Primalité dans un anneau

En algèbre commutative, dans un anneau (commutatif) intègre, un élément $p$ est dit irréductible s'il n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. Il est dit premier s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit $ab$ divisible par $p$, l'un des deux facteurs $a$ ou $b$ est divisible par $p$. Tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers ou l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps), ces deux notions sont équivalentes.

Deux éléments $a$ et $b$ sont dits premiers entre eux si tout diviseur commun à $a$ et $b$ est inversible.

Introduction

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à trois couples de notions différentes. Dans la suite, $A$ est un anneau intègre et $a,b,p$ sont des éléments de $A$. Un idéal de $A$ est dit propre s'il est différent de $A$. La notation $(a)$ désigne l'idéal principal engendré par $a$ (c'est-à-dire l'ensemble des multiples de $a$).

Éléments premiers entre eux et élément irréductible

• On dit que $a$ et b sont premiers entre eux ou que $a$ est premier avec $b$ si tout diviseur commun à $a$ et $b$ est inversible.

Conditions équivalentes :

1. le PGCD de $a$ et $b$ (existe et) est inversible ;
2. l'idéal $(a)+(b)$ n'est inclus dans aucun idéal principal propre de $A$.

Probablement par influence des polynômes, la notion suivante n'est pas baptisée « élément premier », mais « élément irréductible » :

• On dit que $p$ est irréductible s'il est non nul, non inversible, et premier avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

1. $p$ n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles ;
2. $p$ n'est ni nul ni inversible, et ses seuls diviseurs sont les inversibles et les éléments associés à $p$ ;
3. $(p)$ est non nul, et maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de $A$.

Éléments indissolubles entre eux et élément premier

• Lorsque $a$ et $b$ sont non nuls, on dit qu'ils sont indissolubles entre eux (ou « premiers entre eux au sens de Gauss »)^{[réf. souhaitée]} si pour tout élément $x$ de $A$ ,

si $a$ divise $bx$ alors $a$ divise $x$.

Conditions équivalentes (d'après les deux dernières, cette notion est donc symétrique en $a$ et $b$) :

1. $b$ est simplifiable (ou : non diviseur de 0) dans l'anneau quotient $A/(a)$ ;
2. tout multiple de $a$ et $b$ est multiple de $ab$ ;
3. le PPCM de $a$ et $b$ (existe et) est égal au produit $ab$.

La définition correspondante est alors :

• $p$ est dit premier (ou indissoluble)^{[réf. souhaitée]} s'il est non nul, non inversible, et indissoluble avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

1. $p$ n'est ni nul ni inversible, et pour tout produit $ab$ divisible par $p$, l'un des facteurs $a$ ou $b$ est divisible par $p$ ;
2. $p$ est non nul et $A/(p)$ est intègre ;
3. (p) est un idéal premier non nul de $A$.

Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

• On dit que $a$ et $b$ sont étrangers s'il existe des éléments $u$ et $v$ de $A$ tels que $au+bv=1$, condition qui s'écrit aussi sous la forme $(a)+(b)=A$.

La définition correspondante est alors :

• On dit que $p$ est extrémal s'il est non nul, non inversible, et étranger à tout élément qu'il ne divise pas.^{[réf. souhaitée]}

Conditions équivalentes :

1. $p$ est non nul et non inversible, et tout élément de $A$ non multiple de p est inversible modulo p ;
2. (p) est un idéal maximal non nul de $A$;
3. $p$ est non nul et $A/(p)$ est un corps.

Liens entre ces trois notions

• étrangers ⇒ indissolubles entre eux ⇒ premiers entre eux.

Démonstration

Supposons a et b non nuls.

• Si a et b sont étrangers alors ils sont indissolubles entre eux :

  la preuve classique pour les entiers fonctionne en fait pour n'importe quel anneau commutatif.

• Si a et b sont indissolubles entre eux alors ils sont premiers entre eux :

  plus généralement, si m est un PPCM de a et b alors ab/m est un pgcd de a et b (la preuve pour les entiers proposée dans l'article Plus petit commun multiple fonctionne en fait pour n'importe quel anneau intègre).

• extrémal ⇒ premier ⇒ irréductible.

Ces deux implications se déduisent immédiatement des deux précédentes.

Leurs réciproques sont fausses (donc les réciproques des deux précédentes sont également fausses) : $K$ désignant un corps commutatif,

• dans $K[X,Y]$ et dans $\mathbb {Z} [X]$, $X$ est premier mais non extrémal (en fait ces deux anneaux ne contiennent aucun élément extrémal) ;
• • dans le sous-anneau K[T²,T³] de $K[T^{2}]$, l'élément $T^{2}$ est irréductible mais non premier (il divise $(T^{3})^{2}$ mais pas $T^{3}$) ;
  • dans $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ pour tout entier $d\geqslant 3$ non carré, 2 est irréductible (vu sa norme) mais non premier (il divise soit (1 + i√d)(1 – i√d), soit (i√d)², selon la parité de d…).

• Dans un anneau à PGCD (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).
• Dans un anneau de Bézout (anneau intègre à PGCD vérifiant l'identité de Bézout), et donc en particulier dans un anneau principal (comme $\mathbb {Z}$ ou $K[X]$), premiers entre eux implique même étrangers, donc les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (si bien que irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).

Articles connexes

• Factorisation des polynômes
• Théorèmes d'existence d'une infinité d'irréductibles