Valeur absolue ultramétrique

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Une valeur absolue ultramétrique est une application d'un corps K dans l'ensemble ℝ+ des nombres réels positifs vérifiant les trois propriétés suivantes[1] :

  • (axiome de séparation) ;
  • (morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ+*) ;
  • (inégalité ultramétrique)

quels que soient les éléments et de K.

Exemples[modifier | modifier le code]

Valeur absolue triviale[modifier | modifier le code]

La valeur absolue triviale sur K associe à 0 la valeur 0, et à tout autre élément de K la valeur 1.

C'est la valeur absolue ultramétrique associée à la valuation triviale sur K.

Valeur absolue p-adique[modifier | modifier le code]

Soit un nombre premier arbitraire . On peut écrire de façon unique n'importe quel nombre rationnel sous la forme :

et où et sont premiers entre eux et premiers avec .

On définit alors l'application associant à un nombre rationnel la valeur . Par exemple,

Cette application est une valeur absolue ultramétrique sur le corps , associée à la valuation p-adique.

Liens avec les notions voisines[modifier | modifier le code]

  • Une telle application est un cas particulier de valeur absolue sur un corps.
  • L'application d : (x, y) ↦ |y – x| est par conséquent une distance sur K, la symétrie étant due au fait que pour tout élément de K.
  • Cette distance est ultramétrique.
  • Une application est une valeur absolue ultramétrique si et seulement si c'est une valeur absolue associée à une valuation à valeurs réelles[2].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Notons désigne l'élément neutre pour la multiplication de K.


pour tout élément de K[3].

  • Pour tout couple (a, b) d'éléments du corps K,

[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a b et c Martin Aigner, Günter M. Ziegler et Nicolas Puech, Raisonnements divins, Springer, (ISBN 978-2-8178-0399-9), p. 150-151
  2. N. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, no 2, aperçu sur Google Livres.
  3. Ces propriétés proviennent du fait qu'il s'agit d'un cas particulier de valeur absolue sur un corps.
  4. Cet énoncé équivaut au fait que dans l'espace métrique (K, d), tout triangle est isocèle et de base inférieure ou égale aux deux côtés égaux. C'est une propriété générale des espaces ultramétriques, démontrée dans l'article « Distance ultramétrique ».

Article connexe[modifier | modifier le code]

Norme ultramétrique