Inégalité triangulaire

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Triangle

En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime l'idée que la distance est une mesure minimale. Dans la géométrie euclidienne cela se traduit par le fait que la ligne droite est le chemin le plus court. Cette inégalité peut être énoncée sous la forme d'une propriété ou bien d'une condition nécessaire à la bonne définition d'une distance.

Énoncés[modifier | modifier le code]

En géométrie[modifier | modifier le code]

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et CB vérifient les trois inégalités suivantes :

AB \le AC + CB
AC \le AB + BC
BC \le BA + AC

Une propriété se déduit de ces inégalités :

|AC - CB| \le AB

Une autre les complète :

AB = AC + CB \Leftrightarrow C \in [AB]

Pour les nombres complexes[modifier | modifier le code]

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

 x=\text{affixe de }\overrightarrow{AC}
y=\text{affixe de }\overrightarrow{CB}

On obtient cette formulation équivalente.

Pour (x, y) \in\C^2, on a :

  • |x+y| \le |x|+|y|
  • \Big| |x| - |y| \Big| \le |x-y|
  • |x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in\R_+^2-\{(0,0)\},\ \lambda x = \mu y

Généralisation aux espaces préhilbertiens[modifier | modifier le code]

Soit (E, \langle \cdot | \cdot \rangle) un espace préhilbertien. On note \|\cdot \| la norme associée au produit scalaire. Pour (a, b)\in E^2, on vérifie alors :

  • \|a+b\| \le \|a\| + \|b\|
  • \left| \|a\| - \|b\| \right| \le \|a - b\|
  • \|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (x,y) \in\R_+^2\setminus\{(0,0)\},\ x\cdot a = y \cdot b

Point de vue axiomatique[modifier | modifier le code]

Voir Distance (mathématiques) pour un article plus détaillé sur la notion de distance en mathématiques.

Soient E un ensemble et d : E\times E\to\R^+. On dit que d est une distance sur E si :

  • \forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=d(y,x)
  • \forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y
  • \forall (x,y,z)\in E^3,\ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)

La troisième propriété demandée à d pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Dans le cadre des nombres complexes[modifier | modifier le code]

Lemme — Pour tout nombre complexe z on a :

  • \mathrm|{Re}(z)| \le |z| ;
  • \mathrm{Re}(z) = |z| \Longleftrightarrow z\in\R_+.

Soient x,y deux nombres complexes.

Inégalités[modifier | modifier le code]

  • |x+y|^2 = |x|^2+|y|^2 + 2\mathrm{Re}(x \bar y).

Or \mathrm{Re}(x \bar y)\le|x\bar y| = |x||y|, par le lemme.

Donc |x+y|^2\le|x|^2+|y|^2 + 2|x||y| = (|x|+|y|)^2.

Par croissance de x\in\R_+\mapsto\sqrt x\in\R, on obtient |x+y| \le |x|+|y|.

  • Posons x'=x et y'=y-x.

Par ce qui précède, on a |x' + y'|\le|x'| + |y'|, c'est-à-dire |y|\le|x|+|y-x|, donc |y| - |x|\le|y-x|=|x-y|.

De même, |x| - |y|\le|x-y|.

Finalement, \Big| |x| - |y| \Big| \le|x-y|.

Cas d'égalité[modifier | modifier le code]

Supposons que |x+y| = |x|+|y|.

On a alors \mathrm{Re}(x \bar y) = |x\bar y|. Par le lemme, x\bar y est un réel positif. C'est-à-dire que x et y ont même argument.

Donc \exists \theta\in\R, x = |x|e^{i\theta}, y = |y|e^{i\theta}.

Finalement, on a bien \lambda x = \mu y, avec \lambda = |y| et \mu = |x|.

Dans le cadre d'un plan euclidien[modifier | modifier le code]

La démonstration la plus rapide est d'utiliser une représentation complexe du plan euclidien et d'appliquer le résultat précédemment démontré.

Dans le cadre des espaces préhilbertiens[modifier | modifier le code]

La démonstration a exactement la même structure que pour les complexes.

Soient (E, \langle | \rangle) un espace préhilbertien et (a, b)\in E^2.

Inégalités[modifier | modifier le code]

  • On a \|a + b\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2 + 2 \mathrm{Re}\langle a | b \rangle.

Par le lemme, \mathrm{Re}\langle a | b \rangle\le| \langle a | b \rangle |.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, | \langle a | b \rangle |\le\|a\| \|b\|.

D'où \|a + b\|^2\le\|a\|^2 + \|b\|^2 + 2\|a\| \|b\|.

Et donc \|a + b\|\le\|a\| + \|b\|.

  • Posons a'=a et b'=b-a.

Par ce qui précède, on a \|a'+b'\|\le\|a'\|+\|b'\|, c'est-à-dire \|b\|\le\|a\|+\|b-a\|, donc \|b\|-\|a\|\le\|b-a\|=\|a-b\|.

De même, \|a\|-\|b\|\le\|a-b\|.

Finalement, | \|a\| - \|b\| |\le\|a-b\|.

Cas d'égalité[modifier | modifier le code]

Supposons que \|a + b\| = \|a\| + \|b\|, et que a \neq 0.

Par ce qui précède, on a donc \mathrm{Re}\langle a | b \rangle = |\langle a | b \rangle| = \|a\| \|b\|.

Donc, par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, \exists \lambda\in\C,\ b = \lambda\cdot a.

Et \langle a | b \rangle est un réel positif. Comme, \langle a | b \rangle = \bar \lambda \|a\|^2, \lambda est aussi un réel positif.

Finalement, \|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in\R_+^2,\ \lambda\cdot a = \mu \cdot b.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Inégalité de Minkowski