Nombre parfait

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En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel n tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Cela revient à dire qu'un entier naturel est parfait s'il est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Ainsi 6 est un nombre parfait car 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.

Voir la suite A000396 de l'OEIS.

Nombres parfaits pairs[modifier | modifier le code]

Premières découvertes[modifier | modifier le code]

Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au IIIe siècle av. J.-C., a prouvé que si M = 2p − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2p–1(2p – 1) est parfait.

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme Mp = 2p − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :

Exemples[modifier | modifier le code]

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :

  • 6 = 21(22 – 1) = (1 + 2) + 3 ;
  • 28 = 22(23 – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
  • 496 = 24(25 – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
  • 8 128 = 26(27 – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064).

Depuis, le total est passé à 49 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 49 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en janvier 2016) sans même que l'on sache, à partir du 44e, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts)[1],[2].

Les sept premiers sont donnés dans le tableau suivant[3] :

p Nombre de Mersenne premier Mp Nombre parfait 2p–1Mp
2 3 6
3 7 28
5 31 496
7 127 8 128
13 8 191 33 550 336
17 131 071 8 589 869 056
19 524 287 137 438 691 328

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux[4].

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2n−1(2n − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2n − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2(n−1)/2 premiers cubes impairs. Par exemple :

28 = 13 + 33 ;
496 = 13 + 33 + 53 + 73 ;
8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Nombres parfaits impairs[modifier | modifier le code]

Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. En 1496, Jacques Lefèvre a affirmé que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide[5], ce qui impliquerait bien sûr qu'aucun nombre parfait impair n'existe. En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe[6].

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes :

  • N est supérieur à[7] 101 500.
  • N est de la forme
    où :
    • q, p1, … , pk sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
    • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
    • le plus petit facteur premier de N est inférieur à[8] (2k + 8) / 3 ;
    • la relation e1e2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite[9] ;
    • qα > 1062 ou pj2ej > 1062 pour au moins un[7] j ;
    • N est inférieur à[10] 24k+1.
  • Si ei ≤ 2 pour tout i :
    • le plus petit diviseur premier de N est au moins[11] 739 ;
    • α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12)[9].
  • Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à[12] 108.
  • Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à[13] 104 et le troisième à[14] 100.
  • N comporte au moins 101 diviseurs premiers[7] et au moins 10 diviseurs premiers distincts[15]. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts[16].

Propriétés mineures[modifier | modifier le code]

Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :

  • Un nombre parfait impair n'est pas divisible par[17] 105.
  • Un nombre parfait impair est de la forme[18] 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117.
  • Le seul nombre parfait pair de la forme est 28[19].
  • Un nombre de Fermat ne peut être parfait[20].
  • La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 :
    • pour 6,  ;
    • pour 28,
  • Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait N (pair ou impair) est pair, puisque N ne peut[1] être un carré parfait.
  • En base 10, tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28; en base 9, à la seule exception de 6, ils se terminent tous par 1[21],[22].

Notions apparentées[modifier | modifier le code]

Si la somme des diviseurs est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect number » (voir la liste des auteurs).

  1. a et b (en) Mersenne primes and perfect numbers sur le site Prime Pages.
  2. (en) GIMPS Milestones sur le site Great Internet Mersenne Prime Search.
  3. Pour toute la liste connue, voir « Nombre de Mersenne premier ».
  4. (en) Douglas E. Iannucci, « The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3, 2000, Article 00.1.2.
  5. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, p. 6.
  6. (en) Oddperfect.org.
  7. a, b et c (en) Pascal Ochem et Michaël Rao, « Odd perfect numbers are greater than 101500 », Math. Comp. (en), vol. 81, no 279,‎ , p. 1869-1877 (DOI 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4, lire en ligne).
  8. (de) Otto Grün (de), « Über ungerade vollkommene Zahlen », Mathematische Zeitschrift, vol. 55, no 3,‎ , p. 353-354 (DOI 10.1007/BF01181133).
  9. a et b (en) Wayne L. McDaniel, « The non-existence of odd perfect numbers of a certain form », Archiv der Mathematik (Basel), vol. 21,‎ , p. 52-53 (DOI 10.1007/BF01220877).
  10. (en) Pace P. Nielsen, « An upper bound for odd perfect numbers », Integers, vol. 3,‎ , A14 (lire en ligne).
  11. (en) Graeme L. Cohen, « On the largest component of an odd perfect number », J. Australian Mathematical Society, vol. 42, no 2,‎ , p. 280-286 (lire en ligne).
  12. (en) Takeshi Goto et Yasuo Ohno, « Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 », Math. Comp.,‎ (lire en ligne).
  13. (en) D. E. Iannucci, « The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand », Math. Comp., vol. 68, no 228,‎ , p. 1749-1760 (lire en ligne)
  14. (en) D. E. Iannucci, « The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred », Math. Comp., vol. 69, no 230,‎ , p. 867-879 (lire en ligne).
  15. (en) Pace P. Nielsen, « Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds », Math. Comp., vol. 84,‎ , p. 2549-2567 (DOI 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X, lire en ligne).
  16. (en) Pace P. Nielsen, « Odd perfect numbers have at least nine different prime factors », Math. Comp., vol. 76, no 260,‎ , p. 2109-2126 (DOI 10.1090/S0025-5718-07-01990-4, lire en ligne), arXiv:math.NT/0602485.
  17. (de) Ullrich Kühnel, « Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen », Mathematische Zeitschrift, vol. 52,‎ , p. 201-211 (lire en ligne).
  18. (en) Tim S. Roberts, « On the Form of an Odd Perfect Number », Australian Mathematical Gazette, vol. 35, no 4,‎ , p. 244 (lire en ligne).
  19. (en) A. Makowski, « Remark on Perfect Numbers », Elemente der Mathematik, vol. 17, no 109,‎ .
  20. (en) Florian Luca, « The anti-social Fermat number », Amer. Math. Monthly, vol. 107,‎ , p. 171-173.
  21. H. Novarese. Note sur les nombres parfaits, Texeira J. VIII (1886), 11-16.
  22. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, p. 25.

Liens externes[modifier | modifier le code]