Inégalité triangulaire

Triangle

En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est le plus court. Cette inégalité peut être énoncée sous la forme d'une propriété ou bien d'une condition nécessaire à la bonne définition d'une distance.

Énoncés

En géométrie

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et CB vérifient les trois inégalités suivantes :

$AB \le AC + CB$

$AC \le AB + BC$

$BC \le BA + AC$

Une propriété se déduit de ces inégalités :

$|AC - CB| \le AB$

Une autre les complète :

$AB = AC + CB \Leftrightarrow C \in [AB]$

Pour les nombres complexes

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

$x=\text{affixe de }\overrightarrow{AC}$

$y=\text{affixe de }\overrightarrow{CB}$

On obtient cette formulation équivalente.

Pour $(x, y) \in\C^2$, on a :

• $|x+y| \le |x|+|y|$
• $\Big| |x| - |y| \Big| \le |x-y|$
• $|x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in\R_+^2-\{(0,0)\},\ \lambda x = \mu y$

Généralisation aux espaces préhilbertiens

Soit $(E, \langle \cdot | \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien. On note $\|\cdot \|$ la norme associée au produit scalaire. Pour $(a, b)\in E^2$, on vérifie alors :

• $\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$
• $\left| \|a\| - \|b\| \right| \le \|a - b\|$
• $\|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (x,y) \in\R_+^2-\{(0,0)\},\ x\cdot a = y \cdot b$

Point de vue axiomatique

Voir Distance (mathématiques) pour un article plus détaillé sur la notion de distance en mathématiques.

Soient E un ensemble et $d : E\times E\to\R^+$. On dit que d est une distance sur E si :

• $\forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=d(y,x)$
• $\forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$
• $\forall (x,y,z)\in E^3,\ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

La troisième propriété demandée à d pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire.

Démonstrations

Dans le cadre des nombres complexes

Lemme — Pour tout nombre complexe z on a :

• $\mathrm|{Re}(z)| \le |z|$ ;
• $\mathrm{Re}(z) = |z| \Longleftrightarrow z\in\R_+$.

Démonstration

Soient a,b les deux réels tels que z = a + ib.

Premièrement, $\mathrm{Re}(z) \le |\mathrm{Re}(z)| = \sqrt{a^2}$.

Ensuite, $a^2 \le a^2 + b^2$, car $b^2\ge0$ Par croissance de la fonction $x\in\R_+\mapsto\sqrt x\in\R$, on obtient $\sqrt{a^2}\le\sqrt{a^2 + b^2} = |z|$.

Finalement $\mathrm{Re}(z)\le|z|$.

Il y a égalité si Re(z) = | Re(z) | , c'est-à-dire si a est positif, et si | Re(z) | ² = | z | ², c'est-à-dire si b = 0.

Soient x,y deux nombres complexes.

Inégalités

• $|x+y|^2 = |x|^2+|y|^2 + 2\mathrm{Re}(x \bar y)$.

Or $\mathrm{Re}(x \bar y)\le|x\bar y| = |x||y|$, par le lemme.

Donc $|x+y|^2\le|x|^2+|y|^2 + 2|x||y| = (|x|+|y|)^2$.

Par croissance de $x\in\R_+\mapsto\sqrt x\in\R$, on obtient $|x+y| \le |x|+|y|$.

• Posons x' = x et y' = y − x.

Par ce qui précède, on a $|x' + y'|\le|x'| + |y'|$, c'est-à-dire $|y|\le|x|+|y-x|$, donc $|y| - |x|\le|y-x|=|x-y|$.

De même, $|x| - |y|\le|x-y|$.

Finalement, $\Big| |x| - |y| \Big| \le|x-y|$.

Cas d'égalité

Supposons que | x + y | = | x | + | y | .

On a alors $\mathrm{Re}(x \bar y) = |x\bar y|$. Par le lemme, $x\bar y$ est un réel positif. C'est-à-dire que x et y ont même argument.

Donc $\exists \theta\in\R, x = |x|e^{i\theta}, y = |y|e^{i\theta}$.

Finalement, on a bien λx = μy, avec λ = | y | et μ = | x | .

Dans le cadre d'un plan euclidien

La démonstration la plus rapide est d'utiliser une représentation complexe du plan euclidien et d'appliquer le résultat précédemment démontré.

Dans le cadre des espaces préhilbertiens

La démonstration a exactement la même structure que pour les complexes.

Soient $(E, \langle | \rangle)$ un espace préhilbertien et $(a, b)\in E^2$.

Inégalités

• On a $\|a + b\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2 + 2 \mathrm{Re}\langle a | b \rangle$.

Par le lemme, $\mathrm{Re}\langle a | b \rangle\le| \langle a | b \rangle |$.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $| \langle a | b \rangle |\le\|a\| \|b\|$.

D'où $\|a + b\|^2\le\|a\|^2 + \|b\|^2 + 2\|a\| \|b\|$.

Et donc $\|a + b\|\le\|a\| + \|b\|$.

• Posons a' = a et b' = b − a.

Par ce qui précède, on a $\|a'+b'\|\le\|a'\|+\|b'\|$, c'est-à-dire $\|b\|\le\|a\|+\|b-a\|$, donc $\|b\|-\|a\|\le\|b-a\|=\|a-b\|$.

De même, $\|a\|-\|b\|\le\|a-b\|$.

Finalement, $| \|a\| - \|b\| |\le\|a-b\|$.

Cas d'égalité

Supposons que $\|a + b\| = \|a\| + \|b\|$, et que $a \neq 0$.

Par ce qui précède, on a donc $\mathrm{Re}\langle a | b \rangle = |\langle a | b \rangle| = \|a\| \|b\|$.

Donc, par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, $\exists \lambda\in\C,\ b = \lambda\cdot a$.

Et $\langle a | b \rangle$ est un réel positif. Comme, $\langle a | b \rangle = \bar \lambda \|a\|^2$, λ est aussi un réel positif.

Finalement, $\|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in\R_+^2,\ \lambda\cdot a = \mu \cdot b$.

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