Symbole de Legendre

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En théorie des nombres, le symbole de Legendre est une fonction de deux variables entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les résidus quadratiques. Il a été introduit par Adrien-Marie Legendre[1], au cours de ses efforts pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.

Définition[modifier | modifier le code]

Le symbole de Legendre est un cas particulier du symbole de Jacobi. Sa définition est la suivante :

Si p est un nombre premier et a un entier, alors le symbole de Legendre vaut :

  • 0 si a est divisible par p ;
  • 1 si a est un résidu quadratique modulo p (ce qui signifie qu'il existe un entier k tel que a k2 mod p) mais n'est pas divisible par p ;
  • −1 si a n'est pas un résidu quadratique modulo p.

Il ne dépend donc que de la classe de a modulo p.

Propriétés du symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

Multiplicativité[modifier | modifier le code]

L'application est complètement multiplicative.

En effet :

  • si est impair et sinon ;
  • pour p ≠ 2, dans le groupe multiplicatif (ℤ/pℤ)*, le produit de deux non-carrés est un carré car le sous-groupe des carrés est d'indice 2.

Critère d'Euler[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Critère d'Euler.

Si est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier ,

.

En effet, si est divisible par alors il en est de même de donc les deux entiers de l'équation sont congrus à 0 modulo , et si n'est pas divisible par , la congruence ci-dessus est exactement le critère d'Euler.

Lemme de Gauss[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Lemme de Gauss.

Soient un nombre premier et un entier non divisible par . Alors

est défini de la façon suivante :

considérons les entiers et leurs plus petits résidus positifs modulo , alors est le nombre de ces résidus qui excèdent ,

ou encore, de façon équivalente :

est le nombre d'entiers négatifs parmi , en désignant par , pour tout entier , l'unique entier de l'intervalle congru à modulo .

Loi de réciprocité quadratique[modifier | modifier le code]

  • Si est un autre nombre premier impair alors

Généralisation du symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Symbole de Jacobi.

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre , l'entier est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où est un nombre composé ( par exemple).

Analyse harmonique sur (ℤ/pℤ)*[modifier | modifier le code]

La multiplicativité complète du symbole de Legendre (voir supra) montre qu'il définit, pour p fixé, un morphisme de (ℤ/pℤ)* dans {–1, 1} ; c'est donc un caractère de Dirichlet. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un groupe fini. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstrations en arithmétique. On peut citer par exemple le calcul des sommes ou des périodes de Gauss, utilisées dans l'une des démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Legendre symbol » (voir la liste des auteurs).

  1. A. M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, 1798, p. 186.