Lemme de Hensel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant l’algèbre
Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel, est un résultat applicable à une grande variété de situations permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton.

La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤp (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.

Énoncés[modifier | modifier le code]

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤp.

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe tel que alors, il existe tel que

Plus généralement, si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément α0 de A tel que, modulo I, P0) soit nul et P '0) soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A[1].

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe tel que, pour un certain entier N, on ait alors, il existe tel que

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, OK son anneau des entiers, fOK[X] et x un élément de OK tel queAlors :

  • la suite définie par et la formule de récurrence : est bien définie et vérifie
  • elle converge dans OK vers une racine ξ de f et
  • ξ est la seule racine de f dans la boule ouverte de OK de centre x et de rayon |f(x)/f '(x)|.
Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien (en), c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire fA[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes g et h premiers entre eux, alors g et h se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.

Application[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau local noethérien, complet pour la topologie M-adique associée à son idéal maximal M, et B une A-algèbre commutative[2], de type fini en tant que A-module. Alors, toute famille d'idempotents « orthogonaux[3] » de B/MB se relève, de façon unique, en une famille d'idempotents orthogonaux de B[1].

En effet, les idempotents sont les racines du polynôme P(X) := X2X, et si P(e) est nul alors P ' (e) est son propre inverse. Or B est complet (en) pour la topologie MB-adique, ce qui permet, grâce au lemme de Hensel (version 1 ci-dessus) de relever chaque idempotent de B/MB en un idempotent de B. Enfin, si deux idempotents de B sont orthogonaux modulo MB, alors ils le sont dans l'absolu : leur produit x est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Akhil Mathew, « Completions », sur CRing project.
  2. (en) David Eisenbud, Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (no 150), (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne), p. 189-190 signale que l'hypothèse « local » n'est pas nécessaire (l'énoncé vaut alors pour tout idéal M de A), et étend la preuve d'existence (sans unicité) au cas où A n'est pas commutative, mais seulement pour une famille au plus dénombrable.
  3. C'est-à-dire dont les produits deux à deux sont nuls.