Paul Erdős

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Paul Erdős, né Pál Erdős (/ˈpaːl ˈɛrdøːʃ/[1]) le à Budapest et mort le à Varsovie, est un mathématicien hongrois.

Célèbre pour son excentricité, le nombre de ses publications scientifiques (environ 1 500) et de ses collaborateurs, son œuvre prolifique a donné naissance au concept de nombre d'Erdős représentant le degré de séparation (en termes de collaborations successives) entre un chercheur donné et le mathématicien hongrois.

Biographie[modifier | modifier le code]

Une vie de recherche[modifier | modifier le code]

Paul Erdős est un chercheur très prolifique, toutes disciplines confondues, avec plus de 1 500 articles de recherche publiés. En particulier, nombre de ses articles vise à étudier ses domaines de prédilection (théorie des graphes, théorie des nombres, combinatoire) sous des angles différents, et à améliorer sans cesse l'élégance des démonstrations. Parmi ses contributions se distingue, en particulier, le développement de la théorie de Ramsey et de l'application de la méthode probabiliste.

Enfance et adolescence[modifier | modifier le code]

Né dans une famille juive de Budapest, le futur mathématicien a pour parents deux professeurs de lycée, l'un de mathématiques et l'autre de physique, Anna et Lajos. Ils ont décidé de changer leurs noms germaniques — Wilhelm et Engländer, respectivement — pour un patronyme plus hongrois, afin de s'intégrer plus facilement comme cela est fréquent pour la communauté juive de Hongrie au début du XXe siècle : c'est Erdős, qui signifie littéralement « du bois ». Dès la naissance de Paul, Lajos et surtout Anna se montrent extrêmement protecteurs : le couple a deux filles (Klára et Magda, trois et cinq ans) qui meurent toutes deux de la scarlatine tandis qu'Anna se trouve à l'hôpital pour accoucher de son fils Paul[n 1]. Envoyé au front avec les troupes de l'Empire austro-hongrois au début de la Première Guerre mondiale, Lajos est rapidement capturé par l'armée russe et envoyé dans un goulag en Sibérie, où il apprend l'anglais de manière autodidacte. Sa mère, redoutant de ne pouvoir veiller sur son enfant hors du foyer, préfère dès lors engager un précepteur. C'est au domicile que le don inné de Paul commence à se manifester : à seulement trois ans, il est déjà capable d'effectuer mentalement des multiplications à trois chiffres. Avant même d'avoir quatre ans, il découvre par lui-même la notion des nombres négatifs, ce qui lui ouvre tout un éventail de nouveaux problèmes mathématiques. De retour au pays, le père de Paul prend le relais de la mère et éduque Paul à la maison. En plus des mathématiques, de la physique et de l'anglais, il lui apprend l'allemand, le français, le latin et le grec. Cette période d'enseignement à domicile n'est interrompue que pendant deux ans, pendant lesquels Erdős fréquente le Tavaszmező Gymnasium et le St Stephen Gymnasium. Le jeune Paul apprend les mathématiques à domicile, entre autres au moyen d'un magazine de mathématiques pour adolescents, communément appelé le Kömal. C'est ainsi que Paul découvre d'autres compagnons passionnés de mathématiques et établit un contact personnel avec chacun d'eux pour parler de mathématiques. Des adolescents, juifs pour la plupart, comme Pál Turán, George Szekeres, Esther Klein et Dezsö Lázár, créent ainsi une communauté liée par des goûts et des intérêts communs[3].

Études universitaires[modifier | modifier le code]

À dix-sept ans, Erdős envisage d'entrer à l'université des sciences de Budapest. Le jeune Juif subit la pression croissante exercée à l'encontre de sa communauté. Malgré cela, le talent d'Erdős parvient à se distinguer : ayant obtenu les meilleures notes aux examens nationaux, il peut s'y inscrire en 1930. Grâce à un lien très étroit avec ses amis mathématiciens, aux conseils de l'analyste Lipót Fejér et une large communauté professionnelle — dont le mathématicien Dénes Kőnig —, le talent d'Erdős explose. Après avoir développé les résultats de sa thèse durant la deuxième année de ses études universitaires, il obtient son doctorat en 1934 sous la direction de Féjer lui-même. Un des résultats, une nouvelle solution au postulat de Bertrand (aussi appelé théorème de Tchebychev) servira plus tard de lettre de présentation à la communauté internationale. Il a ainsi obtenu son doctorat de mathématiques à 21 ans sans même finir le cursus habituel[4],[5],[6].

Exil et recherche[modifier | modifier le code]

Royaume-Uni[modifier | modifier le code]

L'atmosphère est de plus en plus pesante à Budapest en 1934, en particulier pour la communauté juive, aussi Erdős décide-t-il de quitter la Hongrie. Son désir initial est de déménager en Allemagne, un pays à l'histoire mathématique riche. Mais comme il le constate avec dépit : « Hitler m'a précédé ». Il envoie donc au mathématicien britannique Louis Mordell, grand spécialiste de la théorie des nombres et chercheur à l'université de Manchester, une copie de l'un de ses travaux : une simple preuve de la conjecture de Schur sur les nombres abondants. Il reçoit facilement une subvention postdoctorale de 100 £ financée par la Royal Society, et ainsi débute son périple hors de Hongrie. Il s'installe à Manchester en . Il rencontre cette même année le mathématicien Godfrey Harold Hardy qui, à cinquante-sept ans, sentant ses capacités diminuer, déclare une fois de plus que les mathématiques appartiennent à la jeunesse : « Galois est mort à vingt et un ans, Abel à vingt-sept […]. Riemann à quarante […]. Je ne connais pas d'exemple d'un progrès majeur en mathématiques dû à un homme de plus de cinquante ans »[n 2]. Erdős ne fait que confirmer ce que tous pressentent : il s'agit d'un véritable génie capable de s'attaquer aux domaines mathématiques les plus variés. Il travaille ainsi sur la théorie des nombres — sa matière de prédilection à l'époque —, contribue de manière essentielle à la théorie des graphes et à la combinatoire, entre autres, puis démontre certains des premiers résultats de la théorie de Ramsey et de la combinatoire extrémale. Manchester n'est pas son seul ancrage : durant ses quatre années au Royaume-Uni, il travaille et dort dans différentes villes. C'est au cours de cette période qu'il bâtit son futur caractère nomade. L'Europe toute entière devenant dangereuse pour les Juifs, Erdős postule en 1937 pour un stage de recherche à l'Institute for Advanced Study (IAS) de Princeton. Stanislaw Ulam, ancien collaborateur d'Erdős au Royaume-Uni, soutient sa candidature. Paul Erdős effectue à l'été 1938 sa dernière visite dans son pays natal, rentre incognito au Royaume-Uni et embarque le à bord du Queen Mary en direction de New York[7].

États-Unis[modifier | modifier le code]

Ses premières années à l'IAS sont les plus productives et créatives du point de vue mathématique. Avec le Polonais Mark Kac, il développe un résultat à l'origine de la théorie probabiliste des nombres qui aboutira plus tard au théorème d'Erdős-Kac. Parmi de nombreuses autres contributions, il est également à l'origine d'un travail fondateur avec Pál Turán dans le domaine de l'approximation, résolvant un problème important de la théorie de la dimension formulé par le mathématicien polonais Witold Hurewicz. En 1940, sa bourse de recherche à Princeton n'est renouvelée que pour six mois supplémentaires[n 3]. Sans financement de l'institut, il est invité par Stanislaw Ulam à l'université de Wisconsin. Il accepte l'invitation. Là-bas, il continue à visiter diverses institutions américaines où il collabore avec plusieurs chercheurs : université de Pennsylvanie, Purdue[n 4], université Notre-Dame-du-Lac, université Stanford, université de Syracuse... toutes reçoivent la visite d'un Paul Erdős toujours plus voyageur. C'est alors que la vie d'Erdős connaît un tournant qui achève de consolider son caractère bohème. Sans enfants ni partenaire[n 5] et avec des emplois dans diverses universités pendant de courtes périodes sans charge d'enseignant, il ne se consacre plus qu'à voyager et à lancer des collaborations avec des mathématiciens américains. Il ne passe jamais plus de six mois dans un même endroit. Durant cette période, se renforce son caractère d'ascète, sans domicile fixe. [9]. C'est à cette époque qu'il parvient, avec le mathématicien Atle Selberg, à établir une preuve élégante du théorème des nombres premiers. Mais Selberg signe seul le document et obtient la médaille Fields l'année suivante[10].

Entre le marteau et l'enclume[modifier | modifier le code]

En 1945, à la fin de la guerre, Erdős reçoit des informations de Hongrie, par télégramme. Sa mère a survécu au ghetto juif de Budapest, mais son père, lui, est décédé trois ans plus tôt d'une crise cardiaque. De nombreux membres de sa famille et beaucoup d'amis ont trouvé la mort dans les camps d'extermination nazis. Il ne revient à Budapest qu'en 1948, après un détour de deux mois aux Pays-Bas pour travailler avec Nicolaas de Bruijn et Jurjen Koksma. En 1948, la Hongrie, absorbée par l'orbite soviétique, vit sous dictature. Erdős reste deux mois, puis repart aux États-Unis via le Royaume-Uni, mais avec la ferme intention de ne pas retourner chez lui tant que le pays sera sous le joug communiste. Si Erdős est complètement en désaccord avec les politiques communistes et dictatoriales de Mátyás Rákosi, l'administration américaine voit dans le jeune mathématicien un espion infiltré[n 6]. Quelques années plus tard, en 1950, le maccarthysme bat son plein, il est accusé de communisme et n'est plus autorisé à circuler aux États-Unis. L'incident le plus grave se produit en 1954. Après avoir donné une conférence au Congrès international des mathématiciens à Amsterdam, il est empêché de retourner aux États-Unis jusqu'en 1958. À plus de quarante ans, il est un mathématicien reconnu, mais sans poste ni domicile fixes[12].

Professeur itinérant et décès[modifier | modifier le code]

Terence Tao à 10 ans avec Paul Erdős en 1985 à Adélaïde.

Il accepte une offre de l'université hébraïque de Jérusalem. Résidant en Israël, mais avec un passeport hongrois, il poursuit son pèlerinage d'institution en institution avec le strict nécessaire en guise de bagages. En 1955, il se rend en Hongrie et, grâce à ses relations haut placées, il peut obtenir un passeport lui permettant, d'une part, dans un pays du bloc communiste, d'entrer et de sortir sans problèmes et, d'autre part, de conserver la nationalité israélienne, en plus de sa nationalité hongroise. Dès lors, il intensifie ses visites dans le pays, notamment pour se consacrer davantage à sa mère adorée. Installé durant les années 1960 en Israël, il ne peut à nouveau fouler le sol américain qu'en 1963. Mère et fils décident que, dès lors, elle sera de tous ses voyages à travers le monde. Leur première destination commune est Israël en , suivie du Royaume-Uni l'année suivante. Ils foulent de nombreuses terres : Europe, États-Unis, Canada. Malheureusement, sa mère décède lors d'un séjour à Calgary en , et il est dévasté par cette perte. La disparition de sa mère accentue les traits de son caractère : il voyage sans relâche d'un pays à l'autre, rendant visite à des mathématiciens du monde entier pour collaborer avec eux. De véritables marathons où il s'épuise 18 heures par jour à trouver de nouveaux résultats mathématiques pour ses conjectures et d'élégantes nouvelles preuves de théorèmes déjà connus. Travaillant à toute heure du jour et de la nuit, il se met, en plus du café, à prendre des amphétamines pour pouvoir se concentrer[n 7]. Les heures non passées à travailler constituent à ses yeux une perte de temps, ses cheveux blanchissent sensiblement.

Erdős continue de voyager et de donner des conférences jusqu'à sa mort. Interrogé sur son désir de continuer à faire des mathématiques malgré son grand âge, il répond : « Les premiers signes de la sénilité sont quand un homme oublie ses théorèmes. Le deuxième signe, c'est quand il oublie de fermer sa braguette. Le troisième, c'est quand il oublie de l'ouvrir ! » (D'après Paul Hoffman[14], Erdős citait ici son ami Stanislaw Ulam, qui serait l'auteur du mot.)

Il meurt le , à l'âge de 83 ans, d'une crise cardiaque alors qu'il participe à une série de cours sur la combinatoire à Varsovie. Il décède à l'hôpital[15].

Personnalité[modifier | modifier le code]

Un autre toit, une autre preuve.
(en) Another roof, another proof.

Paul Erdős, citation reprise dans au moins 20 livres[16].

La possession de biens signifie peu pour Erdős ; la plupart de ses biens sont contenus dans une valise, comme l'exige son style de vie itinérant. Les seules possessions qui importent sont ses cahiers et ses notes, remplis de résultats et d'arguments mathématiques. Les récompenses et autres gains reçus sont généralement donnés aux personnes dans le besoin, ainsi qu'à diverses causes charitables. Il est incapable de passer devant un sans-abri sans lui donner des pièces. Il passe la majeure partie de sa vie comme un vagabond, voyageant de conférences scientifiques en universités et accueilli par des collègues, partout dans le monde. Il gagne assez d'argent lors de conférences en tant qu'invité dans des universités, reçoit diverses récompenses mathématiques pour financer ses voyages et ses besoins vitaux. L'argent qu'il a laissé a été utilisé pour financer des prix en espèces pour des preuves des « problèmes d'Erdős ». Il rechigne à être touché ou embrassé, il ne rend pas les poignées de main, se les lavant très souvent. Il sait se montrer extrêmement généreux et amical, aimant notamment jouer avec les enfants[17].

Divers acronymes[modifier | modifier le code]

Quand Erdős vieillit, il en a pleinement conscience. Ça implique la diminution de ses facultés mentales, de sa vitesse de réflexion, et cela le tourmente profondément. Au dédut des années 1970, il ajoute à son nom les initiales :

  • P.G.O.M., pour poor great old man (pauvre grand vieillard)
  • à 60 ans, cet acronyme devient P.G.O.M.L.D., où L.D. fait référence à living dead (mort vivant)
  • vers l'âge de 65 ans, il ajoute encore deux lettres : A.D. pour archeological discovery (découverte archéologique)
  • à 70 ans, il présente les lettres L.D. pour legally dead (légalement mort)
  • en 1987, il termine avec C.D., pour counts dead (compté comme mort)[n 8],[19].

Vocabulaire idiosyncrasique[modifier | modifier le code]

Le vocabulaire idiosyncrasique d'Erdős inclut[20] :

  • Les enfants sont appelés epsilons (car, en mathématiques, une quantité positive arbitrairement petite est communément désignée par la lettre grecque (ε))
  • Les femmes sont des « patrons ».
  • Les hommes sont des « esclaves ».
  • Les personnes ayant cessé de faire des mathématiques sont des « morts ».
  • Les personnes qui étaient mortes physiquement nous ont « quittées ».
  • Les boissons alcoolisées sont des « poisons ».
  • La musique (excepté la musique classique) est du « bruit ».
  • Les personnes mariées ont été « capturées ».
  • Les personnes divorcées sont « libérées ».
  • Donner une conférence mathématique est « prêcher ».
  • Examiner oralement un étudiant est « le torturer ».

Il a donné des surnoms à de nombreux pays, par exemple : les États-Unis sont surnommés « samland » (d'après l'oncle Sam), l'Union soviétique est « joedom » (d'après Joseph Staline), et l'Israël est surnommé « isreal ».

La conversation d'Erdős est plutôt ésotérique. Quand on lui demande à partir de quel moment les epsilons [les enfants] masculins deviennent des esclaves [des hommes], il répond « Quand ils commencent à courir après les patrons » [les femmes][14].

Il a son propre vocabulaire idiosyncrasique : bien qu'il soit un athée agnostique[21], il parle du « Livre », la visualisation d'un livre dans lequel Dieu a écrit les meilleures et plus élégantes démonstrations pour les théorèmes mathématiques[22]. En 1985, il a dit : « Vous n'avez pas à croire en Dieu, mais vous devez croire en Le Livre ». Il doute lui-même de l'existence de Dieu, qu'il appelle le « Fasciste Suprême (S.F.) »[23],[24]. Il a accusé S.F. de cacher ses chaussettes et ses passeports hongrois, et de garder pour Lui les plus élégantes démonstrations mathématiques. Quand il voit une démonstration mathématique particulièrement belle, il s'exclame : « Celle-ci vient du Livre ! ». Cela a ensuite inspiré un livre intitulé Raisonnements divins (Proofs from The Book).

Contributions mathématiques[modifier | modifier le code]

Parmi ses contributions, le développement de la théorie de Ramsey et de l'application de la méthode probabiliste est la plus remarquable. Les praticiens des théories combinatoires lui doivent une approche entière, dérivée de l'analyse de la théorie des nombres. Dans le prolongement du théorème de Ramsey et du théorème de van der Waerden, Erdős et son ami Pál Turán énoncent en 1936 les premières observations à l'origine de la conjecture d'Erdős-Turán[25]

Erdős démontre le postulat de Bertrand de façon plus simple que ne l'a fait Tchebychev. Il fait également une démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers en collaboration avec Atle Selberg, qui montre combien les théories combinatoires sont une méthode efficace pour compter les collections.

Erdős apporte aussi sa contribution dans des domaines pour lesquels il n'a qu'un faible intérêt, tels que la topologie où il est considéré comme la première personne à donner un exemple d'espace topologique totalement discontinu qui ne soit pas de dimension zéro.

Approche des mathématiques[modifier | modifier le code]

Au point de vue « style mathématique », Erdős est plus un « résolveur de problèmes » qu'un « développeur de théories ». Selon Joel Spencer (en), « sa place dans le panthéon des mathématiques du XXe siècle est sujette à controverse, car il s'est résolument concentré sur des théorèmes particuliers et des conjectures au cours de son illustre carrière ».

Un auteur très prolifique[modifier | modifier le code]

Erdős est l'un des plus prolifiques auteurs d'articles dans l'histoire des mathématiques, avec Léonard Euler[5] ; il a publié environ 1 525 articles en collaboration avec 511 mathématiciens. Le caractère particulièrement prolifique d'Erdős justifie la création du « nombre d'Erdős », signalant le degré de collaboration d'un chercheur avec Erdős. Ce dernier a par définition le nombre 0. Les mathématiciens ayant publié un papier de recherche cosigné par lui ont pour nombre d'Erdős 1. Les chercheurs ayant publié avec ces derniers ont un nombre d'Erdős de 2 (comme Albert Einstein), et ainsi de suite par récurrence. Les personnes non liées à Erdős, de la manière décrite ci-dessus, ont un nombre d'Erdős égal à l'infini. En 2008, le plus grand nombre d'Erdős connu d'un mathématicien en activité était 13[26].

Problèmes d'Erdős[modifier | modifier le code]

Paul Erdős, Ronald Graham et sa femme Fan Chung en 1986.

Au cours de sa carrière, Erdős offre parfois différents prix pour trouver des solutions à des problèmes non résolus. Ceux-ci vont de 25 dollars pour des problèmes dont il pense qu'ils sont seulement hors de portée de la pensée mathématique actuelle, jusqu'à plusieurs milliers de dollars pour ceux qui sont à la fois difficiles à résoudre et importants pour les mathématiques. On pense qu'il existe au moins un millier de prix de cet ordre, bien qu'il n'existe pas de liste officielle. Ces prix restent actifs malgré la mort d'Erdős ; Ronald Graham est l'administrateur (non officiel) des solutions. Les gagnants peuvent recevoir soit un chèque signé d'Erdős (pour encadrer) ou un chèque encaissable de Graham[27].

Le plus célèbre des problèmes associés à un prix Erdős est probablement la conjecture de Collatz, aussi connue sous le nom de « problème  », ou encore la conjecture de Syracuse, dont la solution vaut 500 dollars. Mais le problème le plus fondamental (qui vaut actuellement 5 000 dollars) est sans doute la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques qui s'énonce ainsi : « Si la série des inverses d'une séquence de nombres entiers diverge, alors la séquence contient des progressions arithmétiques de longueurs arbitraires ».

Si cette assertion est vraie, elle résout plusieurs autres problèmes ouverts de la théorie des nombres. Il ne s'agit encore en 2014 que d'une conjecture, mais l'une de ses implications principales, selon laquelle la suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues, a été démontrée de façon indépendante en 2004 par Green et Tao.

Distinctions et hommages[modifier | modifier le code]

Erdős n'a jamais gagné la médaille Fields, mais en 1984, le gouvernement israélien lui décerne le prix Wolf de 50 000 $ pour ses nombreuses contributions à la théorie des nombres, à l'analyse combinatoire, aux probabilités, à la théorie des ensembles et à l'analyse, et pour avoir personnellement stimulé les mathématiciens autour du monde. Il le réinvestit presque entièrement dans la création d'une bourse d'études en Israël au nom de ses parents

En 1979, l'Académie des sciences des États-Unis l'invite à la rejoindre, et une décennie plus tard, la Royal Society l'accepte parmi ses membres.

Erdős reçoit le prix Frank Nelson Cole en 1951.

Une des courtes nouvelles de Sonates de bar de l'oulipien Hervé Le Tellier est un hommage à Paul Erdős, que l'écrivain a rencontré peu avant sa mort.

Trois récompenses en mathématiques portent son nom : le prix Anna et Lajos Erdős en mathématiques décerné par l'Union mathématique israélienne (de), le Paul Erdős Award décerné par la World Federation of National Mathematics Competitions, et le prix Paul Erdős remis par l'Académie hongroise des sciences.

Citation[modifier | modifier le code]

Une des maximes favorites de Erdős est : « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution ».

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. La surprotection accordée à Paul marquera de façon décisive la personnalité d'un homme particulièrement lié avec sa mère[2]
  2. Erdős, qui n'avait que 20 ans, était trop jeune pour savoir qu'il deviendrait l'un des plus célèbres contre-exemples de cette opinion de Hardy
  3. Dans l'évaluation de son travail, il fut déclaré qu'Erdős avait été négligent et s'était avéré un mathématicien atypique. Pour ces raisons, sa bourse ne fut pas reconduite[8]
  4. Installé à l'université Purdue en Indiana, Erdős est invité, en 1943, à rejoindre le projet Manhattan de développement de la bombe atomique américaine, mais sa candeur le fait échouer lors des entretiens
  5. Le mathématicien expliqua en effet n'avoir jamais ressenti d'attirance sexuelle envers l'homme ou la femme[8]
  6. En , le mathématicien Arthur Harold Stone, accompagnait Erdős et leur collègue japonais Shizuo Kakutani — à l'époque doctorant à Princeton — pour une promenade en voiture sur les côtes de Long Island. Ils entrent sans y prêter attention dans une zone militaire restreinte qui abrite une antenne radio. Les trois mathématiciens sont arrêtés, interrogés par le FBI et l'incident est consigné dans les fichiers du FBI[11]
  7. Pour le débarrasser de sa dépendance aux amphétamines, son ami Ron Graham parie avec lui 500 $ qu'il ne peut pas arrêter de prendre le psychotrope pendant un mois. Erdős gagne le pari, mais se plaint que pendant son abstinence, les mathématiques ont pris un mois de retard : « Avant, lorsque je regardais une feuille blanche, mon esprit était plein d'idées. Aujourd'hui, tout ce que je vois c'est une feuille blanche ». Il reprend rapidement sa consommation d'amphétamines[13]
  8. Ce dernier acronyme, choisi alors qu'il a 74 ans, s'explique de la sorte : l'Académie hongroise des sciences est composée de 200 membres et lorsque l'un d'eux atteint 75 ans, il cesse d'en faire partie, bien qu'il puisse conserver tous ses privilèges[18]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Paul Erdős » (voir la liste des auteurs).
  1. Prononciation en hongrois retranscrite selon la norme API.
  2. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 15
  3. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 11/15-18
  4. (de) P. Erdős. Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Acta Szeged 5 (1932), 194-198 (lire en ligne)
  5. a et b (en) Krishnaswami Alladi, Steven Krantz, László Lovász, Vera Sós, Ronald Graham, Joel Spencer, Jean-Pierre Kahane et Mel Nathanson, « Reflections on Paul Erdos on His Birth Centenary (I) », Notice of the AMS,‎ , p. 121-126 (lire en ligne).
  6. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 19-20.
  7. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 39-40/42-43
  8. a et b Rué Perna et Gouzée 2019, p. 68
  9. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 67-69
  10. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Paul Erdős », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  11. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 69
  12. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 70-71
  13. J.Hill, /Paul%20Erd%F6s%20bio-rev2.pdf Paul Erdos, Mathematical Genius, Human (In That Order)
  14. a et b Hoffman 2000.
  15. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 71/97-101/121
  16. [1].
  17. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 99-100
  18. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 100-101
  19. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 100
  20. (en) Hoffman, chapitre 1. As included with the New York Times review of the book.
  21. (en) Jack Huberman, Quotable Atheist: Ammunition for Nonbelievers, Political Junkies, Gadflies, and Those Generally Hell-Bound, Nation Books, (ISBN 9781568584195), p. 107 :

    « I kind of doubt He [exists]. Nevertheless, I'm always saying that the SF has this transfinite Book ... that contains the best proofs of all theorems, proofs that are elegant and perfect.... You don't have to believe in God, but you should believe in the Book. »

    Citation reprise par (en) Colm Mulcahy (en), « Centenary of Mathematician Paul Erdős -- Source of Bacon Number Concept », Huffington Post, .
  22. (en) Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity, Nathalie Sinclair, William Higginson, (ISBN 9780387305264), p. 36 :

    « Erdös, an atheist, named 'the Book' the place where God keeps aesthetically perfect proofs. »

  23. (en) Bruno Schechter, My Brain is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdős, New York, Simon & Schuster, (1re éd. 1998) (ISBN 0-684-85980-7, lire en ligne), p. 70-71.
  24. (en) Varadaraja Raman, Variety in Religion And Science: Daily Reflections, iUniverse, (ISBN 9780595358403), p. 256.
  25. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 49-51
  26. (en) « Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph », sur le site The Erdös Number Project.
  27. Rué Perna et Gouzée 2019, p. 100

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]