Rayon (géométrie)

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Rayon, diamètre, circonférence, cercle

En géométrie, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est un segment de droite quelconque reliant son centre à sa circonférence. Par extension, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre. En sciences et en ingénierie, le terme rayon de courbure est souvent utilisé comme synonyme de rayon.

Plus généralement—en géométrie, ingénierie, Théorie des graphes, et dans nombre d'autres contextes—le rayon de quelque chose (par exemple un Cylindre, un polygone, un graphe, ou une pièce mécanique) est la distance de son centre ou axe de symétrie à ses points de surface les plus éloignés. Dans ce cas, le rayon peut être plus grand que la moitié du diamètre.

La relation entre le rayon r\! et la circonférence c\! d'un cercle est r = \frac{c}{2\pi}.

Calcul du rayon[modifier | modifier le code]

Cercle circonscrit à un triangle.svg

Pour calculer le rayon d'un cercle passant par trois points  P_1, P_2, P_3\!, la formule suivante peut être utilisée :

r=\frac{P_1P_3}{2\sin(\theta)}

\theta \! est l'angle  \angle P_1 P_2 P_3.

Si les trois points sont donnés par leurs coordonnées  (x_1,y_1) ,  (x_2,y_2) et  (x_3,y_3) , on peut aussi utiliser la formule suivante (voir Loi des sinus et Aire d'un triangle) :

 r={\frac {\sqrt{ \left(  \left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2\right)  \left(  \left(x_2-x_3\right)^2+ \left(y_2-y_3\right) ^2\right)  \left( \left(x_3-x_1\right)^2+ \left(y_3-y_1\right)^2\right)} }{ 2 \left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2\right| }}.

Aire de l'ellipse[modifier | modifier le code]

Ellipse affinite2.png
  • Calcul de l'aire d'une ellipse:
A = \pi . Ra . Rb \,\!


Ra\! et Rb\! sont les rayons (ou demi-axes) de l'ellipse.

Le rayon terrestre[modifier | modifier le code]

Sa mesure[modifier | modifier le code]

La première mesure du rayon terrestre en astronomie a été conçue par Ératosthène. Son calcul est le suivant : le Soleil est si éloigné que ses rayons arrivent parallèlement en tout point de la Terre. Il a lu qu'à Syène, les rayons tombent verticalement dans un puits le jour du solstice d'été. Cela veut dire que le Soleil passe par le zénith, il n'y a alors pas d'ombre. Plus au nord, au même instant, les rayons atteignent Alexandrie sous un angle non nul, qu'il mesure. L'angle mesuré est de un cinquantième de cercle. Cela signifie que la circonférence de la Terre est cinquante fois plus grande que la distance Syène - Alexandrie. Il avait lu également que les caravanes de chameaux partant de Syène mettaient cinquante jours pour arriver à Alexandrie en parcourant cent stades par jour. Il calcula que la distance entre les deux villes de la vallée du Nil était de 5000 stades. Le stade équivaut à 158m.

Par la mesure de l'ombre portée par ces objets de hauteur connue situés en deux points de latitude différente, il trouve la valeur de 250 000 stades pour la longueur du méridien, c'est-à-dire la circonférence terrestre. Cette mesure est exacte à 2 % près. Il en déduisit le rayon de la Terre.

Son utilisation[modifier | modifier le code]

Le rayon terrestre est utilisé pour de nombreux calculs astronomiques comme:

  • Le calcul de la parallaxe diurne d'un astre:
Parallaxe diurne: deux observateurs se placent en deux points A et B de la Terre les plus éloignés possible et notent la configuration des étoiles entourant l'astre observé. Ils peuvent ainsi calculer les angles BAP et ABP, puis en déduire la parallaxe qui permettra d'obtenir la distance TP.

Parallaxe diurne.png

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Les élémens de géométrie d'Euclide, traduits littéralement, et suivis d'un traité du cercle, du cylindre, du cône et de le sphère, de la mesure des surfaces et des solides, avec des notes. ; Euclid., F Peyrard ; Paris, F. Louis, 1809. (OCLC 5162390)
  • Géométrie 4 : les relations dans le cercle. ; Michel Morin, Alain Roy ; Mont-Royal, Québec : Modulo, 1995. (OCLC 32548158)