un nombre hexagonal (donc aussi un nombre triangulaire) et, en tant que tel, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence $2^{p}-1$.
• Un nombre parfait pair, excepté le premier, est la somme des $2^{(p-1)/2}$ premiers cubes impairs.

Démonstration

La somme des $N$ premiers cubes impairs est $\sum _{k=1}^{N}(2k-1)^{3}=N^{2}(2N^{2}-1)$ ( A002593) , d'où le résultat avec $N=2^{(p-1)/2}$.

Exemples : 28 = 1³ + 3³ ; 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ ; 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

• Le seul nombre parfait pair qui est égal à la somme de deux cubes est le nombre $28$. En conséquence, $28$ est aussi le seul nombre parfait pair de la forme $x^{3}+1$.

• En base 10, un nombre parfait pair $2^{p-1}(2^{p}-1)$ se termine par $6$ (si $p=2$ ou si $p$ est de la forme $4k+1$) ou par $8$ (si $p$ est de la forme $4k+3$).

Démonstration

La propriété est constatée sur les premiers nombres parfaits pairs $6,28,496,8128$ . Démontrons la pour tout entier $n=2^{p-1}\times (2^{p}-1)$ avec $p$ impair différent de $1$. En base dix, le chiffre des unités de $2$ est $2$, celui de $2^{2}$ est $4$, de $2^{3}$ est $8$, de $2^{5}$ est $6$ puis, pour les puissances suivantes de $2$, on retrouve le cycle des chiffres d'unités: $2,4,8,6$. Si $p$ est impair, le chiffre des unités est $2$ (pour $p=4k+1$) ou $8$ (pour $p=4k+3$). De même le chiffre des unités de $2^{p-1}$, $p$ impair différent de $1$, est $4$ (pour $p=4k+3$) ou $6$ (pour $p=4k+1$). Le chiffre des unités du nombre $n=2^{p-1}\times (2^{p}-1)$ avec $p$ impair différent de $1$ est donc égal à celui de $6\times 1$ ou $4\times 7$, donc $6$ (pour $p=4k+1$) ou $8$ (pour $p=4k+3$). Or tous les nombres parfaits pairs, sauf $6$, sont de cette forme, avec $p$ impair premier. Et la propriété est vérifiée par $6$. Donc elle est vraie pour tous les nombres parfaits pairs.

Cette propriété peut être précisée et étendue comme suit :

• écrit en base dix, tout nombre parfait pair où $p$ est de la forme $4k+3$ se termine par $28$.

Démonstration

Soit $p=4k+3$ (premier ou non), et $N(k)=N_{1}(k)\times N_{2}(k)$ avec $N_{1}(k)=2^{p-1}=2^{4k+2}$ et $N_{2}(k)=2^{p}-1=2^{4k+3}-1$. Rappelons d'abord que tout nombre entier $n$ peut s'écrire en base dix comme $n=a_{1}a_{2}\cdots a_{s}du$ avec $n\equiv 10\times d+u[100]$ et que, si $m$ est un autre entier se terminant, écrit en base dix, par $vw$ alors : $n\times m\equiv 10\times (d\times w+u\times v)+u\times w[100]$. Donc le chiffre des dizaines et celui des unités de $n\times m$ sont les mêmes que ceux du nombre $q=10\times (d\times w+u\times v)+u\times w$. Remarquons que $N_{1}(k+1)=16\times N_{1}(k)$ et que $N_{1}(1)\equiv 4[100]$. Donc, en appliquant le rappel précédent avec $m=16$, on démontre successivement que : $N_{1}(2)\equiv 64[100]$, $N_{1}(3)\equiv 24[100]$, $N_{1}(4)\equiv 84[100]$, $N_{1}(5)\equiv 44[100]$ puis $N_{1}(6)\equiv N_{1}(1)\equiv 4[100]$. Ce qui démontre que les nombres $N_{1}(k)$ écrits en base dix se terminent de façon cyclique de période 5 par: $04,64,24,84,44$. De même les terminaisons successives de $N_{2}(k)$ sont $07,27,47,67,87$ avec aussi une période de 5. Et les produits deux à deux de ces terminaisons, qui donnent les terminaisons successives de $N(k)$, se terminent tous par $28$, ce qui démontre la propriété.

• écrit en base dix, tout nombre parfait pair où $p$ est de la forme $4k+1$ se termine par $16,36,56,76$ ou $96$ , le seul ayant cette dernière terminaison étant $496$.

Démonstration

Soit $p=4k+1$ (premier ou non), et $N(k)=N_{1}(k)\times N_{2}(k)$ avec $N_{1}(k)=2^{p-1}=2^{4k}$ et $N_{2}(k)=2^{p}-1=2^{4k+1}-1$. Rappelons d'abord que tout nombre entier $n$ peut s'écrire en base dix comme $n=a_{1}a_{2}\cdots a_{s}du$ avec $n\equiv 10\times d+u[100]$ et que, si $m$ est un autre entier se terminant, écrit en base dix, par $vw$ alors : $n\times m\equiv 10\times (d\times w+u\times v)+u\times w[100]$. Donc le chiffre des dizaines et celui des unités de $n\times m$ sont les mêmes que ceux du nombre $q=10\times (d\times w+u\times v)+u\times w$. Remarquons que $N_{1}(k+1)=16\times N_{1}(k)$ et que $N_{1}(1)\equiv 16[100]$. En appliquant le rappel précédent avec $m=16$, on démontre successivement que : $N_{1}(2)\equiv 56[100]$, $N_{1}(3)\equiv 96[100]$, $N_{1}(4)\equiv 36[100]$, $N_{1}(5)\equiv 76[100]$ puis $N_{1}(6)\equiv N_{1}(1)\equiv 16[100]$. Ce qui démontre que les nombres $N_{1}(k)$ écrits en base dix se terminent de façon cyclique de période 5 par : $16,56,96,36,76$. De même les terminaisons successives de $N_{2}(k)$ sont $31,11,91,71,51$ avec aussi une période de 5. Et les produits deux à deux de ces terminaisons, qui donnent les terminaisons successives de $N(k)$, se terminent par $96,16,36,56,76$, avec $N(k)\equiv 96$ seulement pour $k=1$ et tous les $k$ de la forme $k=1+5\times t$. Or, sauf pour $t=0$ (donc $k=1$, $p=5$ et $N=496$), tous les nombres $p=4k+1=20t+5$ sont des nombres composés multiples de $5$ : donc $N(k)$ pour $k=1+5\times t$ n'est parfait que pour $t=0$, et le seul nombre parfait se terminant par $96$ est $496$. Et tous les autres nombres parfaits générés par $p=4k+1$ ($p$ premier) se terminent par $16,36,56,76$, ce qui finit de démontrer la propriété.

• En base 9, un nombre parfait pair différent de $6$ se termine toujours par $1$.

Démonstration

Soit $n$ un nombre parfait pair différent de $6$. Donc $n=2^{p-1}\times (2^{p}-1)$, avec $p$ premier impair.

En remarquant que $4^{k}\equiv 4[6]$ pour tout $k>0$, on comprend que pour tout $p$ impair supérieur à $2$, $2^{p}=2\times 2^{p-1}\equiv 2[6]$. Donc $2^{p}$ est de la forme $6t+2$, et en conséquence $2^{p}-1=6t+1$ et $2^{p-1}=3t+1$. Donc $n=(3t+1)\times (6t+1)=18t^{2}+9t+1\equiv 1[9]$.

• Tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux.

Nombre parfait impair

Dès l'Antiquité, des mathématiciens s'interrogent sur l'existence de nombres parfaits impairs. L'impossibilité de démontrer cette existence, même seulement en exhibant un seul exemple de tel nombre, amène Jacques Lefèvre en 1496 à affirmer, sans en donner de preuve, que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide, donc qu'aucun nombre parfait impair n'existe.

Dans la seconde moitié du XVIIIème siècle, Euler démontre qu'un nombre parfait impair, s'il devait en exister un, serait de la forme :

$n=q^{\alpha }\times m^{2}$

où $m$ est un nombre impair, $q$ un nombre premier impair qui ne divise pas $m$ et où la relation suivante est remplie : $q\equiv \alpha \equiv 1[4]$.

Démonstration

Notons la décomposition en produit de facteurs premiers de l'entier parfait impair $n$ comme $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{r}^{a_{r}}$, où les $p_{i}$ sont des nombres premiers impairs distincts, et démontrons que tous les exposants $a_{i}$ sauf un sont pairs. Comme pour tout entier, on a : $\sigma (n)=\sigma (p_{1}^{a_{1}})\sigma (p_{2}^{a_{1}})\dots \sigma (p_{r}^{a_{r}})$, où $\sigma (t)$ est le nombre de diviseurs de l'entier $t$. Comme $n$ est parfait, on a donc : $2n=\sigma (p_{1}^{a_{1}})\sigma (p_{2}^{a_{1}})\dots \sigma (p_{r}^{a_{r}})$. Comme $n$ est impair, $4$ ne divise pas $2n$, donc un seul des $\sigma (p_{i}^{a_{i}})$ est pair, et tous les autres sont impairs. Or, puisque $p_{i}$ est impair, $\sigma (p_{i}^{a_{i}})=1+p_{i}+p_{i}^{2}+\cdots +p_{i}^{a_{i}}$ est pair si et seulement si $a_{i}$ est impair : donc tous les $a_{i}$ sauf un sont pairs.

La décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ est donc de la forme : $n=q^{\alpha }m^{2}=q^{\alpha }s_{1}^{2b_{1}}s_{2}^{2b_{2}}\dots s_{t}^{2b_{t}}$ avec $\alpha$ impair.

Démontrons maintenant que $q\equiv \alpha \equiv 1[4]$. Comme $n$ est impair, $q$ l'est aussi, donc $q\equiv 1[4]$ ou $q\equiv 3[4]$. Supposons que $q=3[4]$ : ceci est équivalent à supposer que $q=-1[4]$. On aurait donc : $\sigma (q^{\alpha })=1+q+q^{2}+\cdots +q^{\alpha }\equiv 1+(-1)+(-1)^{2}+\cdots +(-1)^{\alpha }[4]\equiv 0[4]$ car $\alpha$ est impair. Mais ceci est impossible car, comme $2n=\sigma (n)=\sigma (q^{\alpha })\sigma (s_{1}^{2b_{1}})\sigma (s_{2}^{2b_{2}})\dots \sigma (s_{t}^{2b_{t}})$ , $2n$ serait divisible par $4$ alors que $n$ est impair. Donc il est impossible que $q\equiv 3[4]$, et nécessairement $q\equiv 1[4]$. Et donc $\sigma (q^{\alpha })=1+q+q^{2}+\cdots +q^{\alpha }\equiv 1+\alpha [4]$, avec $\sigma (q^{\alpha })$ pair non multiple de $4$. Donc $\sigma (q^{\alpha })\equiv 2[4]$ et $\alpha \equiv 1[4]$.

Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent encore si des nombres parfaits impairs existent, même si la plupart d'entre eux conjecturent qu'il n'en existe pas.

Les travaux menés sur ce sujet par de nombreux mathématiciens ont mis en évidence un nombre croissant de propriétés qu'un nombre parfait impair N, s'il devait exister, devrait avoir. Certaines d'entre elles sont indiquées ci-dessous:

• N a une décomposition en facteurs premiers de la forme $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}}$ où les entiers q, p_i, α et e_i vérifient les propriétés suivantes :
  • q, p₁, … , p_k sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
  • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
  • le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3 ;
  • la relation e₁ ≡ e₂ ≡ … ≡ e_k ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite ;
  • q^α > 10⁶² ou p_j^2e_j > 10⁶² pour au moins un j ;
  • N est inférieur à 2^4k.
  • Si e_i ≤ 2 pour tout i :
    • le plus petit diviseur premier de N est au moins 739 ;
    • α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12).
• N est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117.
• N est supérieur à 10^{1 500}.
• Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à 10⁸.
• Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à 10⁴ et le troisième à 100.
• N se décompose en au moins 101 facteurs premiers dont au moins 10 facteurs premiers distincts. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts.

John Voight a trouvé un nombre impair N = n ⋅ p où n et p sont premiers entre eux, p premier et $\sigma (n)(p-1)=2N$, alors qu'il faudrait $\sigma (n)(p+1)=2N$ pour que N soit parfait impair ( $n=3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}$ et $p=127$) . Il considère alors $-N=n(-p)$ comme nombre parfait impair négatif.

En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe.

Exemples de propriétés

Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. L'étude des nombres parfaits a conduit à la découverte d'une grande variété de leurs propriétés, dont certaines sont indiquées ci-dessous :

• Aucun nombre parfait n'est un carré parfait.

Démonstration

Démontrons d'abord qu'un nombre parfait pair ne peut être un carré parfait. Si $n$ est un nombre parfait pair, il est de la forme $2^{p-1}(2^{p}-1)$ avec $2^{p}-1$ premier. Comme $n$ n'est divisible qu'une fois par $2^{p}-1$, il ne peut être un carré parfait.

Démontrons maintenant par l'absurde qu'un nombre parfait impair ne peut être un carré parfait. Si $n$ était un nombre parfait impair et un carré parfait, sa décomposition en produit de facteurs premiers serait de la forme $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{r}^{a_{r}}$, avec tous les $p_{i}$ impairs et tous leurs exposants $a_{i}$ pairs. Le nombre de ses diviseurs, tous impairs, serait donc $d(n)=(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{r}+1)$ qui est impair. Comme $n$ est supposé parfait, on devrait avoir $\sigma (n)=2\times n$ , où $\sigma (n)$ est la somme de tous les diviseurs de $n$. Or $\sigma (n)$ est impair car somme de $d(n)$, qui est impair, nombres impairs. Il est donc impossible d'avoir $\sigma (n)=2\times n$. Et si $n$ est un nombre parfait, il ne peut être un carré parfait.

• Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait est pair.
• Tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière.
• La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 .
  • exemple pour $n=6$: 1/6 + 1/3 + 1/2+ 1/1 = 2 ;
  • exemple pour $n=28$ : 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2.

Une démonstration simple de cette propriété pour les nombres parfaits pairs est donnée ci-dessous :

Démonstration

Pour $n=2^{p-1}(2^{p}-1)$ , cette somme est égale à $\left(\sum _{k=0}^{p-1}{\frac {1}{2^{k}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{p}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)=2$.

• Aucun nombre parfait n'est un cube parfait.
• Un nombre parfait n'est pas divisible par 105
• Un nombre de Fermat ne peut être parfait.
• Le seul nombre parfait sans facteur carré est 6.

Démonstration

Si $n$ est un nombre parfait pair, alors il est de la forme $2^{p-1}\times (2^{p}-1)$. S'il n'a pas de facteur carré il faut que $p-1<2$. Donc $p=2$, et $6$ est le seul nombre parfait pair sans facteur carré.

Si $n$ est un nombre parfait impair, alors, comme énoncé et démontré dans le chapitrer relatif aux propriétés d'éventuels nombres parfaits impairs, il est de la forme $n=q^{\alpha }\times m^{2}$, donc a au moins un facteur carré.

Donc $6$ est le seul nombre parfait sans facteur carré.

Notions apparentées

Si la somme des diviseurs stricts est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.

Voir aussi

• Nombre presque parfait
• Nombre de Descartes (faux nombre parfait impair)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect number » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (es) Sobre el patrón de los números primos
• (en) Known Perfect Numbers