Sédénion

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En mathématiques, les sédénions, notés \mathbb S, forment une algèbre à 16 dimensions sur les réels. Leur nom provient du latin sedecim qui veut dire seize. Deux sortes sont actuellement connues :

  1. Les sédénions obtenus par application de la construction de Cayley-Dickson
  2. Les sédénions coniques (ou algèbre M).

Les sédénions de la construction de Cayley-Dickson[modifier | modifier le code]

Arithmétique[modifier | modifier le code]

À l'instar des octonions, la multiplication des sedénions n'est ni commutative ni associative. De plus, par rapport aux octonions, les sédénions perdent la propriété d'être alternatifs.

Les sédénions ont un élément neutre multiplicatif 1 et des inverses pour la multiplication, mais ils ne forment pas une algèbre de division. Cela parce qu'ils ont des diviseurs de zéro.

Chaque sedénion est une combinaison linéaire, à coefficients réels, des sédénions unités 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 et e15, qui forment la base de l'espace vectoriel des sédénions. La table de multiplication de ces sédénions unitaires est établie comme suit :

× 1
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
e9
e10
e11
e12
e13
e14
e15
1
1
e1
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e1
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e15
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e11
e10
-e9
e8
-e7
e6
-e5
-e4
e3
e2
-e1
-1

Les sédénions coniques / algèbre M à 16-dim.[modifier | modifier le code]

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Arithmétique[modifier | modifier le code]

À la différence des sédénions issus de la construction de Cayley-Dickson, qui sont construits sur l'unité (1) et 15 racines de l'unité négative (-1), les sédénions coniques sont construits sur 8 racines carrées de l'unité positive et négative. Ils partagent la non commutativité et la non associativité avec l'arithmétique des sédénions de Cayley-Dickson ("sédénions circulaires"), néanmoins les sédénions coniques sont modulaires et alternatifs.

Les sédénions coniques contiennent à la fois les sous-algèbres des octonions circulaires, les octonion coniques et les octonions hyperboliques. Les octonions hyperboliques sont de manière calculatoire équivalents aux octonions déployés.

Les sédénions coniques contiennent des éléments idempotents, nilpotents et donc, des diviseurs de zéro. Avec l'exception de leurs éléments nilpotents et zéro, l'arithmétique est close avec le respect des opérations de puissance et de logarithme.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
  • Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
  • Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
  • Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III, Online at http://www.kevincarmody.com/math/sedenions3.pdf (2006)

Articles connexes[modifier | modifier le code]