Racine de l'unité

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En mathématiques, une racine de l'unité est un nombre complexe dont une puissance entière non nulle vaut 1, c'est-à-dire tel qu'il existe un nombre entier naturel non nul n tel que ce nombre élevé à la puissance n égale 1. Ce nombre est alors appelé racine n-ième de l'unité. Quand cet entier n est le plus petit entier non nul[réf. nécessaire] pour lequel l'égalité est réalisée, on appelle ce nombre racine primitive n-ième de l'unité, ou racine primitive de l'unité d'ordre n.

Pour un entier n donné, toutes les racines n-ièmes de l'unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et ce sont exactement les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans ce cercle et ayant l'un de ses sommets d'affixe 1.

Les racines de l'unité du corps des complexes forment un groupe cyclique. On parle aussi de racine de l'unité et de racine primitive de l'unité dans un corps, voire un anneau unitaire quelconque. Les racines de l'unité forment toujours un groupe, mais qui n'est pas forcément cyclique dans le cas d'un anneau.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour un entier naturel non nul n donné, on appelle racine n-ième de l'unité toute solution complexe de l'équation

d'inconnue z. Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité.

L'expression « racine n-ième » n'a pas valeur de norme, elle provient de l'habitude qu'ont souvent les mathématiciens de nommer un entier naturel par la lettre n. Si l'entier en question est noté p, on parlera de « racine p-ième », etc.

Les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des nombres complexes avec 1 comme élément neutre.

Chaque racine du groupe a pour ordre l'entier d défini comme le plus petit entier strictement positif tel que . L'ordre d de la racine est un diviseur de n. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive quand elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire quand c'est un générateur de ce groupe cyclique.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les racines troisièmes (ou cubiques) de l'unité sont

ou encore .

Les racines primitives troisièmes de l'unité sont

La première est habituellement notée j et la seconde, son conjugué, ou .

Les racines quatrièmes de l'unité sont

Les racines primitives quatrièmes de l'unité sont

Propriétés[modifier | modifier le code]

Expression complexe[modifier | modifier le code]

On voit aisément que si est une racine n-ième de l'unité, et donc si , le module de vaut 1 et que, posant , on aura .

Les racines n-ièmes de l'unité peuvent donc s'écrire sous la forme

Lorsque l'entier n est supérieur ou égal à 2, la somme de ces nombres est nulle, un fait simple qui est souvent utile en mathématiques. Il peut être démontré de différentes manières, par exemple en reconnaissant une somme d'une progression géométrique (somme de termes consécutifs d'une suite géométrique) :

Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les nombres de la forme k et n sont premiers entre eux. Par conséquent, il y a φ(n) racines primitives n-ièmes de l'unité différentes, où φ désigne l'indicatrice d'Euler.

Polygones réguliers[modifier | modifier le code]

Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle de centre O (le point d'affixe zéro) et de rayon 1.

L'étude de ces nombres, grâce aux puissants outils de l'algèbre, facilite donc celle, beaucoup plus ancienne, des polygones réguliers.

Polynôme cyclotomique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Polynôme cyclotomique.

Les racines n-ièmes de l'unité sont précisément les racines du polynôme . Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les racines du polynôme d'indice n suivant :

sont les racines primitives n-ièmes de l'unité et la fonction indicatrice d'Euler. Le polynôme , appelé n-ième polynôme cyclotomique, a des coefficients entiers et est irréductible sur l'ensemble des rationnels (c’est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement positif à coefficients rationnels). Le cas particulier où n est premier, plus simple que le cas général, se déduit du critère d'Eisenstein (effectuer le changement de variable X = T+1, alors se traite immédiatement par le critère d'Eisenstein).

Chaque racine n-ième de l'unité est une racine primitive d-ième de l'unité pour exactement un diviseur positif de n. Cela implique que

Cette formule représente la décomposition du polynôme en produits de facteurs irréductibles et peut également être employée pour calculer récursivement les polynômes cyclotomiques. Par ailleurs elle permet récursivement de prouver que les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers et unitaires (la division de par un polynôme à coefficients entiers et unitaire donne bien un quotient également à coefficients entiers et unitaire.

Corps cyclotomiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Corps cyclotomique.

En adjoignant une racine primitive n-ième de l'unité à , nous obtenons le corps n-cyclotomique . Ce corps contient toutes les racines n-ièmes de l'unité et est le corps de décomposition sur du polynôme cyclotomique d'indice n. L'extension de corps est de degré et son groupe de Galois est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau .

Comme le groupe de Galois de est abélien, c'est une extension abélienne. Tout sous-corps d'un corps cyclotomique est une extension abélienne du corps des nombres rationnels. Dans ces cas, la théorie de Galois peut être écrite tout à fait explicitement en termes de périodes gaussiennes : cette théorie tirée du Disquisitiones Arithmeticae de Gauss fut publiée de nombreuses années avant la théorie de Galois.

Réciproquement, chaque extension abélienne du corps des nombres rationnels est un sous-corps d'un corps cyclotomique — un théorème de Kronecker, habituellement appelé le théorème de Kronecker-Weber parce que Weber en a établi la démonstration.

Généralisation à d'autres corps et anneaux[modifier | modifier le code]

Plus généralement une racine de l'unité dans un anneau commutatif (A,+,×) est un élément a tel que an=1A, pour un certain entier n, c'est-à-dire un élément d'ordre fini dans le groupe multiplicatif A*. Une racine primitive n-ième est un élément d'ordre n[1].


Dans un anneau intègre, en particulier un corps commutatif, il existe au plus n racines n-ièmes de l'unité (racines du polynôme Xn − 1).

Par exemple, les racines de l'unité de anneau ℤ/k sont les éléments inversibles de cet anneau par le théorème de Lagrange appliqué au groupe (ℤ/kℤ)* des inversibles de l'anneau. C'est encore le cas pour tout anneau fini, en particulier tout corps fini.

Ce groupe est cyclique quand p est premier, et plus généralement dans un corps fini le groupe des inversibles (donc des racines de l'unité) est cyclique. Il existe donc des racines primitives de l'unité, appelées aussi, éléments primitifs.

Le groupe multiplicatif d'un anneau ℤ/kℤ quelconque n'est plus forcément cyclique, c'est-à-dire qu'il n'existe pas forcément de racine primitive modulo k (voir l'article en lien pour des précisions).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Michel Demazure, Cours d'algèbre. Primalité Divisibilité. Codes, [détail de l’édition] p 74.