Point fixe

 Pour l’article homonyme, voir Point fixe (aéronautique). 

En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.

Exemples :

• dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
• l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1, car $\frac{1}{-1}=-1$ et $\frac{1}{1}=1$.

Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtiennent en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.

Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction $x \mapsto x+1$ n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1.

Point fixe et suites récurrentes

On considère la fonction continue $f: E \rightarrow E$ et (u_n) la suite récurrente définie par sa valeur initiale u₀ et par la relation de récurrence u_n+1=f(u_n). Dans ce cas, si (u_n) converge, elle le fait nécessairement vers un point fixe de f.

Une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.

Point fixe attractif

Un point fixe attractif d’une application f est un point fixe x₀ de f tel qu’il existe un voisinage de $x_0$ sur lequel la suite de nombre réels

$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\ \dots$

converge vers $x_0$.

Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe, qui est attractif.

Cependant, tous les points fixes d’une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle $x \mapsto x^2+x$ possède un unique point fixe en 0, qui n’est pas attractif.

Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d’attracteur.

Théorèmes du point fixe

Article détaillé : Théorèmes de point fixe.

Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu’une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :

Théorème — Soit E un espace métrique complet muni d’une distance $d$ et $f: E \rightarrow E$ une application contractante (c’est-à-dire qu’il existe $k \in [0,1[$ tel que pour tous $(x,y) \in E^2$, $d(f(x),f(y)) \le k.d(x,y)$). Alors $f$ possède un unique point fixe $l$. De plus, ce point fixe est attractif.

Ce résultat permet de dire que toute suite de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $l$ et que $d(u_n,l) \le k^nd(u_0,l)$, ce qui permet d’avoir une estimation de la vitesse de convergence de la suite.

Utilisation en automatique

L’automatique consiste à fabriquer des systèmes qui convergent vers un point fixe (mais réglé arbitrairement par l’opérateur) et qui se nomme le point de consigne.

Article connexe

• Autorégulation